Вариация параметров

Дифференциальные уравнения
Дифференциальные уравнения Навье – Стокса, используемые для моделирования воздушного потока вокруг препятствия
Объем Естественные науки Инженерное дело Астрономия Физика Химия Биология Геология Прикладная математика Механика сплошной среды Теория хаоса Динамические системы Социальные науки Экономика Динамика населения
Классификация
Типы Обычный Частичное Дифференциально-алгебраический Интегро-дифференциал Дробное Линейный Нелинейный По типу переменной Зависимые и независимые переменные Автономный Сложный Связанный / развязанный Точный Однородный  / неоднородный Функции Заказ Оператор Обозначение
Отношение к процессам Разница (дискретный аналог) Стохастик Стохастический частичный Задерживать
Решение
Существование и уникальность Теорема Пикара – Линделёфа Теорема существования Пеано Теорема существования Каратеодори Теорема Коши – Ковалевского
Общие темы Вронскиан Фазовый портрет Фазовое пространство Ляпунов  / Асимптотика  / Экспоненциальная устойчивость Скорость сходимости Серии  / Интегральные решения Численное интегрирование Дельта-функция Дирака
Методы решения Осмотр Метод характеристик Эйлер Формула экспоненциального отклика Конечная разность  ( Кривошип – Николсон ) Заключительный элемент Бесконечный элемент Конечный объем Галеркин Петров – Галеркин Интегрирующий фактор Интегральные преобразования Теория возмущений Рунге-Кутта Разделение переменных Неопределенные коэффициенты Вариация параметров
Люди Исаак Ньютон Готфрид Лейбниц Леонард Эйлер Эмиль Пикар Юзеф Мария Хене-Вроньски Эрнст Линделёф Рудольф Липшиц Огюстен-Луи Коши Джон Крэнк Филлис Николсон Карл Давид Толме Рунге Мартин Кутта
v т е

В математике , изменение параметров , также известных как вариации постоянных , является общим методом решения неоднородных линейных обыкновенных дифференциальных уравнений .

Для неоднородных линейных дифференциальных уравнений первого порядка обычно можно найти решения с помощью интегрирования множителей или неопределенных коэффициентов со значительно меньшими усилиями, хотя эти методы используют эвристики, которые предполагают угадывание, и не работают для всех неоднородных линейных дифференциальных уравнений.

Вариация параметров распространяется также на линейные уравнения в частных производных , в частности, на неоднородные задачи для линейных эволюционных уравнений, таких как уравнение теплопроводности , волновое уравнение и уравнение вибрирующей пластины . В этом случае метод чаще известен как принцип Дюамеля , названный в честь Жана-Мари Дюамеля (1797–1872), который первым применил этот метод для решения неоднородного уравнения теплопроводности. Иногда саму вариацию параметров называют принципом Дюамеля и наоборот.

История [ править ]

Метод изменения параметров был впервые описан швейцарским математиком Леонардом Эйлером (1707–1783), а позже завершен итало-французским математиком Жозефом-Луи Лагранжем (1736–1813). ^[1]

Предшественник метода изменения элементов орбиты небесного тела появился в работе Эйлера 1748 года, когда он изучал взаимные возмущения Юпитера и Сатурна. ^[2] В своем исследовании движения Земли в 1749 году Эйлер получил дифференциальные уравнения для орбитальных элементов. ^[3] В 1753 году он применил этот метод к изучению движения Луны. ^[4]

Лагранж впервые применил этот метод в 1766 году. ^[5] Между 1778 и 1783 годами он развил метод в двух сериях мемуаров: одна о вариациях в движении планет ^[6], а другая - об определении орбиты кометы из трех наблюдения. ^[7] В течение 1808–1810 гг. Лагранж придал методу вариации параметров его окончательную форму в третьей серии работ. ^[8]

Интуитивное объяснение [ править ]

Рассмотрим уравнение вынужденной бездисперсионной пружины в подходящих единицах:

${\ displaystyle x '' (t) + x (t) = F (t).}$

Здесь x - смещение пружины из положения равновесия x = 0 , а F ( t ) - внешняя приложенная сила, которая зависит от времени. Когда внешняя сила равна нулю, это однородное уравнение (решения которого представляют собой линейные комбинации синусов и косинусов, соответствующие колебаниям пружины с постоянной полной энергией).

Мы можем построить решение физически следующим образом. Между моментами времени и импульс, соответствующий решению, имеет чистое изменение (см .: Импульс (физика) ). Решение неоднородного уравнения в настоящее время t > 0 получается путем линейного наложения решений, полученных таким образом, для s, лежащих между 0 и t .${\ displaystyle t = s}$${\ displaystyle t = s + ds}$${\ Displaystyle F (s) \, ds}$

Однородная задача с начальным значением, представляющая небольшой импульс , добавляемый к решению во время , имеет вид${\ Displaystyle F (s) \, ds}$${\ displaystyle t = s}$

${\ Displaystyle x '' (t) + x (t) = 0, \ quad x (s) = 0, \ x '(s) = F (s) \, ds.}$

Легко увидеть уникальное решение этой проблемы . Линейная суперпозиция всех этих решений дается интегралом:${\ Displaystyle х (т) = F (s) \ sin (ts) \, ds}$

${\ displaystyle x (t) = \ int _ {0} ^ {t} F (s) \ sin (ts) \, ds.}$

Чтобы убедиться, что это удовлетворяет требуемому уравнению:

${\ displaystyle x '(t) = \ int _ {0} ^ {t} F (s) \ cos (ts) \, ds}$

${\ Displaystyle x '' (t) = F (t) - \ int _ {0} ^ {t} F (s) \ sin (ts) \, ds = F (t) -x (t),}$

по мере необходимости (см .: интегральное правило Лейбница ).

Общий метод вариации параметров позволяет решать неоднородное линейное уравнение

${\displaystyle Lx(t)=F(t)}$

посредством рассмотрения линейного дифференциального оператора второго порядка L как результирующей силы, таким образом, общий импульс, сообщаемый решению между временем s и s + ds, равен F ( s ) ds . Обозначим через решение однородной начальной задачи ${\displaystyle x_{s}}$

${\displaystyle Lx(t)=0,\quad x(s)=0,x'(s)=F(s)\,ds.}$

Тогда частным решением неоднородного уравнения является

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}x_{s}(t)\,ds,}$

результат линейного наложения бесконечно малых однородных решений. Есть обобщения на линейные дифференциальные операторы более высокого порядка.

На практике изменение параметров обычно включает фундаментальное решение однородной задачи, при этом бесконечно малые решения затем задаются в виде явных линейных комбинаций линейно независимых фундаментальных решений. В случае принудительной бездисперсионной пружины ядро представляет собой соответствующее разложение на фундаментальные решения.${\displaystyle x_{s}}$${\displaystyle \sin(t-s)=\sin t\cos s-\sin s\cos t}$

Описание метода [ править ]

Для обыкновенного неоднородного линейного дифференциального уравнения порядка n

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=b(x).\quad \quad {\rm {(i)}}}$

Пусть - фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения${\displaystyle y_{1}(x),\ldots ,y_{n}(x)}$

${\displaystyle y^{(n)}(x)+\sum _{i=0}^{n-1}a_{i}(x)y^{(i)}(x)=0.\quad \quad {\rm {(ii)}}}$

Тогда частное решение неоднородного уравнения дается формулой

${\displaystyle y_{p}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}(x)\quad \quad {\rm {(iii)}}}$

где - дифференцируемые функции, которые, как предполагается, удовлетворяют условиям${\displaystyle c_{i}(x)}$

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(j)}(x)=0,\quad j=0,\ldots ,n-2.\quad \quad {\rm {(iv)}}}$

Начиная с (iii), повторная дифференциация в сочетании с повторным использованием (iv) дает

${\displaystyle y_{p}^{(j)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(j)}(x),\quad j=0,\ldots ,n-1\,\mathrm {.} \quad \quad {\rm {(v)}}}$

Последнее различие дает

${\displaystyle y_{p}^{(n)}(x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)+\sum _{i=1}^{n}c_{i}(x)y_{i}^{(n)}(x)\,\mathrm {.} \quad \quad {\rm {(vi)}}}$

Подставляя (iii) в (i) и применяя (v) и (vi), получаем, что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}c_{i}'(x)y_{i}^{(n-1)}(x)=b(x).\quad \quad {\rm {(vii)}}}$

Затем линейная система (iv и vii) n уравнений может быть решена с использованием правила Крамера, что дает

${\displaystyle c_{i}'(x)={\frac {W_{i}(x)}{W(x)}},\,\quad i=1,\ldots ,n}$

где - определитель Вронского фундаментальной системы и - определитель Вронскиана фундаментальной системы с заменой i-го столбца на${\displaystyle W(x)}$${\displaystyle W_{i}(x)}$${\displaystyle (0,0,\ldots ,b(x)).}$

Частное решение неоднородного уравнения тогда может быть записано как

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}y_{i}(x)\,\int {\frac {W_{i}(x)}{W(x)}}\,\mathrm {d} x.}$

Примеры [ править ]

Уравнение первого порядка [ править ]

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

Общее решение соответствующего однородного уравнения (записанное ниже) является дополнительным решением нашего исходного (неоднородного) уравнения:

${\displaystyle y'+p(x)y=0}$.

Это однородное дифференциальное уравнение может быть решено разными методами, например разделением переменных :

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}y+p(x)y=0}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-p(x)y}$

${\displaystyle {dy \over y}=-{p(x)dx},}$

${\displaystyle \int {\frac {1}{y}}\,dy=-\int p(x)\,dx}$

${\displaystyle \ln |y|=-\int p(x)\,dx+C}$

${\displaystyle y=\pm e^{-\int p(x)\,dx+C}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

Таким образом, дополнительное решение к нашему исходному уравнению:

${\displaystyle y_{c}=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}}$

Вернемся к решению неоднородного уравнения:

${\displaystyle y'+p(x)y=q(x)}$

Используя метод вариации параметров, частное решение формируется путем умножения дополнительного решения на неизвестную функцию C (x):

${\displaystyle y_{p}=C(x)e^{-\int p(x)\,dx}}$

Подставляя частное решение в неоднородное уравнение, мы можем найти C (x):

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}-C(x)p(x)e^{-\int p(x)\,dx}+p(x)C(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)e^{-\int p(x)\,dx}=q(x)}$

${\displaystyle C'(x)=q(x)e^{\int p(x)\,dx}}$

${\displaystyle C(x)=\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx+C_{1}}$

Нам нужно только одно конкретное решение, поэтому для простоты мы выбираем произвольно . Поэтому конкретное решение:${\displaystyle C_{1}=0}$

${\displaystyle y_{p}=e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx}$

Окончательное решение дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=y_{c}+y_{p}\\&=C_{0}e^{-\int p(x)\,dx}+e^{-\int p(x)\,dx}\int q(x)e^{\int p(x)\,dx}\,dx\end{aligned}}}$

Это воссоздает метод интеграции факторов .

Конкретное уравнение второго порядка [ править ]

Давайте решать

${\displaystyle y''+4y'+4y=\cosh x}$

Мы хотим найти общее решение дифференциального уравнения, то есть мы хотим найти решения однородного дифференциального уравнения

${\displaystyle y''+4y'+4y=0.}$

Характеристическое уравнение является:

${\displaystyle \lambda ^{2}+4\lambda +4=(\lambda +2)^{2}=0}$

Поскольку это повторяющийся корень, мы должны ввести множитель x для одного решения, чтобы гарантировать линейную независимость: u ₁  =  e ^{−2 x} и u ₂  =  xe ^{−2 x} . Вронского этих двух функций${\displaystyle \lambda =-2}$

${\displaystyle W={\begin{vmatrix}e^{-2x}&xe^{-2x}\\-2e^{-2x}&-e^{-2x}(2x-1)\\\end{vmatrix}}=-e^{-2x}e^{-2x}(2x-1)+2xe^{-2x}e^{-2x}=e^{-4x}.}$

Поскольку вронскиан отличен от нуля, эти две функции линейно независимы, так что это фактически общее решение однородного дифференциального уравнения (а не просто его подмножество).

Мы ищем функции A ( x ) и B ( x ) так, чтобы A ( x ) u ₁  +  B ( x ) u ₂ было частным решением неоднородного уравнения. Нам нужно только вычислить интегралы

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over W}u_{2}(x)b(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)b(x)\,\mathrm {d} x}$

Напомним, что в этом примере

${\displaystyle b(x)=\cosh x}$

То есть,

${\displaystyle A(x)=-\int {1 \over e^{-4x}}xe^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-\int xe^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=-{1 \over 18}e^{x}(9(x-1)+e^{2x}(3x-1))+C_{1}}$

${\displaystyle B(x)=\int {1 \over e^{-4x}}e^{-2x}\cosh x\,\mathrm {d} x=\int e^{2x}\cosh x\,\mathrm {d} x={1 \over 6}e^{x}(3+e^{2x})+C_{2}}$

где и - постоянные интегрирования.${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle C_{2}}$

Общее уравнение второго порядка [ править ]

У нас есть дифференциальное уравнение вида

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=f(x)}$

и определим линейный оператор

${\displaystyle L=D^{2}+p(x)D+q(x)}$

где D представляет собой дифференциальный оператор . Следовательно, мы должны решить уравнение для , где и известны.${\displaystyle Lu(x)=f(x)}$${\displaystyle u(x)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle f(x)}$

Сначала мы должны решить соответствующее однородное уравнение:

${\displaystyle u''+p(x)u'+q(x)u=0}$

по выбранной нами технике. После того как мы получили два линейно независимых решения этого однородного дифференциального уравнения (поскольку это ОДУ второго порядка) - назовем их u ₁ и u ₂ - мы можем приступить к изменению параметров.

Теперь мы ищем общее решение дифференциального уравнения, которое, как мы предполагаем, имеет вид${\displaystyle u_{G}(x)}$

${\displaystyle u_{G}(x)=A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x).}$

Здесь и неизвестны и и являются решениями однородного уравнения. (Обратите внимание, что если и являются константами, то .) Поскольку приведенное выше - только одно уравнение и у нас есть две неизвестные функции, разумно наложить второе условие. Выбираем следующие:${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle u_{1}(x)}$${\displaystyle u_{2}(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)=0}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

Сейчас же,

${\displaystyle {\begin{aligned}u_{G}'(x)&=\left(A(x)u_{1}(x)+B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=\left(A(x)u_{1}(x)\right)'+\left(B(x)u_{2}(x)\right)'\\&=A'(x)u_{1}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)+A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\\&=A(x)u_{1}'(x)+B(x)u_{2}'(x)\end{aligned}}}$

Снова дифференцируем (без промежуточных шагов)

${\displaystyle u_{G}''(x)=A(x)u_{1}''(x)+B(x)u_{2}''(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Теперь мы можем записать действие L на u _{G в} виде

${\displaystyle Lu_{G}=A(x)Lu_{1}(x)+B(x)Lu_{2}(x)+A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

Поскольку u ₁ и u ₂ - решения, то

${\displaystyle Lu_{G}=A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x).}$

У нас есть система уравнений

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.}$

Расширение,

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)\\A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}.}$

Таким образом, указанная выше система точно определяет условия

${\displaystyle A'(x)u_{1}(x)+B'(x)u_{2}(x)=0.}$

${\displaystyle A'(x)u_{1}'(x)+B'(x)u_{2}'(x)=Lu_{G}=f.}$

Мы ищем A ( x ) и B ( x ) из этих условий, поэтому, учитывая

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}}$

мы можем решить для ( A ′ ( x ), B ′ ( x )) ^T , поэтому

${\displaystyle {\begin{pmatrix}A'(x)\\B'(x)\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}(x)&u_{2}(x)\\u_{1}'(x)&u_{2}'(x)\end{pmatrix}}^{-1}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}}={\frac {1}{W}}{\begin{pmatrix}u_{2}'(x)&-u_{2}(x)\\-u_{1}'(x)&u_{1}(x)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0\\f\end{pmatrix}},}$

где W обозначает вронскиан для u ₁ и u ₂ . (Мы знаем, что W отлично от нуля из предположения, что u ₁ и u ₂ линейно независимы.) Итак,

${\displaystyle {\begin{aligned}A'(x)&=-{1 \over W}u_{2}(x)f(x),\;B'(x)={1 \over W}u_{1}(x)f(x)\\A(x)&=-\int {1 \over W}u_{2}(x)f(x)\,\mathrm {d} x,\;B(x)=\int {1 \over W}u_{1}(x)f(x)\,\mathrm {d} x\end{aligned}}}$

В то время как однородные уравнения относительно легко решить, этот метод позволяет рассчитать коэффициенты общего решения в однородном уравнении, и , таким образом , полное общее решение неоднородного уравнения может быть определенно.

Обратите внимание, что и определяются только с точностью до произвольной аддитивной константы ( константы интегрирования ). Добавление константы или не изменяет значение, потому что дополнительный член - это просто линейная комбинация u ₁ и u ₂ , которая по определению является решением для .${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle A(x)}$${\displaystyle B(x)}$${\displaystyle Lu_{G}(x)}$${\displaystyle L}$

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Коддингтон, Эрл А .; Левинсон, Норман (1955). Теория обыкновенных дифференциальных уравнений . Макгроу-Хилл .
• Бойс, Уильям Э .; ДиПрима, Ричард С. (2005). Элементарные дифференциальные уравнения и краевые задачи (8-е изд.). Вайли. С. 186–192, 237–241.
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Американское математическое общество .

Внешние ссылки [ править ]

• Онлайн-заметки / доказательства Пола Докинза, Университет Ламара .
• Страница PlanetMath .
• ПРИМЕЧАНИЕ О МЕТОДЕ ИЗМЕНЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ЛАГРАНЖА