В математике , тождество Абеля (также называемой формулы Абеля [1] или дифференциальное тождество уравнение Абеля ) является уравнением , которое выражает вронскиан двух решений однородного второго порядка линейного обыкновенного дифференциального уравнения в терминах коэффициентов исходного дифференциального уравнения. Это соотношение можно обобщить на линейные обыкновенные дифференциальные уравнения n- го порядка. Идентичность названа в честь норвежского математика Нильса Хенрика Абеля .
Поскольку тождество Абеля связывает различные линейно независимые решения дифференциального уравнения, его можно использовать для нахождения одного решения из другого. Он обеспечивает полезные идентификаторы, относящиеся к решениям, а также полезен как часть других методов, таких как метод изменения параметров . Это особенно полезно для уравнений, таких как уравнение Бесселя, решения которых не имеют простой аналитической формы, потому что в таких случаях вронскиан трудно вычислить напрямую.
Обобщение на системы однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка дается формулой Лиувилля .
Рассмотрим однородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка
на интервале I по прямому с реальным - или комплексным значным непрерывными функциями р и д . Личность Абеля утверждает, что вронскианец двух действительных или комплексных решений а также этого дифференциального уравнения, то есть функции, определяемой определителем
удовлетворяет соотношению
для каждой точки x 0 в I , где C - произвольная постоянная.
- В частности, вронскиан либо всегда нулевая функция, либо всегда отлична от нуля с одним и тем же знаком в каждой точке в . В последнем случае два решения а также линейно независимы (см. доказательство в статье о вронскиане).
- Необязательно предполагать, что вторые производные решений а также непрерывны.
- Теорема Абеля особенно полезна, если , потому что это означает, что постоянно.
Доказательство
Дифференциация вронскиана с использованием правила произведения дает (написание для и опуская аргумент для краткости)
Решение для в исходном дифференциальном уравнении дает
Подставляя этот результат в производную функции Вронскиана, чтобы заменить вторые производные от а также дает
Это линейное дифференциальное уравнение первого порядка, и осталось показать, что тождество Абеля дает единственное решение, которое принимает значение в . Поскольку функция непрерывно на , она ограничена на каждом замкнутом и ограниченном подынтервале в и, следовательно, интегрируема, поэтому
- хорошо определенная функция. Дифференцируя обе стороны, используя правило произведения, цепное правило , производную экспоненциальной функции и основную теорему исчисления , получаем
из-за дифференциального уравнения для . Следовательно, должен быть постоянным на , потому что в противном случае мы получили бы противоречие с теоремой о среднем (применяемой отдельно к действительной и мнимой частям в комплексном случае). С, Тождество Абеля следует из решения определения для .
Рассмотрим однородную линейную -й порядок () обыкновенное дифференциальное уравнение
на интервале вещественной прямой с действительной или комплексной непрерывной функцией . Обобщение тождества Абеля утверждает, что вронскиан из Реальные или комплексные решения этого Дифференциальное уравнение -го порядка, то есть функция, определяемая определителем
удовлетворяет соотношению
за каждую точку в .
Прямое доказательство
Для краткости запишем для и опустить аргумент . Достаточно показать, что вронскиан решает линейное дифференциальное уравнение первого порядка
поскольку оставшаяся часть доказательства тогда совпадает с таковой для случая .
В случае у нас есть и дифференциальное уравнение для совпадает с . Поэтому предположим В следующих.
Производная от вронскиана - производная определяющего определителя. Из формулы Лейбница для определителей следует, что эту производную можно вычислить, дифференцируя каждую строку отдельно, поэтому
Однако обратите внимание, что каждый определитель из раскрытия содержит пару одинаковых строк, кроме последней. Поскольку определители с линейно зависимыми строками равны 0, остается только последний:
Поскольку каждый решает обыкновенное дифференциальное уравнение, имеем
для каждого . Следовательно, добавляя к последней строке указанного выше определителя умножить на первую строку, умножить на второй ряд и так далее, пока умноженное на предпоследнюю строку, значение определителя производной от без изменений, и мы получаем
Доказательство с использованием формулы Лиувилля.
Решения образуют квадратно-матричное решение
принадлежащий -мерная система однородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка
След этой матрицы, поэтому тождество Абеля непосредственно следует из формулы Лиувилля .