Стационарный процесс

В математике и статистике , стационарный процесс (или строгий / строго стационарный процесс или сильный / сильно стационарный процесс ) представляет собой случайный процесс , чьи безусловные совместное распределение вероятностей не меняется при сдвиге во время. ^[1] Следовательно, такие параметры, как среднее значение и дисперсия, также не меняются со временем.

Поскольку стационарность является допущением, лежащим в основе многих статистических процедур, используемых при анализе временных рядов , нестационарные данные часто преобразуются в стационарные. Наиболее частой причиной нарушения стационарности является тренд среднего, который может быть вызван либо наличием единичного корня, либо детерминированным трендом. В первом случае единичного корня стохастические шоки имеют постоянные последствия, и этот процесс не является обратным к среднему . В последнем случае детерминированного тренда процесс называется стационарным по тренду , и стохастические шоки имеют только временные эффекты, после которых переменная стремится к детерминированно развивающемуся (непостоянному) среднему.

Стационарный трендовый процесс не является строго стационарным, но его можно легко преобразовать в стационарный процесс, удалив основной тренд, который является исключительно функцией времени. Точно так же процессы с одним или несколькими единичными корнями можно сделать стационарными посредством дифференцирования. Важным типом нестационарного процесса, который не включает трендовое поведение, является циклостационарный процесс , который представляет собой случайный процесс, который циклически изменяется со временем.

Для многих приложений стационарность в строгом смысле является слишком строгой. Затем используются другие формы стационарности, такие как стационарность в широком смысле или стационарность N -го порядка . Определения различных видов стационарности у разных авторов не совпадают (см. Другая терминология ).

Стационарность в строгом смысле [ править ]

Определение [ править ]

Формально, пусть будет случайный процесс и пусть представляют собой интегральную функцию распределения из безусловного (т.е. без ссылки на какой - либо конкретной исходной величины) совместное распределение по время от времени . Тогда, называется строго стационарным , сильно стационарным или стационарным в строгом смысле, если ^[2]^:^с.¹⁵⁵ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ Displaystyle F_ {X} (x_ {t_ {1} + \ tau}, \ ldots, x_ {t_ {n} + \ tau})}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ Displaystyle т_ {1} + \ тау, \ ldots, т_ {п} + \ тау}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$

{\ Displaystyle F_ {X} (x_ {t_ {1} + \ tau}, \ ldots, x_ {t_ {n} + \ tau}) = F_ {X} (x_ {t_ {1}}, \ ldots, x_ {t_ {n}}) \ quad {\ text {для всех}} \ tau, t_ {1}, \ ldots, t_ {n} \ in \ mathbb {R} {\ text {и для всех}} n \ in \ mathbb {N}}

( Уравнение 1 )

Поскольку не влияет , это не функция времени. ${\ Displaystyle \ тау}$ ${\ Displaystyle F_ {X} (\ cdot)}$ ${\ displaystyle F_ {X}}$

Примеры [ править ]

Выше показаны два моделируемых процесса временных рядов, один стационарный, а другой нестационарный. Расширенная Дики-Фуллер (ADF) тестовая статистика сообщаются для каждого процесса; нестационарность не может быть отклонена для второго процесса на уровне значимости 5% .

Белый шум - простейший пример стационарного процесса.

Примером стационарного процесса с дискретным временем, в котором пространство выборок также дискретно (так что случайная величина может принимать одно из N возможных значений), является схема Бернулли . Другие примеры стационарного процесса с дискретным временем и непрерывным пространством выборки включают в себя некоторые процессы авторегрессии и скользящего среднего, которые являются подмножествами модели авторегрессионного скользящего среднего . Модели с нетривиальным компонентом авторегрессии могут быть стационарными или нестационарными, в зависимости от значений параметров, и важными нестационарными частными случаями являются единичные корни в модели.

Пример 1 [ править ]

Позвольте быть любой скалярной случайной величиной и определите временной ряд следующим образом: ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$

{\ displaystyle X_ {t} = Y \ qquad {\ text {для всех}} t.}

Тогда это стационарный временной ряд, для которого реализации состоят из ряда постоянных значений с различным постоянным значением для каждой реализации. Закон больших чисел не действует на этом случае, как предельное значение среднего от одной реализации принимает случайное значение , определенное , а не принимать ожидаемое значение в . ${\ displaystyle \ left \ {X_ {t} \ right \}}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Y}$

Среднее по времени не сходится, поскольку процесс не эргодичен . $X_{t}$

Пример 2 [ править ]

В качестве дополнительного примера стационарного процесса , для которого какой - либо одной реализации имеет , по- видимому бесшумное структуру, пусть имеют равномерное распределение на и определить временные ряды путем $Y$ $(0,2\pi ]$ $\left\{X_{t}\right\}$

X_{t}=\cos(t+Y)\quad {\text{ for }}t\in \mathbb {R} .

Потом строго стационарно. $\left\{X_{t}\right\}$

Стационарность N- го порядка [ править ]

В уравнении 2 распределение выборок случайного процесса должно быть равно распределению выборок, сдвинутых во времени для всех . Стационарность N -го порядка - это более слабая форма стационарности, когда она требуется только для всех до определенного порядка . Случайный процесс называется стационарным N -го порядка, если: ^[2]^:^p.¹⁵² $n$ $n$ $n$ $N$ $\left\{X_{t}\right\}$

F_{X}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{n}+\tau })=F_{X}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{n}})\quad {\text{for all }}\tau ,t_{1},\ldots ,t_{n}\in \mathbb {R} {\text{ and for all }}n\in \{1,\ldots ,N\}

( Уравнение 2 )

Слабая или широкая стационарность [ править ]

Определение [ править ]

Более слабая форма стационарности , обычно используемая в обработке сигналов известна как слабое чувство стационарности , в широком смысле стационарность (WSS) или ковариационной стационарность . Для случайных процессов WSS требуется только, чтобы 1-й момент (т.е. среднее значение) и автоковариация не менялись во времени и чтобы 2-й момент был конечным для всех времен. Любой строго стационарный процесс, который имеет конечное среднее значение и ковариацию , также является WSS. ^[3]^{: с. 299}

Таким образом, время непрерывного случайный процесс , который WSS имеет следующие ограничения на ее среднюю функцию и автоковариационной функции : $\left\{X_{t}\right\}$ $m_{X}(t)\triangleq \operatorname {E} [X_{t}]$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})\triangleq \operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$

{\begin{aligned}&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau )&&{\text{for all }}\tau \in \mathbb {R} \\&K_{XX}(t_{1},t_{2})=K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&\operatorname {E} [|X(t)|^{2}]<\infty &&{\text{for all }}t\in \mathbb {R} \end{aligned}}

( Уравнение 3 )

Первое свойство означает, что функция среднего должна быть постоянной. Второе свойство подразумевает, что ковариационная функция зависит только от разницы между и и должна индексироваться только одной переменной, а не двумя переменными. ^[2]^:^с.¹⁵⁹ Таким образом, вместо того, чтобы писать, $m_{X}(t)$ $t_{1}$ $t_{2}$

\,\!K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)\,

обозначения часто сокращают заменой : $\tau =t_{1}-t_{2}$

K_{XX}(\tau )\triangleq K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)

Это также означает, что автокорреляция зависит только от , то есть $\tau =t_{1}-t_{2}$

\,\!R_{X}(t_{1},t_{2})=R_{X}(t_{1}-t_{2},0)\triangleq R_{X}(\tau ).

Третье свойство гласит, что вторые моменты должны быть конечными для любого времени . $t$

Мотивация [ править ]

Основное преимущество стационарности в широком смысле состоит в том, что она помещает временные ряды в контекст гильбертовых пространств . Пусть H - гильбертово пространство, порожденное { x ( t )} (то есть замыкание множества всех линейных комбинаций этих случайных величин в гильбертовом пространстве всех интегрируемых с квадратом случайных величин на данном вероятностном пространстве). К положительной определенности функции автоковариационная, то из теоремы Бохнера , что существует положительная мера на вещественной прямой таким образом, что Н изоморфна Гильберта подпространстве L ² ( ц ) , порожденный { е ^-2^$П$ $\mu$ ^iξ⋅t }. Тогда это дает следующее разложение типа Фурье для стационарного случайного процесса с непрерывным временем: существует случайный процессс ортогональными приращениями такой, что для всех $\omega _{\xi }$ $t$

X_{t}=\int e^{-2\pi i\lambda \cdot t}\,d\omega _{\lambda },

где интеграл в правой части интерпретируется в подходящем (римановом) смысле. Тот же результат справедлив для стационарного процесса с дискретным временем, когда спектральная мера теперь определена на единичной окружности.

При обработке WSS случайных сигналов с линейной , времени инвариантных ( LTI ) фильтров , полезно думать о корреляционной функции в качестве линейного оператора . Поскольку это циркулянтный оператор (зависит только от разницы между двумя аргументами), его собственными функциями являются комплексные экспоненты Фурье . Кроме того, поскольку собственные функции операторов LTI также являются комплексными экспонентами , обработка случайных сигналов WSS в режиме LTI очень легко управляема - все вычисления могут выполняться в частотной области . Таким образом, допущение WSS широко используется при обработке сигналов.алгоритмы .

Определение сложного случайного процесса [ править ]

В случае, когда представляет собой сложный случайный процесс, функция автоковариации определяется как и, в дополнение к требованиям в уравнении 3 , требуется, чтобы функция псевдоавтовариантности зависела только от временной задержки. В формулах - WSS, если $\left\{X_{t}\right\}$ $K_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1})){\overline {(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))}}]$ $J_{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(X_{t_{2}}-m_{X}(t_{2}))]$ $\left\{X_{t}\right\}$

{\begin{aligned}&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau )&&{\text{for all }}\tau \in \mathbb {R} \\&K_{XX}(t_{1},t_{2})=K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&J_{XX}(t_{1},t_{2})=J_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&\operatorname {E} [|X(t)|^{2}]<\infty &&{\text{for all }}t\in \mathbb {R} \end{aligned}}

( Уравнение 4 )

Совместная стационарность [ править ]

Понятие стационарности можно распространить на два случайных процесса.

Совместная стационарность в строгом смысле [ править ]

Два случайных процесса и называются совместно в строгом смысле стационарными, если их совместное кумулятивное распределение остается неизменным при временных сдвигах, т. Е. Если $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ $F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})$

F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})=F_{XY}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{m}+\tau },y_{t_{1}^{'}+\tau },\ldots ,y_{t_{n}^{'}+\tau })\quad {\text{for all }}\tau ,t_{1},\ldots ,t_{m},t_{1}^{'},\ldots ,t_{n}^{'}\in \mathbb {R} {\text{ and for all }}m,n\in \mathbb {N}

( Уравнение 5 )

Совместная ( M + N ) стационарность-го порядка [ править ]

Два случайных процесса и называются совместно стационарными ( M + N ) -го порядка, если: ^[2]^:^p.¹⁵⁹ $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$

F_{XY}(x_{t_{1}},\ldots ,x_{t_{m}},y_{t_{1}^{'}},\ldots ,y_{t_{n}^{'}})=F_{XY}(x_{t_{1}+\tau },\ldots ,x_{t_{m}+\tau },y_{t_{1}^{'}+\tau },\ldots ,y_{t_{n}^{'}+\tau })\quad {\text{for all }}\tau ,t_{1},\ldots ,t_{m},t_{1}^{'},\ldots ,t_{n}^{'}\in \mathbb {R} {\text{ and for all }}m\in \{1,\ldots ,M\},n\in \{1,\ldots ,N\}

( Уравнение 6 )

Совместная слабая или широкая стационарность [ править ]

Два случайных процесса и называются совместно стационарными в широком смысле, если они оба являются стационарными в широком смысле и их функция кросс-ковариации зависит только от разницы во времени . Это можно резюмировать следующим образом: $\left\{X_{t}\right\}$ $\left\{Y_{t}\right\}$ $K_{XY}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} [(X_{t_{1}}-m_{X}(t_{1}))(Y_{t_{2}}-m_{Y}(t_{2}))]$ $\tau =t_{1}-t_{2}$

{\begin{aligned}&m_{X}(t)=m_{X}(t+\tau )&&{\text{for all }}\tau \in \mathbb {R} \\&m_{Y}(t)=m_{Y}(t+\tau )&&{\text{for all }}\tau \in \mathbb {R} \\&K_{XX}(t_{1},t_{2})=K_{XX}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&K_{YY}(t_{1},t_{2})=K_{YY}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \\&K_{XY}(t_{1},t_{2})=K_{XY}(t_{1}-t_{2},0)&&{\text{for all }}t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \end{aligned}}

( Ур.7 )

Связь между типами стационарности [ править ]

Если случайный процесс является стационарным N -го порядка, то он также является стационарным M -го порядка для всех . $M\leq N$
Если случайный процесс является стационарным второго порядка ( ) и имеет конечные вторые моменты, то он также является стационарным в широком смысле. ^[2]^:^с.¹⁵⁹ $N=2$
Если случайный процесс является стационарным в широком смысле, он не обязательно является стационарным второго порядка. ^[2]^{: с. 159}
Если случайный процесс стационарен в строгом смысле и имеет конечные вторые моменты, он стационарен в широком смысле. ^[3]^{: с. 299}
Если два случайных процесса являются совместно стационарными ( M + N ) -го порядка, это не гарантирует, что отдельные процессы являются стационарными M-го порядка соответственно N -го порядка. ^[2]^{: с. 159}

Другая терминология [ править ]

Терминология, используемая для обозначений типов стационарности, отличных от строгой стационарности, может быть довольно смешанной. Ниже приведены некоторые примеры.

Пристли использует стационарность до порядка m, если условия, подобные приведенным здесь для стационарности в широком смысле, применяются к моментам до порядка m . ^[4]^[5] Таким образом, стационарность в широком смысле была бы эквивалентна «стационарности порядка 2», что отличается от определения стационарности второго порядка, данного здесь.
Хонархах и Каерс также используют предположение о стационарности в контексте многоточечной геостатистики, где предполагается, что более высокие статистические данные по n точкам являются стационарными в пространственной области. ^[6]
Тахмасеби и Сахими представили адаптивную методологию на основе Шеннона, которую можно использовать для моделирования любых нестационарных систем. ^[7]

Различия [ править ]

Один из способов сделать некоторые временные ряды стационарными - это вычислить различия между последовательными наблюдениями. Это называется разницей . Дифференциация может помочь стабилизировать среднее значение временного ряда, удалив изменения в уровне временного ряда и, таким образом, устранив тенденцию и сезонность.

Преобразования, такие как логарифмы, могут помочь стабилизировать дисперсию временного ряда.

Одним из способов определения нестационарных временных рядов является график АКФ . Для стационарных временных рядов ACF упадет до нуля относительно быстро, в то время как ACF нестационарных данных уменьшается медленно. ^[8]

См. Также [ править ]

Леви процесс
Стационарный эргодический процесс
Теорема Винера – Хинчина.
Эргодичность
Статистическая закономерность
Автокорреляция
Малая вероятность

Ссылки [ править ]

^ Gagniuc, Пол А. (2017). Цепи Маркова: от теории к реализации и экспериментам . США, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. С. 1–256. ISBN 978-1-119-38755-8.
^ Б с д е е г Парк, Kun IL (2018). Основы вероятностных и случайных процессов с приложениями к коммуникациям . Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.
^ a b Ионут Флореску (7 ноября 2014 г.). Вероятность и случайные процессы . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-1-118-59320-2.
^ Пристли, МБ (1981). Спектральный анализ и временные ряды . Академическая пресса. ISBN 0-12-564922-3.
^ Пристли, МБ (1988). Нелинейный и нестационарный анализ временных рядов . Академическая пресса. ISBN 0-12-564911-8.
^ Honarkhah, M .; Каерс, Дж. (2010). «Стохастическое моделирование паттернов с использованием дистанционного моделирования паттернов». Математические науки о Земле . 42 (5): 487–517. DOI : 10.1007 / s11004-010-9276-7 .
^ Tahmasebi, P .; Сахими, М. (2015). «Реконструкция нестационарных неупорядоченных материалов и сред: преобразование водораздела и функция взаимной корреляции» (PDF) . Physical Review E . 91 (3): 032401. DOI : 10,1103 / PhysRevE.91.032401 . PMID 25871117 .
^ «8.1 Стационарность и разность | OTexts» . www.otexts.org . Проверено 18 мая 2016 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Эндерс, Уолтер (2010). Прикладные эконометрические временные ряды (Третье изд.). Нью-Йорк: Вили. С. 53–57. ISBN 978-0-470-50539-7.
Jestrovic, I .; Койл, JL; Сейдич, Э (2015). «Влияние повышенной вязкости жидкости на стационарные характеристики сигнала ЭЭГ у здоровых взрослых» . Исследование мозга . 1589 : 45–53. DOI : 10.1016 / j.brainres.2014.09.035 . PMC 4253861 . PMID 25245522 .
Гайндман, Афанасопулос (2013). Прогнозирование: принципы и практика. Otexts. https://www.otexts.org/fpp/8/1

Внешние ссылки [ править ]

Спектральное разложение случайной функции (Спрингера)

[1] Gagniuc, Пол А. (2017). Цепи Маркова: от теории к реализации и экспериментам . США, Нью-Джерси: John Wiley & Sons. С. 1–256. ISBN 978-1-119-38755-8.

[KunIlPark-2] Б с д е е г Парк, Kun IL (2018). Основы вероятностных и случайных процессов с приложениями к коммуникациям . Springer. ISBN 978-3-319-68074-3.

[Florescu2014-3] Ионут Флореску (7 ноября 2014 г.). Вероятность и случайные процессы . Джон Вили и сыновья. ISBN 978-1-118-59320-2.

[4] Пристли, МБ (1981). Спектральный анализ и временные ряды . Академическая пресса. ISBN 0-12-564922-3.

[5] Пристли, МБ (1988). Нелинейный и нестационарный анализ временных рядов . Академическая пресса. ISBN 0-12-564911-8.

[6] Honarkhah, M .; Каерс, Дж. (2010). «Стохастическое моделирование паттернов с использованием дистанционного моделирования паттернов». Математические науки о Земле . 42 (5): 487–517. DOI : 10.1007 / s11004-010-9276-7 .

[7] Tahmasebi, P .; Сахими, М. (2015). «Реконструкция нестационарных неупорядоченных материалов и сред: преобразование водораздела и функция взаимной корреляции» (PDF) . Physical Review E . 91 (3): 032401. DOI : 10,1103 / PhysRevE.91.032401 . PMID 25871117 .

[8] «8.1 Стационарность и разность | OTexts» . www.otexts.org . Проверено 18 мая 2016 .

[1]