Инвариантная во времени система

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Система, не зависящая от времени»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( май 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это шаблонное сообщение )

Стационарно (TIV) система имеет зависимое от времени функции системы , которая не является прямой функцией времени. Такие системы рассматриваются как класс систем в области системного анализа . Зависящая от времени системная функция является функцией зависящей от времени входной функции . Если эта функция зависит только косвенно от временной области (например, через функцию ввода), то это система, которая будет считаться инвариантной во времени. И наоборот, любую прямую зависимость от временной области функции системы можно рассматривать как «систему, изменяющуюся во времени».

С математической точки зрения «временная инвариантность» системы - это следующее свойство: ^{[1] : с. 50}

При наличии системы с зависящей от времени функцией вывода и зависимой от времени функцией ввода система будет считаться инвариантной во времени, если временная задержка на входе напрямую равна временной задержке выходной функции. Например, если время - это «прошедшее время», то «временная инвариантность» подразумевает, что отношение между входной функцией и выходной функцией является постоянным по отношению ко времени :${\ Displaystyle у (т),}$${\ Displaystyle х (т);}$${\ Displaystyle х (т + \ дельта)}$${\ Displaystyle у (т + \ дельта)}$${\ displaystyle t}$${\ Displaystyle х (т)}$${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t)=f(x(t)).}$

На языке обработки сигналов это свойство может быть выполнено, если передаточная функция системы не является прямой функцией времени, за исключением выраженной входом и выходом.

В контексте схемы системы это свойство также может быть указано следующим образом:

Если система инвариантна во времени, то системный блок коммутирует с произвольной задержкой.

Если инвариантная во времени система также является линейной , она является предметом линейной инвариантной во времени теории (линейной инвариантной во времени) с прямыми приложениями в ЯМР-спектроскопии , сейсмологии , схемах , обработке сигналов , теории управления и других технических областях. Нелинейным системам, инвариантным во времени, не хватает исчерпывающей основополагающей теории. Дискретные инвариантные во времени системы известны как инвариантные к сдвигу системы . Системы , которые не имеют свойство стационарных изучаются время вариантных систем .

Простой пример [ править ]

Чтобы продемонстрировать, как определить, является ли система неизменной во времени, рассмотрим две системы:

• Система А: ${\displaystyle y(t)=tx(t)}$
• Система B: ${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

Поскольку системная функция для системы A явно зависит от t вне , она не инвариантна во времени, потому что зависимость от времени не является явно функцией входной функции.${\displaystyle y(t)}$${\displaystyle x(t)}$

Напротив, временная зависимость системы B является только функцией изменяющегося во времени входа . Это делает систему B инвариантной во времени .${\displaystyle x(t)}$

Формальный Пример ниже показывает более подробно , что в то время как система В представляет собой инвариантная относительно сдвиг системы , как функцию времени, т , система А нет.

Формальный пример [ править ]

Теперь представлено более формальное доказательство того, почему системы A и B, указанные выше, различаются. Для проведения этого доказательства мы будем использовать второе определение.

Система A: Запуск с задержкой ввода${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=tx_{d}(t)=tx(t+\delta )}$

Теперь задержите вывод на ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=tx(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=(t+\delta )x(t+\delta )}$

Очевидно , поэтому система не инвариантна во времени.${\displaystyle y_{1}(t)\neq y_{2}(t)}$

Система B: Запуск с задержкой ввода${\displaystyle x_{d}(t)=x(t+\delta )}$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{1}(t)=10x_{d}(t)=10x(t+\delta )}$

Теперь задержите вывод на ${\displaystyle \delta }$

${\displaystyle y(t)=10x(t)}$

${\displaystyle y_{2}(t)=y(t+\delta )=10x(t+\delta )}$

Очевидно , поэтому система не зависит от времени.${\displaystyle y_{1}(t)=y_{2}(t)}$

В более общем смысле отношения между вводом и выводом

${\displaystyle y(t)=f(x(t),t),}$

и его изменение со временем

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}.}$

Для систем, не зависящих от времени, свойства системы остаются постоянными со временем,

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=0.}$

Применяется к системам A и B выше:

${\displaystyle f_{A}=tx(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{A}}{\partial t}}=x(t)\neq 0}$ в общем, поэтому он не инвариантен во времени,

${\displaystyle f_{B}=10x(t)\qquad \implies \qquad {\frac {\partial f_{B}}{\partial t}}=0}$ поэтому он не зависит от времени.

Абстрактный пример [ править ]

Мы можем обозначить оператор сдвига как где - величина, на которую должен быть сдвинут набор индексов вектора . Например, система "продвижение на 1"${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle r}$

${\displaystyle x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)}$

в этих абстрактных обозначениях можно представить как

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=\mathbb {T} _{1}{\tilde {x}}}$

где - функция, заданная формулой${\displaystyle {\tilde {x}}}$

${\displaystyle {\tilde {x}}=x(t)\forall t\in \mathbb {R} }$

с системой, дающей сдвинутый выход

${\displaystyle {\tilde {x}}_{1}=x(t+1)\forall t\in \mathbb {R} }$

То же самое и с оператором, который увеличивает входной вектор на 1.${\displaystyle \mathbb {T} _{1}}$

Предположим , мы представим систему с помощью оператора . Эта система инвариантна во времени, если она коммутирует с оператором сдвига, т. Е.${\displaystyle \mathbb {H} }$

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} =\mathbb {H} \mathbb {T} _{r}\forall r}$

Если уравнение нашей системы имеет вид

${\displaystyle {\tilde {y}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}}$

то время-инвариантное , если мы можем применить оператор системы на последующем оператор сдвига , или мы можем применить оператор сдвига с последующим системным оператором , с двумя вычислениями , дающих эквивалентные результатами.${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle \mathbb {T} _{r}}$${\displaystyle \mathbb {H} }$

Применение системного оператора сначала дает

${\displaystyle \mathbb {T} _{r}\mathbb {H} {\tilde {x}}=\mathbb {T} _{r}{\tilde {y}}={\tilde {y}}_{r}}$

Применение оператора сдвига сначала дает

${\displaystyle \mathbb {H} \mathbb {T} _{r}{\tilde {x}}=\mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}}$

Если система инвариантна во времени, то

${\displaystyle \mathbb {H} {\tilde {x}}_{r}={\tilde {y}}_{r}}$

См. Также [ править ]

• Конечный импульсный отклик
• Последовательность Шеффера
• Пространство состояний (элементы управления)
• График потока сигналов
• Теория систем LTI
• Автономная система (математика)

Ссылки [ править ]