Инвариантное многообразие

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Найти источники: «Инвариантное многообразие» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( август 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Обычно, хотя далеко не всегда, инвариантные многообразия строятся как «возмущение» инвариантного подпространства относительно положения равновесия. В диссипативных системах инвариантное многообразие, основанное на наиболее серьезных и продолжительных модах, образует эффективную низкоразмерную редуцированную модель динамики.^[2]

Определение [ править ]

Рассмотрим дифференциальное уравнение с потоком, которое является решением дифференциального уравнения с . Множество называется инвариантным множеством для дифференциального уравнения, если для каждого решение , определенное на его максимальном интервале существования, имеет свой образ в . В качестве альтернативы орбита, проходящая через каждую из них, лежит в . Кроме того, называется инвариантным многообразием, если - многообразие .^[3] ${\ Displaystyle dx / dt = е (х), \ х \ in \ mathbb {R} ^ {n},}$ ${\ Displaystyle х (т) = \ фи _ {т} (х_ {0})}$ ${\ Displaystyle х (0) = х_ {0}}$ ${\ Displaystyle S \ подмножество \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in S}$ ${\ Displaystyle т \ mapsto \ phi _ {t} (x_ {0})}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle x_ {0} \ in S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle S}$

Примеры [ править ]

Простая 2D динамическая система [ править ]

Для любого фиксированного параметра рассмотрим переменные, описываемые парой связанных дифференциальных уравнений ${\ displaystyle a}$ ${\ Displaystyle х (т), у (т)}$

{\ displaystyle dx / dt = ax-xy \ quad {\ text {and}} \ quad dy / dt = -y + x ^ {2} -2y ^ {2}.}

Происхождение - это равновесие. Эта система имеет два инвариантных многообразия, представляющих интерес через начало координат.

Вертикальная линия инвариантна , как и при -уравнения становится , что обеспечивает остается равным нулю. Это инвариантное многообразие,, является устойчивым многообразием начала координат (когда ), поскольку все начальные условия приводят к решениям, асимптотически приближающимся к нулю. $x=0$ $x=0$ $x$ $dx/dt=0$ $x$ $x=0$ $a\geq 0$ $x(0)=0,\ y(0)>-1/2$
Парабола неизменна для всех параметров . Эту инвариантность можно увидеть, рассматривая производную по времени и обнаруживая, что она равна нулю, как требуется для инвариантного многообразия. Поскольку эта парабола является неустойчивым многообразием начала координат. Поскольку эта парабола является центральным многообразием , точнее медленным многообразием начала координат. $y=x^{2}/(1+2a)$ $a$ $d/dt[y-x^{2}/(1+2a)]$ $y=x^{2}/(1+2a)$ $a>0$ $a=0$
Поскольку существует только инвариантное устойчивое многообразие относительно начала координат, стабильное многообразие включает все . $a<0$ $(x,y),\ y>-1/2$

Инвариантные многообразия в неавтономных динамических системах [ править ]

Дифференциальное уравнение

dx/dt=f(x,t),\ x\in \mathbb {R} ^{n},\ t\in \mathbb {R} ,

представляет собой неавтономную динамическую систему , решения которой имеют вид с . В расширенном фазовом пространстве такой системы любая исходная поверхность порождает инвариантное многообразие $x(t;t_{0},x_{0})=\phi _{t_{0}}^{t}(x_{0})$ $x(t_{0};t_{0},x_{0})=x_{0}$ $\mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R}$ $M_{0}\subset \mathbb {R} ^{n}$

{\mathcal {M}}=\cup _{t\in \mathbb {R} }\phi _{t_{0}}^{t}(M_{0}).

Таким образом, фундаментальный вопрос состоит в том, как выделить из этого большого семейства инвариантных многообразий те, которые имеют наибольшее влияние на общую динамику системы. Эти наиболее влиятельные инвариантные многообразия в расширенном фазовом пространстве неавтономных динамических систем известны как лагранжевые когерентные структуры . ^[4]

См. Также [ править ]

Гиперболический набор
Лагранжева когерентная структура

Ссылки [ править ]

^ Хирш MW, Пью CC, Шуб М., Инвариантные многообразия, Lect. Примечания. Math., 583, Шпрингер, Берлин - Гейдельберг, 1977 г.
^ AJ Робертс. Полезность инвариантного многообразного описания эволюции динамической системы. SIAM J. Math. Anal., 20: 1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Архивировано 20 августа2008 г. на Wayback Machine.
^ С. Чикон. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями, том 34 текстов по прикладной математике. Springer, 2006, стр.34.
Перейти ↑ Haller, G. (2015). «Лагранжевы когерентные структуры». Ежегодный обзор гидромеханики . 47 (1): 137–162. Bibcode : 2015AnRFM..47..137H . DOI : 10.1146 / annurev-fluid-010313-141322 .

[1] Хирш MW, Пью CC, Шуб М., Инвариантные многообразия, Lect. Примечания. Math., 583, Шпрингер, Берлин - Гейдельберг, 1977 г.

[2] AJ Робертс. Полезность инвариантного многообразного описания эволюции динамической системы. SIAM J. Math. Anal., 20: 1447–1458, 1989. http://locus.siam.org/SIMA/volume-20/art_0520094.html Архивировано 20 августа2008 г. на Wayback Machine.

[3] С. Чикон. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями, том 34 текстов по прикладной математике. Springer, 2006, стр.34.

[Haller2015-4] Перейти ↑ Haller, G. (2015). «Лагранжевы когерентные структуры». Ежегодный обзор гидромеханики . 47 (1): 137–162. Bibcode : 2015AnRFM..47..137H . DOI : 10.1146 / annurev-fluid-010313-141322 .

[1]