В математике процесс Орнштейна – Уленбека - это случайный процесс, имеющий приложения в финансовой математике и физических науках. Его первоначальное применение в физике было в качестве модели скорости массивной броуновской частицы под действием трения. Он назван в честь Леонарда Орнштейна и Джорджа Юджина Уленбека .
Процесс Орнштейна – Уленбека - это стационарный процесс Гаусса – Маркова , что означает, что это гауссовский процесс , марковский процесс , однородный во времени. Фактически, это единственный нетривиальный процесс, который удовлетворяет этим трем условиям, вплоть до разрешения линейных преобразований пространственных и временных переменных. [1] Со временем процесс имеет тенденцию дрейфовать к своей средней функции: такой процесс называется возвратом к среднему .
Этот процесс можно рассматривать как модификацию случайного блуждания в непрерывном времени или винеровского процесса , в котором свойства процесса были изменены таким образом, что блуждание имеет тенденцию возвращаться к центральному месту с большее притяжение, когда процесс находится дальше от центра. Процесс Орнштейна – Уленбека также можно рассматривать как непрерывный аналог процесса AR (1) с дискретным временем .
Определение
Процесс Орнштейна – Уленбека определяется следующим стохастическим дифференциальным уравнением :
где а также параметры и обозначает винеровский процесс . [2] [3] [4]
Иногда добавляется дополнительный термин дрейфа:
где является константой. В финансовой математике это также известно как модель Васичека . [5]
Процесс Орнштейна – Уленбека иногда также записывают как уравнение Ланжевена вида
где , также известный как белый шум , заменяет предполагаемую производнуювинеровского процесса. [6] Однаконе существует, потому что винеровский процесс нигде не дифференцируем, и поэтому уравнение Ланжевена, строго говоря, является только эвристическим. [7] В физике и инженерных дисциплинах это обычное представление для процесса Орнштейна – Уленбека и подобных стохастических дифференциальных уравнений, подразумевающее, что шумовой член является производной дифференцируемой (например, Фурье) интерполяции винеровского процесса.
Представление уравнения Фоккера – Планка.
Процесс Орнштейна – Уленбека также можно описать с помощью функции плотности вероятности: , задающий вероятность нахождения процесса в состоянии вовремя . [8] Эта функция удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка
где . Это линейное параболическое уравнение в частных производных, которое может быть решено различными методами. Вероятность перехода гауссиан со средним и дисперсия :
Это дает вероятность состояния происходит во время данное начальное состояние вовремя . Эквивалентно, является решением уравнения Фоккера-Планка с начальным условием .
Математические свойства
Предполагая постоянно, среднее значение
и ковариации является
Процесс Орнштейна – Уленбека является примером гауссовского процесса, который имеет ограниченную дисперсию и допускает стационарное распределение вероятностей , в отличие от винеровского процесса ; разница между ними заключается в их термине «дрейф». Для винеровского процесса член дрейфа постоянен, тогда как для процесса Орнштейна – Уленбека он зависит от текущего значения процесса: если текущее значение процесса меньше (долгосрочного) среднего, дрейф будет положительный; если текущее значение процесса больше, чем (долгосрочное) среднее значение, дрейф будет отрицательным. Другими словами, среднее значение действует как уровень равновесия для процесса. Это дает процессу его информативное название «возврат к среднему».
Свойства образцов путей
Однородный во времени процесс Орнштейна – Уленбека можно представить как масштабированный, преобразованный во времени винеровский процесс :
где это стандартный винеровский процесс. Это примерно теорема 1.2 из [1]. Эквивалентно с заменой переменной это становится
Используя это отображение, можно перевести известные свойства в соответствующие заявления для . Например, закон повторного логарифма длястановится [1]
Формальное решение
Стохастическое дифференциальное уравнение для формально решается варьированием параметров . [9] Письмо
мы получили
Интеграция из к мы получили
после чего мы видим
Из этого представления показано, что первый момент (т.е. среднее значение) равен
предполагая постоянно. Более того, изометрия Itō может использоваться для вычисления ковариационной функции по формуле
Поскольку интеграл Ито от детерминированного подынтегрального выражения имеет нормальное распределение, легко имеем
Числовая выборка
Используя дискретно дискретизированные данные с временными интервалами шириной , оценки максимального правдоподобия для параметров процесса Орнштейна – Уленбека асимптотически нормальны к своим истинным значениям. [10] Точнее, [ неудачная проверка ]
Интерпретация предела масштабирования
Процесс Орнштейна – Уленбека можно интерпретировать как масштабный предел дискретного процесса, точно так же, как броуновское движение является масштабным пределом случайных блужданий . Рассмотрим урну, содержащуюсиние и желтые шары. На каждом шаге случайным образом выбирается шар и заменяется шаром противоположного цвета. Позволять быть количеством синих шаров в урне после шаги. потом сходится по закону к процессу Орнштейна – Уленбека как стремится к бесконечности.
Приложения
По физическим наукам
Процесс Орнштейна – Уленбека является прототипом зашумленного процесса релаксации . Рассмотрим, например, пружину Гука с жесткостью пружины.чья динамика сильно затухает из- за коэффициента трения. При наличии тепловых колебаний с температурой , длина длины пружины будет стохастически колебаться вокруг длины опоры пружины. ; его стохастическая динамика описывается процессом Орнштейна – Уленбека с:
где выводится из уравнения Стокса – Эйнштейна для эффективной постоянной диффузии.
В физических науках стохастическое дифференциальное уравнение процесса Орнштейна – Уленбека переписывается как уравнение Ланжевена.
где является белым гауссовским шумом с Колебания коррелируют как
со временем корреляции .
В состоянии равновесия пружина накапливает среднюю энергию в соответствии с теоремой о равнораспределении .
В финансовой математике
Процесс Орнштейна – Уленбека - один из нескольких подходов, используемых для стохастического моделирования (с модификациями) процентных ставок, обменных курсов валют и цен на сырьевые товары. Параметрпредставляет собой равновесное или среднее значение, поддерживаемое фундаментальными показателями ;степень нестабильности вокруг нее, вызванной потрясениями , искорость, с которой эти шоки рассеиваются, и переменная возвращается к среднему значению. Одним из применений этого процесса является торговая стратегия, известная как парная торговля . [11] [12] [13]
В эволюционной биологии
Процесс Орнштейна-Уленбека был предложен как усовершенствование модели броуновского движения для моделирования изменения фенотипов организма с течением времени. [14] Модель броуновского движения подразумевает, что фенотип может двигаться без ограничений, тогда как для большинства фенотипов естественный отбор требует слишком большого продвижения в любом направлении. Мета-анализ 250 временных рядов фенотипа окаменелостей показал, что модель Орнштейна-Уленбека лучше всего подходит для 115 (46%) исследованных временных рядов, поддерживая застой как общий эволюционный паттерн. [15]
Обобщения
Можно распространить процессы Орнштейна – Уленбека на процессы, в которых фоновым движущим процессом является процесс Леви (вместо простого броуновского движения). [ требуется разъяснение ]
Кроме того, в финансах используются стохастические процессы, в которых волатильность увеличивается при больших значениях . В частности, процесс CKLS (Чан – Кароли – Лонгстафф – Сандерс) [16] с заменой члена волатильности на можно решить в закрытом виде для , а также для , что соответствует обычному процессу OU. Другой особый случай:, что соответствует модели Кокса – Ингерсолла – Росса (CIR-модель).
Высшие измерения
Многомерная версия процесса Орнштейна – Уленбека, обозначаемая N -мерным вектором, можно определить из
где является N -мерным винеровским процессом, а а также - постоянные матрицы размера N × N. [17] Решение
и среднее значение
Обратите внимание, что в этих выражениях используется экспоненциальная матрица .
Процесс также можно описать с помощью функции плотности вероятности , которая удовлетворяет уравнению Фоккера – Планка [18]
где матрица с компонентами определяется . Что касается 1d случая, процесс является линейным преобразованием гауссовских случайных величин, и поэтому сам должен быть гауссовым. Вследствие этого вероятность переходаявляется гауссианом, который можно записать явно. Если действительные части собственных значений больше нуля, стационарное решение кроме того существует, данный
где матрица определяется из уравнения Ляпунова . [19]
Смотрите также
- Стохастическое исчисление
- Винеровский процесс
- Гауссовский процесс
- Математические финансы
- Vasicek модель из процентных ставок
- Краткосрочная модель
- Диффузия
- Теорема флуктуации-диссипации
Заметки
- ^ a b c Дуб, JL (апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики . 43 (2): 351–369. DOI : 10.2307 / 1968873 . JSTOR 1968873 .
- ^ Карацас, Иоаннис; Шрив, Стивен Э. (1991), Броуновское движение и стохастическое исчисление (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 358, ISBN 978-0-387-97655-6
- ^ Гард, Томас К. (1988), Введение в стохастические дифференциальные уравнения , Марсель Деккер, стр. 115, ISBN 978-0-8247-7776-0
- ^ Гардинер, К.В. (1985), Справочник по стохастическим методам (2-е изд.), Springer-Verlag, стр. 106, ISBN 978-0-387-15607-1
- ^ Бьорк, Томас (2009). Теория арбитража в непрерывном времени (3-е изд.). Издательство Оксфордского университета. С. 375, 381. ISBN 978-0-19-957474-2.
- ^ Рискен (1984)
- ^ Лоулер, Грегори Ф. (2006). Введение в случайные процессы (2-е изд.). Чепмен и Холл / CRC. ISBN 978-1584886518.
- ^ Рискен, Х. (1984), Уравнение Фоккера-Планка: методы решения и применения , Springer-Verlag, стр. 99–100, ISBN. 978-0-387-13098-9
- ^ Гардинер (1985) стр. 106
- ^ Айт-Сахалия, Ю. (апрель 2002 г.). "Оценка максимального правдоподобия диффузии с дискретной выборкой: закрытый приближенный подход". Econometrica . 70 (1): 223–262. DOI : 10.1111 / 1468-0262.00274 .
- ^ Оптимальная торговля с обращением к среднему: математический анализ и практическое применение . World Scientific Publishing Co., 2016 г. ISBN 978-9814725910.
- ^ Преимущества парной торговли: нейтральность рынка
- ^ Структура Орнштейна-Уленбека для парной торговли
- ^ Мартинс, EP (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции по сравнительным данным». Амер. Nat . 144 (2): 193–209. DOI : 10.1086 / 285670 .
- ^ Хант, Джин (2007-11-20). «Относительная важность изменения направления, случайных блужданий и застоя в эволюции окаменелостей» . Труды Национальной академии наук . 104 (47): 18404–18408. DOI : 10.1073 / pnas.0704088104 . ISSN 0027-8424 . PMC 2141789 . PMID 18003931 .
- ^ Чан и др. (1992)
- ^ Гардинер (1985), стр. 109
- ^ Гардинер (1985), стр. 97
- ^ Рискен (1984), стр. 156
Рекомендации
- Bibbona, E .; Панфило, Г .; Тавелла, П. (2008). «Процесс Орнштейна-Уленбека как модель белого шума, прошедшего фильтр нижних частот». Метрология . 45 (6): S117 – S126. Bibcode : 2008Metro..45S.117B . DOI : 10.1088 / 0026-1394 / 45/6 / S17 .
- Чан, KC; Кароли, Джорджия; Лонгстафф, Ф.А.; Сандерс, А.Б. (1992). «Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки» . Журнал финансов . 47 (3): 1209–1227. DOI : 10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04011.x .
- Дуб, JL (апрель 1942 г.). «Броуновское движение и стохастические уравнения». Анналы математики . 43 (2): 351–369. DOI : 10.2307 / 1968873 . JSTOR 1968873 .
- Гиллеспи, Д. Т. (1996). «Точное численное моделирование процесса Орнштейна – Уленбека и его интеграла» . Phys. Rev. E . 54 (2): 2084–2091. Bibcode : 1996PhRvE..54.2084G . DOI : 10.1103 / PhysRevE.54.2084 . PMID 9965289 .
- Люнг, Тим; Ли, Синь (2015). «Торговля с оптимальным возвратом к среднему значению с транзакционными издержками и выходом по стоп-лоссу». Международный журнал теоретических и прикладных финансов . 18 (3): 1550020. arXiv : 1411.5062 . DOI : 10.1142 / S021902491550020X .
- Рискен, Х. (1989). Уравнение Фоккера – Планка: метод решения и приложения . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0387504988.
- Уленбек, GE; Орнштейн, LS (1930). «К теории броуновского движения». Phys. Ред . 36 (5): 823–841. Полномочный код : 1930PhRv ... 36..823U . DOI : 10.1103 / PhysRev.36.823 .
- Мартинс, EP (1994). «Оценка скорости фенотипической эволюции по сравнительным данным». Амер. Nat . 144 (2): 193–209. DOI : 10.1086 / 285670 .
Внешние ссылки
- Инструментарий стохастических процессов для управления рисками , Дамиано Бриго, Антонио Далессандро, Маттиас Нойгебауэр и Фарес Трики
- Моделирование и калибровка процесса Орнштейна – Уленбека , М.А. ван ден Берг
- Оценка максимального правдоподобия процессов возврата к среднему , Хосе Карлос Гарсиа Франко
- «Интерактивное веб-приложение: случайные процессы, используемые в количественных финансах» . Архивировано из оригинала на 2015-09-20 . Проверено 3 июля 2015 .