Единичный корень

В теории вероятностей и статистике , корневой модуль является особенностью некоторых стохастических процессов (например, случайных блужданий ) , которые могут вызвать проблемы в статистических выводов , связанных с временной ряд моделей . Линейный случайный процесс имеет единичный корень, если 1 является корнем характеристического уравнения процесса . Такой процесс нестационарен, но не всегда имеет тенденцию.

Если другие корни характеристического уравнения лежат внутри единичной окружности, т. Е. Имеют модуль ( абсолютное значение ) меньше единицы, то первая разность процесса будет стационарной; в противном случае процесс нужно будет несколько раз различать, чтобы он стал стационарным. ^[1] Если имеется d единичных корней, процесс нужно будет изменить d раз, чтобы сделать его стационарным. ^[2] Из-за этой характеристики единичные корневые процессы также называют разностными стационарными. ^{[3] [4]}

Единичные корневые процессы иногда можно спутать со стационарными по тренду процессами; хотя у них много общих свойств, они различаются по многим аспектам. Временной ряд может быть нестационарным, но при этом не иметь единичного корня и быть стационарным по тренду. Как в процессах с единичным корнем, так и в стационарных тенденциях среднее значение может увеличиваться или уменьшаться с течением времени; однако при наличии шока стационарные трендовые процессы возвращаются к среднему (т. е. переходные, временные ряды снова сходятся к растущему среднему, на которое не повлиял шок), в то время как процессы с единичным корнем оказывают постоянное влияние на среднее значение (т.е. отсутствие сходимости с течением времени). ^[5]

Если корень характеристического уравнения процесса больше 1, то он называется взрывным процессом , хотя такие процессы иногда неточно называют процессами единичного корня.

Наличие единичного корня можно проверить с помощью теста на единичный корень .

Определение [ править ]

Рассмотрим случайный процесс с дискретным временем и предположим, что его можно записать как авторегрессионный процесс порядка  p :${\displaystyle (y_{t},t=1,2,3,\ldots )}$

${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\cdots +a_{p}y_{t-p}+\varepsilon _{t}.}$

Вот серийно некоррелированный случайный процесс с нулевым средним и постоянной дисперсией . Для удобства предположим . Если это корень из характеристического уравнения , из кратности 1:${\displaystyle (\varepsilon _{t},t=0,1,2,\ldots ,)}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle y_{0}=0}$${\displaystyle m=1}$

${\displaystyle m^{p}-m^{p-1}a_{1}-m^{p-2}a_{2}-\cdots -a_{p}=0}$

тогда случайный процесс имеет единичный корень или, альтернативно, интегрируется первого порядка , обозначенного . Если m = 1 является корнем кратности r , то случайный процесс интегрируется порядка r , обозначаемого I ( r ).${\displaystyle I(1)}$

Пример [ править ]

Модель авторегрессии первого порядка имеет единичный корень, когда . В этом примере характеристическим уравнением является . Корень уравнения .${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle a_{1}=1}$${\displaystyle m-a_{1}=0}$${\displaystyle m=1}$

Если процесс имеет единичный корень, то это нестационарный временной ряд. То есть моменты случайного процесса зависят от . Чтобы проиллюстрировать влияние единичного корня, мы можем рассмотреть случай первого порядка, начиная с y ₀  = 0:${\displaystyle t}$

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+\varepsilon _{t}.}$

Путем повторной подстановки можно писать . Тогда дисперсия определяется по формуле:${\displaystyle y_{t}=y_{0}+\sum _{j=1}^{t}\varepsilon _{j}}$${\displaystyle y_{t}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{t})=\sum _{j=1}^{t}\sigma ^{2}=t\sigma ^{2}.}$

Дисперсия зависит от t, поскольку , а . Обратите внимание, что дисперсия ряда расходится до бесконечности с  t .${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{1})=\sigma ^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Var} (y_{2})=2\sigma ^{2}}$

Существуют различные тесты для проверки существования единичного корня, некоторые из них даются:

1. Тест Дики-Фуллера (DF) или расширенный тест Дики-Фуллера (ADF)
2. Проверка значимости более чем одного коэффициента (f-тест)
3. Тест Филлипса – Перрона (PP)
4. Тест Дики Пантулы

Связанные модели [ править ]

В дополнение к моделям авторегрессии (AR) и авторегрессии-скользящего среднего (ARMA), в регрессионном анализе возникают другие важные модели, в которых ошибки модели сами могут иметь структуру временного ряда и, следовательно, может потребоваться моделирование с помощью процесса AR или ARMA, который может иметь единичный корень, как обсуждалось выше. В конечном образце свойство регрессионных моделей с ошибками АРМЫ первого порядка, в том числе единичных корней, было проанализировано. ^{[6] [7]}

Оценка, когда может присутствовать единичный корень [ править ]

Часто метод наименьших квадратов (МНК) используется для оценки коэффициентов наклона модели авторегрессии . Использование OLS основывается на стационарности случайного процесса. Когда стохастический процесс нестационарен, использование OLS может привести к неверным оценкам. Грейнджер и Ньюболд назвали такие оценки результатами «ложной регрессии»: ^[8] высокие значения R 2 и высокие t-отношения дают результаты, не имеющие экономического смысла.

Чтобы оценить коэффициенты наклона, сначала следует провести тест на единичный корень , нулевая гипотеза которого состоит в том, что единичный корень присутствует. Если эта гипотеза отвергается, можно использовать OLS. Однако, если наличие единичного корня не отвергается, то к ряду следует применить оператор разности . Если другой тест на единичный корень показывает, что разностный временной ряд является стационарным, тогда к этому ряду можно применить OLS для оценки коэффициентов наклона.

Например, в случае AR (1) стационарен.${\displaystyle \Delta y_{t}=y_{t}-y_{t-1}=\varepsilon _{t}}$

В случае AR (2), можно записать в виде где Ь является отставание оператора , что уменьшает временной индекс переменной на один период: . Если модель имеет единичный корень, и мы можем определить ; тогда${\displaystyle y_{t}=a_{1}y_{t-1}+a_{2}y_{t-2}+\varepsilon _{t}}$${\displaystyle (1-\lambda _{1}L)(1-\lambda _{2}L)y_{t}=\varepsilon _{t}}$${\displaystyle Ly_{t}=y_{t-1}}$${\displaystyle \lambda _{2}=1}$${\displaystyle z_{t}=\Delta y_{t}}$

${\displaystyle z_{t}=\lambda _{1}z_{t-1}+\varepsilon _{t}}$

является стационарным, если . OLS можно использовать для оценки коэффициента наклона .${\displaystyle |\lambda _{1}|<1}$${\displaystyle \lambda _{1}}$

Если процесс имеет несколько единичных корней, оператор разности можно применять несколько раз.

Свойства и характеристики единичных корневых процессов [ править ]

• Удары по единичному корневому процессу имеют постоянные эффекты, которые не затухают, как если бы процесс был стационарным.
• Как отмечалось выше, процесс с единичным корнем имеет дисперсию, зависящую от t, и расходится до бесконечности.
• Если известно, что серия имеет единичный корень, серию можно разделить, чтобы сделать ее стационарной. Например, если серия - это I (1), серия - это I (0) (стационарный). Поэтому он называется разностным стационарным рядом. ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle Y_{t}}$${\displaystyle \Delta Y_{t}=Y_{t}-Y_{t-1}}$

Гипотеза единичного корня [ править ]

Экономисты спорят, имеет ли различная экономическая статистика, особенно объем производства , единичный корень или стационарная тенденция . ^[9] Процесс с единичным корнем со сносом задается в случае первого порядка выражением

${\displaystyle y_{t}=y_{t-1}+c+e_{t}}$

где c - постоянный член, называемый термином «дрейф», и - белый шум. Любое ненулевое значение шумового члена, возникающее только в течение одного периода, будет постоянно влиять на значение, как показано на графике, поэтому отклонения от линии нестационарны; нет возврата к какой-либо линии тренда. Напротив, стационарный процесс тренда определяется выражением${\displaystyle e_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$${\displaystyle y_{t}=a+ct}$

${\displaystyle y_{t}=k\cdot t+u_{t}}$

где k - наклон тенденции и шум (белый шум в простейшем случае; в более общем смысле, шум, следующий за собственным стационарным процессом авторегрессии). Здесь любой переходный шум не изменит долгосрочную тенденцию нахождения на линии тренда, как также показано на графике. Этот процесс называется стационарным по тренду, потому что отклонения от линии тренда стационарны.${\displaystyle u_{t}}$${\displaystyle y_{t}}$

Этот вопрос особенно популярен в литературе по экономическим циклам. ^{[10] [11]} Исследования по этому вопросу начались с Нельсона и Плоссера, чья статья о ВНП и других агрегированных показателях выпуска не смогла отвергнуть гипотезу единичного корня для этих рядов. ^[12] С тех пор начались дебаты, переплетенные с техническими спорами о статистических методах. Некоторые экономисты ^[13] утверждают, что ВВП имеет единичный корень или структурный разрыв, подразумевая, что экономические спады приводят к необратимому снижению уровня ВВП в долгосрочной перспективе. Другие экономисты утверждают, что ВВП является стационарным трендом: то есть, когда ВВП опускается ниже тренда во время спада, он позже возвращается к уровню, предполагаемому трендом, так что не происходит постоянного снижения объема производства. Хотя литература по гипотезе единичного корня может состоять из тайных дебатов о статистических методах, эта гипотеза имеет важные практические последствия для экономических прогнозов и политики.

См. Также [ править ]

• Тест Дики – Фуллера
• Расширенный тест Дики – Фуллера
• ADF-GLS тест
• Тест на единичный корень
• Тест Филлипса – Перрона
• Коинтеграция , определение отношения между двумя переменными, имеющими единичные корни
• Взвешенный симметричный тест на единичный корень (WS)
• Тест Квятковского, Филлипса, Шмидта, Шина, известный как тесты KPSS

Заметки [ править ]