Циклостационарный процесс

Cyclostationary процесс представляет собой сигнал , имеющий статистические свойства , которые изменяются циклически со временем. ^[1] Циклостационарный процесс можно рассматривать как несколько чередующихся стационарных процессов . Например, максимальная дневная температура в Нью-Йорке может быть смоделирована как циклостационарный процесс: максимальная температура 21 июля статистически отличается от температуры 20 декабря; однако это разумное приближение, что температура 20 декабря разных лет имеет идентичную статистику. Таким образом, мы можем рассматривать случайный процесс, состоящий из максимальных суточных температур, как 365 чередующихся стационарных процессов, каждый из которых принимает новое значение один раз в год.

Определение [ править ]

Есть два разных подхода к рассмотрению циклостационарных процессов. ^[2] Вероятностный подход состоит в том, чтобы рассматривать измерения как случай случайного процесса . В качестве альтернативы детерминированный подход состоит в том, чтобы рассматривать измерения как единый временной ряд., из которого распределение вероятностей для некоторого события, связанного с временным рядом, может быть определено как доля времени, в течение которого это событие происходит за время существования временного ряда. В обоих подходах процесс или временной ряд называется циклостационарным тогда и только тогда, когда связанные с ним распределения вероятностей периодически меняются со временем. Однако в детерминированном подходе временных рядов есть альтернативное, но эквивалентное определение: временной ряд, не содержащий аддитивных синусоидальных компонентов конечной прочности, считается демонстрирующим циклостационарность тогда и только тогда, когда существует некоторое нелинейное инвариантное во времени преобразование временной ряд, который производит аддитивные синусоидальные компоненты положительной прочности.

Циклостационарность в широком смысле [ править ]

Важным частным случаем циклостационарных сигналов является тот, который демонстрирует циклостационарность в статистике второго порядка (например, автокорреляционная функция). Они называются циклостационарными сигналами в широком смысле и аналогичны стационарным процессам в широком смысле . Точное определение различается в зависимости от того, рассматривается ли сигнал как случайный процесс или как детерминированный временной ряд.

Циклостационарный случайный процесс [ править ]

Стохастический процесс среднего и автокорреляционной функции:${\ Displaystyle х (т)}$${\ Displaystyle \ OperatorName {E} [х (т)]}$

${\ Displaystyle R_ {х} (т, \ тау) = \ OperatorName {Е} \ {х (т + \ тау) х ^ {*} (т) \}, \,}$

где звездочка обозначает комплексное сопряжение , называется циклостационарным в широком смысле с периодом, если оба и являются циклическими с периодом, например: ^[2]${\ displaystyle T_ {0}}$${\ Displaystyle \ OperatorName {E} [х (т)]}$${\ Displaystyle R_ {х} (т, \ тау)}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle T_ {0},}$

${\ displaystyle \ operatorname {E} [x (t)] = \ operatorname {E} [x (t + T_ {0})] {\ text {для всех}} t}$

${\ displaystyle R_ {x} (t, \ tau) = R_ {x} (t ​​+ T_ {0}; \ tau) {\ text {для всех}} t, \ tau.}$

Таким образом, автокорреляционная функция периодична по t и может быть разложена в ряд Фурье :

${\displaystyle R_{x}(t,\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}}$

где называется циклической автокорреляционной функцией и равна:${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}/2}^{T_{0}/2}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Частоты называются циклическими частотами .${\displaystyle n/T_{0},\,n\in \mathbb {Z} ,}$

Стационарные процессы в широком смысле - это частный случай циклостационарных процессов с только .${\displaystyle R_{x}^{0}(\tau )\neq 0}$

Циклостационарный временной ряд [ править ]

Сигнал, который является просто функцией времени, а не выборочным путем случайного процесса, может проявлять циклостационарные свойства в рамках точки зрения доли времени . Таким образом, циклическая автокорреляционная функция может быть определена следующим образом: ^[2]

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\lim _{T\rightarrow +\infty }{\frac {1}{T}}\int _{-T/2}^{T/2}x(t+\tau )x^{*}(t)e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t.}$

Если временной ряд представляет собой примерный путь случайного процесса, это так . Если сигнал дополнительно эргодичен , все образцы дорожки показывают то же самое время, в среднем , и , таким образом , в среднем квадратичной ошибке смысле.${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )=\operatorname {E} \left[{\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )\right]}$${\displaystyle R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )={\widehat {R}}_{x}^{n/T_{0}}(\tau )}$

Поведение в частотной области [ править ]

Преобразование Фурье циклической автокорреляционной функции на циклической частоте α называется циклическим спектром или функцией спектральной корреляционной плотности и равно:

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}^{\alpha }(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\mathrm {d} \tau .}$

Циклический спектр на нулевой циклической частоте также называется средней спектральной плотностью мощности . Для гауссовского циклостационарного процесса его функция искажения скорости может быть выражена через его циклический спектр. ^[3]

Стоит отметить, что циклостационарный случайный процесс с преобразованием Фурье мог иметь коррелированные частотные компоненты, разнесенные друг от друга на кратные , поскольку:${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle X(f)}$${\displaystyle 1/T_{0}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[X(f_{1})X^{*}(f_{2})\right]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }S_{x}^{n/T_{0}}(f_{1})\delta \left(f_{1}-f_{2}+{\frac {n}{T_{0}}}\right)}$

с обозначением дельта-функции Дирака . Разные частоты действительно всегда некоррелированы для стационарного процесса в широком смысле, поскольку только для .${\displaystyle \delta (f)}$${\displaystyle f_{1,2}}$${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)\neq 0}$${\displaystyle n=0}$

Пример: линейно модулированный цифровой сигнал [ править ]

Примером циклостационарного сигнала является линейно модулированный цифровой сигнал  :

${\displaystyle x(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }a_{k}p(t-kT_{0})}$

где являются IID случайные переменные. Форма волны с преобразованием Фурье является поддерживающим импульсом модуляции.${\displaystyle a_{k}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle p(t)}$${\displaystyle P(f)}$

Предполагая и , функция автокорреляции:${\displaystyle \operatorname {E} [a_{k}]=0}$${\displaystyle \operatorname {E} [|a_{k}|^{2}]=\sigma _{a}^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}(t,\tau )&=\operatorname {E} [x(t+\tau )x^{*}(t)]\\[6pt]&=\sum _{k,n}\operatorname {E} [a_{k}a_{n}^{*}]p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-nT_{0})\\[6pt]&=\sigma _{a}^{2}\sum _{k}p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0}).\end{aligned}}}$

Последнее суммирование - это периодическое суммирование , следовательно, сигнал периодический по t . Таким образом, получается циклостационарный сигнал с периодом и циклической автокорреляционной функцией:${\displaystyle x(t)}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}R_{x}^{n/T_{0}}(\tau )&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}}^{T_{0}}R_{x}(t,\tau )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{T_{0}}}\int _{-T_{0}}^{T_{0}}\sigma _{a}^{2}\sum _{k=-\infty }^{\infty }p(t+\tau -kT_{0})p^{*}(t-kT_{0})e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}t}\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }\int _{-T_{0}-kT_{0}}^{T_{0}-kT_{0}}p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}(\lambda +kT_{0})}\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}\int _{-\infty }^{\infty }p(\lambda +\tau )p^{*}(\lambda )e^{-j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\lambda }\mathrm {d} \lambda \\[6pt]&={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}p(\tau )*\left\{p^{*}(-\tau )e^{j2\pi {\frac {n}{T_{0}}}\tau }\right\}.\end{aligned}}}$

с указанием свертки . Циклический спектр:${\displaystyle *}$

${\displaystyle S_{x}^{n/T_{0}}(f)={\frac {\sigma _{a}^{2}}{T_{0}}}P(f)P^{*}\left(f-{\frac {n}{T_{0}}}\right).}$

Таким образом, типичные импульсы с приподнятым косинусом, принятые в цифровой связи, имеют только ненулевые циклические частоты.${\displaystyle n=-1,0,1}$

Циклостационарные модели [ править ]

Можно обобщить класс моделей авторегрессионного скользящего среднего, чтобы включить циклостационарное поведение. Например, Траутман ^[4] рассматривал авторегрессию, в которой коэффициенты авторегрессии и остаточная дисперсия больше не являются постоянными, а меняются циклически со временем. Его работа следует за рядом других исследований циклостационарных процессов в области анализа временных рядов . ^{[5] [6]}

Приложения [ править ]

• Циклостационарность используется в телекоммуникациях для использования синхронизации сигналов ;
• В эконометрике циклостационарность используется для анализа периодического поведения финансовых рынков;
• Теория массового обслуживания использует циклостационарную теорию для анализа компьютерных сетей и автомобильного трафика;
• Циклостационарность используется для анализа механических сигналов, создаваемых вращающимися и совершающими возвратно-поступательное движение машинами.

Угловая циклостационарность механических сигналов [ править ]

Механические сигналы, производимые вращающимися или совершающими возвратно-поступательное движение машинами, на удивление хорошо моделируются как циклостационарные процессы. Циклостационарное семейство принимает все сигналы со скрытой периодичностью, либо аддитивного типа (наличие тональных компонентов), либо мультипликативного типа (наличие периодических модуляций). Это случается с шумом и вибрацией, создаваемыми зубчатыми передачами, подшипниками, двигателями внутреннего сгорания, турбовентиляторными двигателями, насосами, гребными винтами и т. Д. Явное моделирование механических сигналов в виде циклостационарных процессов оказалось полезным в нескольких приложениях, таких как шум , вибрации и жесткости (NVH) и при мониторинге состояния . ^[7] В последней области было обнаружено, что циклостационарность обобщаетспектр огибающей , популярный метод анализа, используемый при диагностике неисправностей подшипников.

Одна особенность сигналов вращающейся машины заключается в том, что период процесса строго связан с углом поворота конкретного компонента - «цикла» машины. В то же время необходимо сохранить временное описание, чтобы отразить природу динамических явлений, которые регулируются дифференциальными уравнениями времени. Поэтому используется функция автокорреляции угол-время ,

${\displaystyle R_{x}(\theta ,\tau )=\operatorname {E} \{x(t(\theta )+\tau )x^{*}(t(\theta ))\},\,}$

где обозначает угол, для момента времени, соответствующего углу, и для выдержки времени. Процессы, у которых функция автокорреляции угол-время демонстрирует компонент, периодический по углу, то есть такой, который имеет ненулевой коэффициент Фурье-Бора для некоторого углового периода , называются (в широком смысле) цикло-временными циклостационарными. Двойное преобразование Фурье функции автокорреляции угол-время определяет спектральную корреляцию порядка частоты ,${\displaystyle \theta }$${\displaystyle t(\theta )}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle R_{x}(\theta ;\tau )}$${\displaystyle \Theta }$

${\displaystyle S_{x}^{\alpha }(f)=\lim _{S\rightarrow +\infty }{\frac {1}{S}}\int _{-S/2}^{S/2}\int _{-\infty }^{+\infty }R_{x}(\theta ,\tau )e^{-j2\pi f\tau }e^{-j2\pi \alpha {\frac {\theta }{\Theta }}}\,\mathrm {d} \tau \,\mathrm {d} \theta }$

где - порядок (единица в событиях на оборот ) и частота (единица измерения в Гц).${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle f}$

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Шум в микшерах, генераторах, сэмплерах и логике: введение в циклостационарный шум рукопись аннотированная презентация