Фильтр с приподнятым косинусом

Приподнятый косинус представляет собой фильтр часто используется для формирования импульсов в цифровой модуляции , благодаря своей способности к минимуму межсимвольной интерференции (ISI). Его название происходит от того факта, что ненулевая часть частотного спектра его простейшей формы ( ) является функцией косинуса , «приподнятая», чтобы находиться над (горизонтальной) осью.${\ displaystyle \ beta = 1}$${\ displaystyle f}$

Математическое описание [ править ]

Амплитудно-частотная характеристика фильтра с приподнятым косинусом с различными коэффициентами спада

Импульсная характеристика фильтра с приподнятым косинусом с различными коэффициентами спада

Фильтр с приподнятым косинусом - это реализация низкочастотного фильтра Найквиста , т. Е. Обладающего свойством рудиментарной симметрии. Это означает, что его спектр демонстрирует странную симметрию относительно , где - период символа системы связи.${\ displaystyle {\ frac {1} {2T}}}$${\ displaystyle T}$

Его описание в частотной области представляет собой кусочно- определенную функцию , задаваемую следующим образом:

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right)\right],&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

или в отношении гаверкозинов :

${\displaystyle H(f)={\begin{cases}1,&|f|\leq {\frac {1-\beta }{2T}}\\\operatorname {hvc} \left({\frac {\pi T}{\beta }}\left[|f|-{\frac {1-\beta }{2T}}\right]\right),&{\frac {1-\beta }{2T}}<|f|\leq {\frac {1+\beta }{2T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

для

${\displaystyle 0\leq \beta \leq 1}$

и характеризуется двумя ценностями; , коэффициент спада и обратная величина символьной скорости.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle T}$

Импульсная характеристика такого фильтра ^[1] определяется по формуле:

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {\pi }{4T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{2\beta }}\right),&t=\pm {\frac {T}{2\beta }}\\{\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \beta t}{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta t}{T}}\right)^{2}}},&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

в терминах нормализованной функции sinc . Здесь это скорее «коммуникационный грех» , чем математический.${\displaystyle sin(\pi x)/(\pi x)}$

Фактор спада [ править ]

Скатывания фактором, является мерой избыточной полосы пропускания фильтра, то есть пропускная способность занята за пределами полосы пропускания Найквиста . Некоторые авторы используют . ^[2]${\displaystyle \beta }$${\displaystyle {\frac {1}{2T}}}$${\displaystyle \alpha =\beta }$

Если обозначить избыточную пропускную способность как , то:${\displaystyle \Delta f}$

${\displaystyle \beta ={\frac {\Delta f}{\left({\frac {1}{2T}}\right)}}={\frac {\Delta f}{R_{S}/2}}=2T\,\Delta f}$

где - символьная скорость.${\displaystyle R_{S}={\frac {1}{T}}}$

График показывает амплитудную характеристику, изменяемую от 0 до 1, и соответствующее влияние на импульсную характеристику . Как можно видеть, уровень пульсаций во временной области увеличивается с уменьшением. Это показывает, что избыточную полосу пропускания фильтра можно уменьшить, но только за счет удлиненной импульсной характеристики.${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =0}$[ редактировать ]

По мере приближения к 0 зона спада становится бесконечно узкой, отсюда:${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \lim _{\beta \rightarrow 0}H(f)=\operatorname {rect} (fT)}$

где - прямоугольная функция , поэтому импульсная характеристика приближается . Следовательно, в этом случае он сходится к идеальному фильтру или фильтру кирпичной стены .${\displaystyle \operatorname {rect} (\cdot )}$${\displaystyle h(t)={\frac {1}{T}}\operatorname {sinc} \left({\frac {t}{T}}\right)}$

${\displaystyle \beta =1}$[ редактировать ]

Когда ненулевая часть спектра представляет собой чистый приподнятый косинус, что приводит к упрощению:${\displaystyle \beta =1}$

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\left[1+\cos \left(\pi fT\right)\right],&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

или же

${\displaystyle H(f)|_{\beta =1}=\left\{{\begin{matrix}\operatorname {hvc} \left(\pi fT\right),&|f|\leq {\frac {1}{T}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}$

Пропускная способность [ править ]

Полоса пропускания фильтра с приподнятым косинусом чаще всего определяется как ширина ненулевой положительной по частоте части его спектра, то есть:

${\displaystyle BW={\frac {R_{S}}{2}}(\beta +1),\quad (0<\beta <1)}$

Функция автокорреляции [ править ]

Функция автокорреляции функции приподнятого косинуса выглядит следующим образом:

${\displaystyle R\left(\tau \right)=T\left[\operatorname {sinc} \left({\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left(\beta {\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {2\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}-{\frac {\beta }{4}}\operatorname {sinc} \left(\beta {\frac {\tau }{T}}\right){\frac {\cos \left({\frac {\pi \tau }{T}}\right)}{1-\left({\frac {\beta \tau }{T}}\right)^{2}}}\right]}$

Результат автокорреляции можно использовать для анализа различных результатов смещения выборки при анализе с автокорреляцией.

Заявление [ править ]

Последовательные импульсы с приподнятым косинусом, демонстрирующие свойство нулевого ISI

При использовании для фильтрации потока символов фильтр Найквиста имеет свойство устранять ISI, поскольку его импульсная характеристика вообще равна нулю (где - целое число), за исключением .${\displaystyle nT}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=0}$

Следовательно, если переданная форма сигнала правильно дискретизирована в приемнике, исходные значения символов могут быть полностью восстановлены.

Однако во многих практических системах связи в приемнике используется согласованный фильтр из-за эффекта белого шума . Для нулевого ISI чистый отклик фильтров передачи и приема должен быть равен :${\displaystyle H(f)}$

${\displaystyle H_{R}(f)\cdot H_{T}(f)=H(f)}$

И поэтому :

${\displaystyle |H_{R}(f)|=|H_{T}(f)|={\sqrt {|H(f)|}}}$

Эти фильтры называются фильтрами с приподнятым косинусом .

Повышенный косинус - это обычно используемый фильтр аподизации для волоконных решеток Брэгга .

Ссылки [ править ]

• Гловер, I .; Грант, П. (2004). Цифровые коммуникации (2-е изд.). ISBN  Pearson Education Ltd. 0-13-089399-4 .
• Проакис, Дж. (1995). Цифровые коммуникации (3-е изд.). ISBN McGraw-Hill Inc. 0-07-113814-5 . 
• Таварес, LM; Таварес Г.Н. (1998) Комментарии к "Производительности асинхронных систем DS / SSMA с ограничением полосы частот" . IEICE Trans. Commun., Vol. Е81-Б, №9

Внешние ссылки [ править ]

• Техническая статья, озаглавленная «Уход за цифровыми импульсными фильтрами и их питание», первоначально опубликованная в RF Design , написанная Кеном Джентиле.