В математике формула Лиувилля , также известная как тождество Абеля-Якоби-Лиувилля, представляет собой уравнение, выражающее определитель квадратно-матричного решения системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка через сумму диагональных коэффициентов системы. Формула названа в честь французского математика Жозефа Лиувилля . Формула Якоби дает другое представление того же математического соотношения.
Формула Лиувилля является обобщением тождества Абеля и может быть использована для его доказательства. Поскольку формула Лиувилля связывает различные линейно независимые решения системы дифференциальных уравнений, она может помочь найти одно решение из другого (ов), см. пример приложения ниже.
на интервале I действительной прямой , где A ( x ) для x ∈ I обозначает квадратную матрицу размерности n с вещественными или комплексными элементами. Пусть Φ обозначает матричное решение на I , что означает, что каждая Φ( x ) является квадратной матрицей размерности n с вещественными или комплексными элементами, а производная удовлетворяет условию
обозначим след A ( ξ ) = ( a i , j ( ξ ) ) i , j ∈ {1,..., n } , сумму его диагональных элементов. Если след A является непрерывной функцией , то определитель Φ удовлетворяет условию
Этот пример иллюстрирует, как формула Лиувилля может помочь найти общее решение системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотреть возможность
является решением приведенного выше дифференциального уравнения со знаком с квадратной матрицей. Поскольку след A ( x ) равен нулю для всех x ∈ I , из формулы Лиувилля следует, что определитель