В системном анализе , среди других областей исследования, линейная инвариантная во времени система (или «система LTI») - это система, которая производит выходной сигнал из любого входного сигнала с учетом ограничений линейности и неизменности во времени ; эти термины кратко определены ниже . Эти свойства применяются (точно или приблизительно) ко многим важным физическим системам, и в этом случае отклик y (t) системы на произвольный вход x (t) может быть найден непосредственно с помощью свертки : y (t) = x (t) ∗ h (t), где h (t) называется импульсной характеристикой системы.и * представляет свертку (не путать с умножением, как это часто используется символом в компьютерных языках ). Более того, существуют систематические методы решения любой такой системы (определения h (t) ), тогда как системы, не отвечающие обоим свойствам, обычно труднее (или невозможно) решить аналитически. Хорошим примером системы LTI является любая электрическая цепь, состоящая из резисторов, конденсаторов, катушек индуктивности и линейных усилителей. [1]
Теория линейных инвариантных во времени систем также используется при обработке изображений , когда системы имеют пространственные измерения вместо или в дополнение к временному измерению. Эти системы можно назвать линейными, инвариантными к трансляциям, чтобы дать терминологию наиболее общий охват. В случае общих систем с дискретным временем (т. Е. С дискретизацией ) линейный инвариант относительно сдвига является соответствующим термином. Теория систем LTI - это область прикладной математики, которая имеет прямое применение в анализе и проектировании электрических цепей , обработке сигналов и проектировании фильтров , теории управления , машиностроении , обработке изображений , проектировании многих видов измерительных приборов , ЯМР-спектроскопии [ цитата необходима ] , и многие другие технические области, в которых возникают системы обыкновенных дифференциальных уравнений .
Обзор
Определяющими свойствами любой системы LTI являются линейность и неизменность во времени .
- Линейность означает, что отношения между входом и выходом являются результатом линейных дифференциальных уравнений , то есть дифференциальных уравнений, использующих только линейные операторы . Линейная система, которая отображает вход x (t) в выход y (t), будет отображать масштабированный входной ax (t) в выходной ay (t), аналогично масштабированный с тем же коэффициентом a . И принцип суперпозиции применяется к линейной системе: если система отображает входы x 1 (t) и x 2 (t) в выходы y 1 (t) и y 2 (t) соответственно, то она будет отображать x 3 (t) = x 1 (t) + x 2 (t) на выход y 3 (t), где y 3 (t) = y 1 (t) + y 2 (t) .
- Временная инвариантность означает, что независимо от того, применяем ли мы ввод к системе сейчас или через T секунд, вывод будет идентичным, за исключением временной задержки в T секунд. То есть, если вывод из-за ввода является , то вывод из-за ввода является . Следовательно, система инвариантна во времени, потому что выход не зависит от конкретного времени, когда применяется вход.
Фундаментальный результат теории систем LTI состоит в том, что любую систему LTI можно полностью охарактеризовать одной функцией, называемой импульсной характеристикой системы . Выход системы y (t) - это просто свертка входа системы x (t) с импульсной характеристикой системы h (t) . Это называется системой с непрерывным временем . Точно так же линейная инвариантная во времени (или, в более общем смысле, «инвариантная к сдвигу») система с дискретным временем определяется как система, работающая в дискретном времени : y i = x i ∗ h i, где y, x и h - последовательности, а свертка в дискретном времени использует дискретное суммирование, а не интеграл.
Системы LTI также можно охарактеризовать в частотной области с помощью передаточной функции системы , которая представляет собой преобразование Лапласа импульсной характеристики системы (или преобразование Z в случае систем с дискретным временем). В результате свойств этих преобразований выходной сигнал системы в частотной области является произведением передаточной функции и преобразования входа. Другими словами, свертка во временной области эквивалентна умножению в частотной области.
Для всех систем LTI собственные функции и базисные функции преобразований являются комплексными экспонентами . Это если вход в систему представляет собой сигнал сложной формы. для некоторой комплексной амплитуды и комплексная частота , на выходе будет некоторая комплексная константа, умноженная на вход, скажем для некоторой новой комплексной амплитуды . Соотношение - передаточная функция на частоте .
Поскольку синусоиды представляют собой сумму комплексных экспонент с комплексно сопряженными частотами, если вход в систему является синусоидой, то выход системы также будет синусоидой, возможно, с другой амплитудой и другой фазой , но всегда с та же частота при достижении установившегося состояния. Системы LTI не могут создавать частотные компоненты, которых нет на входе.
Теория систем LTI хороша для описания многих важных систем. Большинство систем LTI считаются "простыми" для анализа, по крайней мере, по сравнению с изменяющимся во времени и / или нелинейным случаем. Любая система, которую можно смоделировать как линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, является системой LTI. Примерами таких систем являются электрические цепи, состоящие из резисторов , катушек индуктивности и конденсаторов (цепи RLC). Идеальные системы пружина-масса-демпфер также являются системами LTI и математически эквивалентны схемам RLC.
Большинство концепций системы LTI схожи между случаями непрерывного и дискретного времени (линейный инвариантный сдвиг). При обработке изображений временная переменная заменяется двумя пространственными переменными, а понятие временной инвариантности заменяется двумерной инвариантностью сдвига. При анализе банков фильтров и систем MIMO часто бывает полезно учитывать векторы сигналов.
Линейная система, которая не зависит от времени, может быть решена с использованием других подходов, таких как метод функции Грина . Тот же метод необходимо использовать, когда начальные условия проблемы не равны нулю. [ необходима цитата ]
Системы непрерывного времени
Импульсная характеристика и свертка
Поведение линейной системы с непрерывным временем и неизменной во времени системой с входным сигналом x ( t ) и выходным сигналом y ( t ) описывается интегралом свертки : [2]
(используя коммутативность )
где реакция системы на импульс : поэтому пропорциональна средневзвешенному значению входной функции Весовая функция просто сдвинут на сумму В виде изменяется, весовая функция выделяет различные части входной функции. Когда равен нулю для всех отрицательных зависит только от значений раньше времени и система называется причинной .
Чтобы понять, почему свертка дает результат системы LTI, пусть обозначение представляют функцию с переменной и постоянный И пусть более короткие обозначения представлять Затем система с непрерывным временем преобразует входную функцию, в функцию вывода, . И вообще, каждое значение вывода может зависеть от каждого значения ввода. Это понятие представлено :
где оператор преобразования времени . В типичной системе наиболее сильно зависит от значений это произошло недалеко от времени Если только преобразование не изменится с функция вывода просто постоянна, и система неинтересна.
Для линейной системы должен удовлетворять уравнению 1 :
( Уравнение 2 )
И требование неизменности во времени :
( Уравнение 3 )
В этих обозначениях мы можем записать импульсную характеристику как
Аналогично :
(используя уравнение 3 )
Подставляя этот результат в интеграл свертки :
которая имеет вид правой части (2 ) для случая а также
Тогда уравнение 2 допускает это продолжение :
Таким образом, функция ввода, может быть представлен континуумом импульсных функций со сдвигом во времени, объединенных «линейно», как показано в уравнении 1 . Свойство линейности системы позволяет представить отклик системы соответствующим континуумом импульсных откликов , скомбинированных таким же образом. И свойство временной инвариантности позволяет представить эту комбинацию интегралом свертки.
Приведенные выше математические операции имеют простое графическое моделирование. [3]
Экспоненты как собственные функции
Собственная функция - это функция, для которой вывод оператора является масштабированной версией той же функции. Это,
где f - собственная функция, а- собственное значение , постоянная.
В экспоненциальные функции , где , Являются собственными функциями оператора А линейным , время инвариантно оператора. Простое доказательство иллюстрирует эту концепцию. Предположим, что на входе. Выход системы с импульсной характеристикой затем
что по коммутативности свертки эквивалентно
где скаляр
зависит только от параметра s .
Таким образом, ответ системы - это масштабированная версия ввода. В частности, для любых, выход системы является произведением входных и постоянная . Следовательно,является собственной функцией системы LTI, а соответствующее собственное значение есть.
Прямое доказательство
Также возможно напрямую вывести комплексные экспоненты как собственные функции систем LTI.
Давай установим некоторые комплексные экспоненты и его версия со сдвигом во времени.
по линейности по постоянной .
по неизменности во времени .
Так . Параметр и переименовав получаем:
т.е. что комплексная экспонента поскольку входной сигнал даст комплексную экспоненту той же частоты, что и выход.
Преобразования Фурье и Лапласа
Свойство экспонент собственной функции очень полезно как для анализа, так и для понимания систем LTI. Одностороннее преобразование Лапласа
это как раз способ получить собственные значения из импульсной характеристики. Особый интерес представляют чистые синусоиды (т. Е. Экспоненциальные функции вида где а также ). Преобразование Фурье дает собственные значения для чистых сложных синусоид. Оба а также называются системной функцией , системным ответом или передаточной функцией .
Преобразование Лапласа обычно используется в контексте односторонних сигналов, то есть сигналов, которые равны нулю для всех значений t, меньших некоторого значения. Обычно это «начальное время» устанавливается равным нулю для удобства и без потери общности, при этом интеграл преобразования берется от нуля до бесконечности (преобразование, показанное выше с нижним пределом интегрирования отрицательной бесконечности, формально известно как двустороннее преобразование Лапласа. преобразовать ).
Преобразование Фурье используется для анализа систем, которые обрабатывают бесконечно протяженные сигналы, такие как модулированные синусоиды, хотя его нельзя напрямую применять к входным и выходным сигналам, которые не интегрируются с квадратом . Преобразование Лапласа фактически работает непосредственно с этими сигналами, если они равны нулю до момента начала, даже если они не интегрируются с квадратом для стабильных систем. Преобразование Фурье часто применяется к спектрам бесконечных сигналов с помощью теоремы Винера – Хинчина, даже когда преобразования Фурье сигналов не существуют.
Благодаря свойству свертки обоих этих преобразований, свертка, которая дает выходной сигнал системы, может быть преобразована в умножение в области преобразования, учитывая сигналы, для которых существуют преобразования.
Можно использовать отклик системы напрямую, чтобы определить, как какая-либо конкретная частотная составляющая обрабатывается системой с этим преобразованием Лапласа. Если мы оценим отклик системы (преобразование Лапласа импульсного отклика) на комплексной частоте s = jω , где ω = 2πf , мы получим | H ( s ) | что является коэффициентом усиления системы для частоты f . Относительный фазовый сдвиг между выходом и входом для этой частотной составляющей также определяется как arg (H (s)) .
Примеры
- Простым примером оператора LTI является производная .
- (т.е. линейно)
- (т.е. инвариантен во времени)
- Когда выполняется преобразование Лапласа производной, оно преобразуется в простое умножение на переменную Лапласа s .
- То, что производная имеет такое простое преобразование Лапласа, отчасти объясняет полезность этого преобразования.
- Еще один простой оператор LTI - оператор усреднения.
- По линейности интегрирования
- он линейный. Кроме того, поскольку
- это инвариантный момент времени. По факту, можно записать в виде свертки с функцией товарного вагона. Это,
- где функция товарного вагона
Важные системные свойства
Некоторые из наиболее важных свойств системы - это причинность и стабильность. Причинность является необходимостью для физической системы, независимой переменной которой является время, однако это ограничение отсутствует в других случаях, таких как обработка изображений.
Причинно-следственная связь
Система является причинной, если выход зависит только от нынешних и прошлых, но не будущих входов. Необходимым и достаточным условием причинности является
где это импульсный отклик. В общем случае невозможно определить причинно-следственную связь с помощью двустороннего преобразования Лапласа . Однако при работе во временной области обычно используется одностороннее преобразование Лапласа, которое требует причинно-следственной связи.
Стабильность
Система является стабильной с ограниченным входом и ограниченным выходом ( стабильной BIBO), если для каждого ограниченного входа выход конечен. Математически, если каждый ввод удовлетворяет
приводит к выходу, удовлетворяющему
(то есть конечное максимальное абсолютное значение из следует конечное максимальное абсолютное значение ), то система устойчива. Необходимым и достаточным условием является то, что, импульсный отклик находится в L 1 (имеет конечную L 1 норму):
В частотной области область сходимости должна содержать мнимую ось.
Например, идеальный фильтр нижних частот с импульсной характеристикой, равной функции sinc, не является стабильным по BIBO, потому что функция sinc не имеет конечной нормы L 1 . Таким образом, для некоторого ограниченного входа выход идеального фильтра нижних частот неограничен. В частности, если вход равен нулю дляи равняется синусоиде на частоте среза для, то выход будет неограниченным все время, кроме нулевых переходов. [ сомнительно ]
Дискретно-временные системы
Почти все в системах с непрерывным временем имеет аналог в системах с дискретным временем.
Системы с дискретным временем из систем с непрерывным временем
Во многих контекстах система с дискретным временем (DT) на самом деле является частью более крупной системы с непрерывным временем (CT). Например, цифровая записывающая система принимает аналоговый звук, оцифровывает его, возможно, обрабатывает цифровые сигналы и воспроизводит аналоговый звук для прослушивания людьми.
В практических системах полученные сигналы DT обычно представляют собой однородно дискретизированные версии сигналов CT. Еслиявляется сигналом CT, то схема дискретизации, используемая перед аналого-цифровым преобразователем , преобразует его в сигнал DT:
где T - период выборки . Перед дискретизацией входной сигнал обычно проходит через так называемый фильтр Найквиста, который удаляет частоты выше «частоты свертки» 1 / (2T); это гарантирует, что никакая информация в отфильтрованном сигнале не будет потеряна. Без фильтрации любой частотный компонент выше частоты свертки (или частоты Найквиста ) накладывается на другую частоту (таким образом искажая исходный сигнал), поскольку сигнал DT может поддерживать только частотные составляющие ниже, чем частота сворачивания.
Импульсная характеристика и свертка
Позволять представляют последовательность
И пусть более короткие обозначения представлять
Дискретная система преобразует входную последовательность, в выходную последовательность, В общем, каждый элемент вывода может зависеть от каждого элемента ввода. Представляя оператор преобразования как, мы можем написать:
Обратите внимание, что если само преобразование не изменится с n , выходная последовательность будет просто постоянной, и система неинтересна. (Таким образом, индекс n .) В типичной системе y [n] наиболее сильно зависит от элементов x , индексы которых близки к n .
Для частного случая функции Кронекера ,выходная последовательность - это импульсная характеристика:
For a linear system, must satisfy:
(Eq.4)
And the time-invariance requirement is:
(Eq.5)
In such a system, the impulse response, characterizes the system completely. I.e., for any input sequence, the output sequence can be calculated in terms of the input and the impulse response. To see how that is done, consider the identity:
which expresses in terms of a sum of weighted delta functions.
Therefore:
where we have invoked Eq.4 for the case and
And because of Eq.5, we may write:
Therefore:
(commutativity)
which is the familiar discrete convolution formula. The operator can therefore be interpreted as proportional to a weighted average of the function x[k]. The weighting function is h[-k], simply shifted by amount n. As n changes, the weighting function emphasizes different parts of the input function. Equivalently, the system's response to an impulse at n=0 is a "time" reversed copy of the unshifted weighting function. When h[k] is zero for all negative k, the system is said to be causal.
Exponentials as eigenfunctions
An eigenfunction is a function for which the output of the operator is the same function, scaled by some constant. In symbols,
- ,
where f is the eigenfunction and is the eigenvalue, a constant.
The exponential functions , where , are eigenfunctions of a linear, time-invariant operator. is the sampling interval, and . A simple proof illustrates this concept.
Suppose the input is . The output of the system with impulse response is then
which is equivalent to the following by the commutative property of convolution
where
is dependent only on the parameter z.
So is an eigenfunction of an LTI system because the system response is the same as the input times the constant .
Z and discrete-time Fourier transforms
The eigenfunction property of exponentials is very useful for both analysis and insight into LTI systems. The Z transform
is exactly the way to get the eigenvalues from the impulse response[clarification needed]. Of particular interest are pure sinusoids, i.e. exponentials of the form , where . These can also be written as with [clarification needed]. The discrete-time Fourier transform (DTFT) gives the eigenvalues of pure sinusoids[clarification needed]. Both of and are called the system function, system response, or transfer function'.
Like the one-sided Laplace transform, the Z transform is usually used in the context of one-sided signals, i.e. signals that are zero for t<0. The discrete-time Fourier transform Fourier series may be used for analyzing periodic signals.
Due to the convolution property of both of these transforms, the convolution that gives the output of the system can be transformed to a multiplication in the transform domain. That is,
Just as with the Laplace transform transfer function in continuous-time system analysis, the Z transform makes it easier to analyze systems and gain insight into their behavior.
Examples
- A simple example of an LTI operator is the delay operator .
- (i.e., it is linear)
- (i.e., it is time invariant)
- The Z transform of the delay operator is a simple multiplication by z−1. That is,
- Another simple LTI operator is the averaging operator
- Because of the linearity of sums,
- and so it is linear. Because,
- it is also time invariant.
Important system properties
The input-output characteristics of discrete-time LTI system are completely described by its impulse response . Two of the most important properties of a system are causality and stability. Non-causal (in time) systems can be defined and analyzed as above, but cannot be realized in real-time. Unstable systems can also be analyzed and built, but are only useful as part of a larger system whose overall transfer function is stable.
Causality
A discrete-time LTI system is causal if the current value of the output depends on only the current value and past values of the input.[4] A necessary and sufficient condition for causality is
where is the impulse response. It is not possible in general to determine causality from the Z transform, because the inverse transform is not unique[dubious ]. When a region of convergence is specified, then causality can be determined.
Stability
A system is bounded input, bounded output stable (BIBO stable) if, for every bounded input, the output is finite. Mathematically, if
implies that
(that is, if bounded input implies bounded output, in the sense that the maximum absolute values of and are finite), then the system is stable. A necessary and sufficient condition is that , the impulse response, satisfies
In the frequency domain, the region of convergence must contain the unit circle (i.e., the locus satisfying for complex z).
Заметки
- ^ Hespanha 2009, p. 78.
- ^ Crutchfield, p. 1. Welcome!
- ^ Crutchfield, p. 1. Exercises
- ^ Phillips 2007, p. 508.
Смотрите также
- Circulant matrix
- Frequency response
- Impulse response
- System analysis
- Green function
- Signal-flow graph
Рекомендации
- Phillips, C.l., Parr, J.M., & Riskin, E.A (2007). Signals, systems and Transforms. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-041207-2.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
- Hespanha, J.P. (2009). Linear System Theory. Princeton university press. ISBN 978-0-691-14021-6.
- Crutchfield, Steve (October 12, 2010), "The Joy of Convolution", Johns Hopkins University, retrieved November 21, 2010
- Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (May 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks — Part I: system theoretic fundamentals" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 43 (6): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395.
дальнейшее чтение
- Porat, Boaz (1997). A Course in Digital Signal Processing. New York: John Wiley. ISBN 978-0-471-14961-3.
- Vaidyanathan, P. P.; Chen, T. (May 1995). "Role of anticausal inverses in multirate filter banks — Part I: system theoretic fundamentals" (PDF). IEEE Trans. Signal Process. 43 (5): 1090. Bibcode:1995ITSP...43.1090V. doi:10.1109/78.382395.
Внешние ссылки
- ECE 209: Review of Circuits as LTI Systems – Short primer on the mathematical analysis of (electrical) LTI systems.
- ECE 209: Sources of Phase Shift – Gives an intuitive explanation of the source of phase shift in two common electrical LTI systems.
- JHU 520.214 Signals and Systems course notes. An encapsulated course on LTI system theory. Adequate for self teaching.
- LTI system example: RC low-pass filter. Amplitude and phase response.