Критерий Найквиста ISI

Отклик с повышенным косинусом соответствует критерию Найквиста ISI. Последовательные импульсы в виде приподнятого косинуса демонстрируют свойство нулевого ISI между передаваемыми символами в моменты выборки. При t = 0 средний импульс максимален, а сумма других импульсов равна нулю.

В области связи критерий ISI Найквиста описывает условия, которые, когда они удовлетворяются каналом связи (включая ответы фильтров передачи и приема), не приводят к межсимвольным помехам или ISI. Он обеспечивает метод построения функций с ограниченной полосой пропускания для преодоления эффектов межсимвольных помех.

Когда последовательные символы передаются по каналу с помощью линейной модуляции (такой как ASK , QAM и т. Д.), Импульсная характеристика (или, что эквивалентно, частотная характеристика ) канала вызывает расширение передаваемого символа во временной области. Это вызывает межсимвольные помехи, потому что ранее переданные символы влияют на текущий принятый символ, тем самым снижая устойчивость к шуму . Теорема Найквиста связывает это условие временной области с эквивалентным условием частотной области .

Критерий Найквиста тесно связан с теоремой выборки Найквиста – Шеннона , только с другой точки зрения.

Критерий Найквиста [ править ]

Если обозначить импульсную характеристику канала как , то условие для отклика без ISI может быть выражено как:${\ Displaystyle ч (т)}$

${\ displaystyle h (nT_ {s}) = {\ begin {cases} 1; & n = 0 \\ 0; & n \ neq 0 \ end {cases}}}$

для всех целых чисел , где - период символа . Теорема Найквиста гласит, что это эквивалентно:${\ displaystyle n}$${\ displaystyle T_ {s}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {T_ {s}}} \ sum _ {k = - \ infty} ^ {+ \ infty} H \ left (f - {\ frac {k} {T_ {s}}) } \ right) = 1 \ quad \ forall f}$,

где это преобразование Фурье от . Это критерий ISI Найквиста.${\ displaystyle H (f)}$${\ Displaystyle ч (т)}$

Этот критерий можно интуитивно понять следующим образом: реплики со сдвигом частоты должны составлять в сумме постоянное значение. Это условие выполняется, когда спектр имеет четную симметрию, имеет ширину полосы, меньшую или равную , а его односторонняя полоса имеет нечетную симметрию на частоте среза .${\ displaystyle H (f)}$${\ displaystyle H (f)}$${\ displaystyle 2 / T_ {s}}$${\ displaystyle \ pm 1 / 2T_ {s}}$

На практике этот критерий применяется к фильтрации основной полосы частот, рассматривая последовательность символов как взвешенные импульсы ( дельта-функция Дирака ). Когда фильтры основной полосы частот в системе связи удовлетворяют критерию Найквиста, символы могут передаваться по каналу с ровной характеристикой в ​​пределах ограниченной полосы частот без ISI. Примерами таких фильтров основной полосы являются фильтр с приподнятым косинусом или фильтр sinc в идеальном случае.

Вывод [ править ]

Чтобы вывести критерий, мы сначала выражаем принятый сигнал в терминах переданного символа и ответа канала. Пусть функция h (t) будет импульсной характеристикой канала , x [n] - символами, которые должны быть отправлены, с периодом символа T _s ; принятый сигнал y (t) будет в форме (где для простоты шум не учитывался):

${\ displaystyle y (t) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot h (t-nT_ {s})}$.

Выбирая этот сигнал с интервалами T _s , мы можем выразить y (t) как уравнение с дискретным временем:

${\ displaystyle y [k] = y (kT_ {s}) = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} x [n] \ cdot h [kn]}$.

Если мы запишем член суммы h [0] отдельно, мы можем выразить это как:

${\ Displaystyle у [к] = х [к] \ CDOT ч [0] + \ сумма _ {п \ neq k} х [п] \ CDOT ч [kn]}$,

и из этого мы можем заключить, что если ответ h [n] удовлетворяет

${\ displaystyle h [n] = {\ begin {case} 1; & n = 0 \\ 0; & n \ neq 0 \ end {cases}}}$,

только один переданный символ влияет на принятый y [k] в моменты выборки, тем самым удаляя любые ISI. Это условие временной области для канала без ISI. Теперь мы находим его эквивалент в частотной области . Начнем с выражения этого условия в непрерывном времени:

${\ displaystyle h (nT_ {s}) = {\ begin {cases} 1; & n = 0 \\ 0; & n \ neq 0 \ end {cases}}}$

для всех целых . Мы умножаем такую h (t) на сумму дельта-функции Дирака (импульсов), разделенных интервалами T _s. Это эквивалентно выборке ответа, как указано выше, но с использованием выражения непрерывного времени. Тогда правая часть условия может быть выражена как один импульс в начале координат:${\ displaystyle n}$${\displaystyle \delta (t)}$

${\displaystyle h(t)\cdot \sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT_{s})=\delta (t)}$

Преобразуя Фурье оба члена этого отношения, получаем:

${\displaystyle H\left(f\right)*{\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$

а также

${\displaystyle {\frac {1}{T_{s}}}\sum _{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T_{s}}}\right)=1}$.

Это критерий ISI Найквиста, и, если ответ канала удовлетворяет ему, то между различными выборками нет ISI.

См. Также [ править ]

• Ставка Найквиста
• Формирование импульса
• Корневой фильтр с приподнятым косинусом
• Гарри Найквист

Ссылки [ править ]

• Джон Г. Проакис , « Цифровые коммуникации, 3-е издание », McGraw-Hill Book Co., 1995 . ISBN  0-07-113814-5
• Бехзад Разави , " RF Microelectronics ", Prentice-Hall, Inc., 1998 . ISBN 0-13-887571-5