В математике , то медленное многообразие из точки равновесия в виде динамической системы происходит как наиболее распространенный пример центрального коллектора . Одним из основных методов упрощения динамических систем является уменьшение размерности системы до размера медленного многообразия - теория центрального многообразия строго оправдывает моделирование. [1] [2] Например, некоторые глобальные и региональные модели атмосферы или океанов разрешают так называемую квазигеострофическую динамику потока на медленном многообразии динамики атмосферы / океана [3] и, таким образом, имеют решающее значение для прогнозирования с помощью аклиматическая модель .
Определение
Рассмотрим динамическую систему
для развивающегося вектора состояния и с точкой равновесия . Тогда линеаризация системы в точке равновесия имеет вид
Матрица определяет четыре инвариантных подпространства, характеризуемых собственными значениями матрицы: как описано в записи для центрального многообразия, три подпространства - это стабильное, неустойчивое и центральное подпространства, соответствующие промежутку собственных векторов с собственными значениямиимеющие действительную часть отрицательную, положительную и нулевую соответственно; четвертое подпространство - это медленное подпространство, заданное промежутком собственных векторов и обобщенными собственными векторами , соответствующими собственному значениюточно. Медленное подпространство - это подпространство центрального подпространства, или идентичное ему, или, возможно, пустое.
Соответственно, нелинейная система имеет инвариантные многообразия , состоящие из траекторий нелинейной системы, соответствующие каждому из этих инвариантных подпространств. Существует инвариантное многообразие, касающееся медленного подпространства и имеющее ту же размерность; это многообразие - медленное многообразие .
Стохастические медленные многообразия также существуют для зашумленных динамических систем ( стохастическое дифференциальное уравнение ), как и стохастические центральные, стабильные и неустойчивые многообразия. [4] Такие стохастические медленные многообразия аналогичным образом полезны при моделировании возникающей стохастической динамики, но есть много интересных вопросов, которые необходимо решить, например, история и будущие зависимые интегралы шума. [5] [6]
Примеры
Простой случай с двумя переменными
Связанная система двух переменных а также
имеет точное медленное многообразие на котором эволюция . Помимо экспоненциально затухающих переходных процессов, это медленное многообразие и его эволюция захватывают все решения, которые находятся в окрестности начала координат. [7] Окрестность притяжения - это, грубо говоря, по крайней мере, полупространство.
Медленная динамика среди быстрых волн
Эдвард Нортон Лоренц ввел следующую динамическую систему из пяти уравнений с пятью переменными, чтобы исследовать понятие медленного многообразия квазигеострофического потока [8]
Линеаризованное относительно начала координат нулевое собственное значение имеет кратность три, и имеется комплексно сопряженная пара собственных значений, . Следовательно, существует трехмерное медленное многообразие (окруженное «быстрыми» волнами в а также переменные). Позднее Лоренц утверждал, что медленного многообразия не существует! [9] Но аргументы нормальной формы [10] предполагают, что существует динамическая система, экспоненциально близкая к системе Лоренца, для которой существует хорошее медленное многообразие.
Устранение бесконечного количества переменных
В моделировании мы стремимся значительно упростить. В этом примере используется медленное многообразие, чтобы упростить «бесконечномерную» динамику уравнения в частных производных до модели одного обыкновенного дифференциального уравнения . Рассмотрим поле претерпевает нелинейную диффузию
Параметризация граничных условий дает нам возможность охватить изолирующий случай граничных условий Неймана, случай граничных условий Дирихле, и все случаи между ними.
Теперь о чудесном трюке, который часто используется при исследовании динамики с помощью теории бифуркаций . Поскольку параметр постоянна, присоединим к тривиально истинному дифференциальному уравнению
Тогда в расширенном пространстве состояний развивающегося поля и параметра , существует бесконечное количество равновесий, а не только одно равновесие, с (изоляционный) и постоянный, скажем . Не вдаваясь в подробности, для каждого положения равновесия линеаризованная диффузия имеет два нулевых собственных значения и для все остальные отрицательные (менее ). Таким образом, двумерная динамика на медленных многообразиях возникает (см. Возникновение ) из нелинейной диффузии, какими бы сложными ни были начальные условия.
Здесь можно напрямую проверить, что медленное многообразие является в точности полем где амплитуда развивается согласно
То есть, после начальных переходных процессов, обусловленных диффузией гладких внутренних структур, возникающее поведение представляет собой одно из относительно медленных спадов амплитуды () со скоростью, контролируемой типом граничного условия (постоянная ).
Обратите внимание, что эта модель медленного многообразия глобальна в поскольку каждое равновесие обязательно находится в медленном подпространстве равновесия друг друга, но только локально по параметру . Мы еще не можем быть уверены, насколько велик можно взять, но теория уверяет нас, что результаты верны для некоторого конечного параметра .
Пожалуй, простейшее нетривиальное стохастическое медленное многообразие
Стохастическое моделирование намного сложнее - этот пример иллюстрирует только одну такую сложность. Рассмотрим для малого параметрадве переменные динамики этой линейной системы, вызванные шумом от случайного блуждания :
Можно было просто заметить, что процесс Орнштейна – Уленбека формально является интегральной историей
а затем утверждают, что просто интеграл этого интеграла истории. Однако тогда это решение неправильно содержит быстрые интегралы по времени из-за в подынтегральном выражении в предположительно долгой модели.
В качестве альтернативы стохастическое преобразование координат извлекает звуковую модель для долгосрочной динамики. Измените переменные на где
тогда новые переменные эволюционируют в соответствии с простым
В этих новых координатах легко вывести экспоненциально быстро, уходя проходишь блуждающий быть в долгосрочной перспективе моделью стохастической динамики на стохастическом медленном многообразии , полученное посредством установки.
Веб-сервис строит такие медленные многообразия конечных измерений, как детерминированных, так и стохастических. [11]
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Дж. Карр, Приложения теории центрального многообразия , Прикладная математика. Sci. 35 , 1981, Springer-Verlag
- ^ Ю. А. Кузнецов, Элементы прикладной теории бифуркаций , Прикладные математические науки 112 , 1995, Springer-Verlag
- ^ Р. Камасса, О геометрии атмосферного медленного многообразия, Physica D , 84 : 357–397, 1995.
- ^ Людвиг Арнольд, Случайные динамические системы , Монографии Спрингера по математике, 2003.
- ^ AJ Робертс, Нормальная форма преобразует отдельные медленные и быстрые моды в стохастических динамических системах, Physica A 387 : 12–38, 2008.
- ^ Людвиг Арнольд и Питер Имкеллер, Нормальные формы для стохастических дифференциальных уравнений, Probab. Теория Relat. Поля , 110 : 559–588, 1998.
- ^ AJ Робертс, Простые примеры вывода амплитудных уравнений для систем уравнений, обладающих бифуркациями, J. Austral. Математика. Soc. В , 27 , 48–65, 1985.
- ^ Э. Н. Лоренц, О существовании медленного многообразия, Журнал атмосферных наук 43 : 1547–1557, 1986.
- ^ Э. Лоренц и Кришнамурти, О несуществовании медленного многообразия, J. Atmos. Sci. 44 : 2940–2950, 1987.
- ^ Джеймс Мердок, Нормальные формы и развертки для локальных динамических систем, Монографии Springer по математике, 2003, Springer
- ^ AJ Робертс, Нормальная форма стохастических или детерминированных многомасштабных дифференциальных уравнений , http://www.maths.adelaide.edu.au/anthony.roberts/sdenf.html , 2009.