Найквиста-Шеннона теорема выборки является теорема в области обработки сигналов , который служит в качестве фундаментального моста между непрерывным временем сигналов и дискретных сигналов времени . Он устанавливает достаточное условие для частоты дискретизации, которое позволяет дискретной последовательности выборок захватывать всю информацию из непрерывного сигнала конечной полосы пропускания .
Строго говоря, теорема применима только к классу математических функций, имеющих преобразование Фурье, равное нулю за пределами конечной области частот. Интуитивно мы ожидаем, что когда кто-то сокращает непрерывную функцию до дискретной последовательности и интерполирует обратно до непрерывной функции, точность результата зависит от плотности (или частоты дискретизации ) исходных отсчетов. Теорема о дискретизации вводит понятие частоты дискретизации, достаточной для идеальной точности для класса функций с ограниченной полосой пропускания.с заданной полосой пропускания, так что фактическая информация не теряется в процессе выборки. Он выражает достаточную частоту дискретизации с точки зрения пропускной способности для класса функций. Теорема также приводит к формуле для точного восстановления исходной функции непрерывного времени по выборкам.
Идеальная реконструкция все еще возможна, когда критерий частоты дискретизации не удовлетворяется, при условии, что известны другие ограничения на сигнал (см. § Выборка сигналов, не относящихся к основной полосе частот ниже, и сжатое зондирование ). В некоторых случаях (когда критерий частоты дискретизации не выполняется) использование дополнительных ограничений позволяет проводить приблизительные реконструкции. Верность этих реконструкций может быть проверена и количественно оценена с помощью теоремы Бохнера . [1]
Название теоремы выборки Найквиста – Шеннона чтит Гарри Найквиста и Клода Шеннона , но теорема также была ранее открыта Е. Т. Уиттакером (опубликована в 1915 г.), и Шеннон цитировал статью Уиттекера в своей работе. Он был также открыт в 1933 году Владимиром Котельниковым . Таким образом, теорема также известна под названиями теорема отсчетов Уиттекера – Шеннона , Найквиста – Шеннона – Котельникова , Уиттакера – Шеннона – Котельникова и Уиттакера – Найквиста – Котельникова – Шеннона , и может также называться основной теоремой интерполяции .
Вступление
Выборка - это процесс преобразования сигнала (например, функции непрерывного времени или пространства) в последовательность значений (функцию дискретного времени или пространства). Версия теоремы Шеннона гласит: [2]
Если функция не содержит частот выше, чем Б герц , он полностью определяется путем задания своих ординат в серии точек, разнесенных с интервалом в несколько секунд.
Следовательно, достаточная частота дискретизации может быть больше, чем выборок в секунду. Эквивалентно, для данной частоты дискретизации, безупречная реконструкция гарантирована для ограничения диапазона .
Когда предел полосы слишком высок (или предел полосы частот отсутствует), реконструкция демонстрирует недостатки, известные как наложение спектров . Современные формулировки теоремы иногда осторожны, чтобы явно указать, чтоне должен содержать синусоидальной составляющей на точной частоте или это должно быть строго меньше ½ частоты дискретизации. Порогназывается коэффициентом Найквиста и является атрибутом входных данных непрерывного времени.для отбора проб. Частота дискретизации должна превышать частоту Найквиста, чтобы отсчетов было достаточно для представления Порог называется частотой Найквиста и является атрибутом оборудования для отбора проб . Все значимые частотные компоненты правильно отобранныхсуществуют ниже частоты Найквиста. Состояние, описываемое этими неравенствами, называется критерием Найквиста или иногда условием Раабе . Теорема также применима к функциям других областей, таких как пространство, в случае оцифрованного изображения. Единственное изменение в случае других доменов - это единицы измерения, относящиеся к а также
Символ обычно используется для представления интервала между выборками и называется периодом выборки или интервалом выборки . Образцы функции обычно обозначаются (в качестве альтернативы в более ранней литературе по обработке сигналов) для всех целочисленных значений Другое удобное определение: который сохраняет энергию сигнала как меняется. [3]
Математически идеальный способ интерполировать последовательность включает использование функций sinc . Каждая выборка в последовательности заменяется функцией sinc с центром на временной оси в исходном местоположении выборки. с амплитудой функции sinc, масштабированной до значения выборки, Впоследствии функции sinc суммируются в непрерывную функцию. Математически эквивалентный метод - свертка одной функции sinc с серией дельта- импульсов Дирака , взвешенных по выборочным значениям. Ни один из методов не является практичным в численном отношении. Вместо этого используется некоторый тип аппроксимации функций sinc конечной длины. Недостатки, связанные с приближением, известны как ошибка интерполяции .
Практические цифро-аналоговые преобразователи не производят ни масштабированных синх-функций с задержкой , ни идеальных импульсов Дирака . Вместо этого они производят кусочно-постоянную последовательность масштабированных и задержанных прямоугольных импульсов ( удержание нулевого порядка ), за которыми обычно следует фильтр нижних частот (называемый «фильтром, препятствующим формированию изображения») для удаления ложных высокочастотных реплик (изображений) исходный сигнал основной полосы частот.
Сглаживание
Когда - функция с преобразованием Фурье :
формула суммирования Пуассона указывает на то, что образцы,, из достаточно для создания периодического суммирования по. Результат :
( Уравнение 1 )
которая является периодической функцией и ее эквивалентным представлением в виде ряда Фурье , коэффициенты которого равныЭта функция также известна как дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) выборочной последовательности.
Как изображено, копии сдвинуты на кратность частоты дискретизации и объединены сложением. Для функции с ограниченной полосой пропускания и достаточно большой копии могут оставаться отличными друг от друга. Но если критерий Найквиста не выполняется, соседние копии перекрываются, и в целом невозможно различить однозначный Любая частотная составляющая, указанная выше неотличим от низкочастотного компонента, называемого псевдонимом , связанного с одной из копий. В таких случаях обычные методы интерполяции создают псевдоним, а не исходный компонент. Когда частота дискретизации заранее определяется другими соображениями (например, отраслевым стандартом),обычно фильтруется для понижения высоких частот до приемлемого уровня перед дискретизацией. Требуемый тип фильтра - это фильтр нижних частот , и в этом приложении он называется фильтром сглаживания .
Вывод как частный случай пуассоновского суммирования.
Когда нет перекрытия копий (также называемых «изображениями») , то член уравнения 1 может быть восстановлен с помощью продукта :
- где :
Теорема выборки доказана, так как однозначно определяет
Остается только вывести формулу реконструкции. не нужно точно определять в регионе так как равен нулю в этом регионе. Однако худший случай - это когдачастота Найквиста. Для этого и для всех менее тяжелых случаев достаточно функции :
где rect (•) - прямоугольная функция . Поэтому :
- (из уравнения 1 выше).
- [A]
Обратное преобразование обеих сторон дает интерполяционную формулу Уиттекера – Шеннона :
который показывает, как образцы, можно объединить, чтобы реконструировать
- Значения f s, превышающие необходимые (меньшие значения T ), называемые передискретизацией , не влияют на результат реконструкции и имеют то преимущество, что оставляют место для переходной полосы, в которой H ( f ) может принимать промежуточные значения. значения. Недостаточная выборка , вызывающая наложение спектров, обычно не является обратимой операцией.
- Теоретически формулу интерполяции можно реализовать как фильтр нижних частот , импульсная характеристика которого равна sinc ( t / T ), а входной сигнал -которая представляет собой гребенчатую функцию Дирака, модулированную выборками сигнала. Практические цифро-аналоговые преобразователи (ЦАП) реализуют приближение, подобное удержанию нулевого порядка . В этом случае передискретизация может уменьшить ошибку аппроксимации.
Оригинальное доказательство Шеннона
Пуассон показывает, что ряд Фурье в уравнении 1 дает периодическое суммирование, независимо от того а также . Шеннон, однако, выводит коэффициенты ряда только для случая. Фактически цитируя оригинальную статью Шеннона:
- Позволять быть спектром потом
- так как считается равным нулю вне полосы Если мы позволим где - любое положительное или отрицательное целое число, получаем:
( Уравнение 2 )
- Слева значения в точках отбора проб. Интеграл справа будет признана по существу , [а] п - й коэффициент в разложении в ряд Фурье функции взяв интервал к как фундаментальный период. Это означает, что значения образцов определить коэффициенты Фурье в разложении в ряд Таким образом они определяют поскольку равен нулю для частот больше B , а для более низких частот определяется, если определены его коэффициенты Фурье. Но определяет исходную функцию полностью, поскольку функция определена, если известен ее спектр. Поэтому исходные образцы определяют функцию полностью.
Доказательство теоремы Шенноном на этом завершено, но он переходит к обсуждению восстановления с помощью функций sinc , которые мы теперь называем интерполяционной формулой Уиттекера – Шеннона, как обсуждалось выше. Он не выводит и не доказывает свойства функции sinc, но эти [ ласковые слова ] были бы знакомы инженерам, читавшим его работы в то время, поскольку взаимосвязь пар Фурье между rect (прямоугольная функция) и sinc была хорошо известна.
- Позволять быть n- й выборкой. Тогда функция представлен:
Как и в другом доказательстве, предполагается существование преобразования Фурье исходного сигнала, поэтому в доказательстве не говорится, распространяется ли теорема о дискретизации на стационарные случайные процессы с ограниченной полосой пропускания.
Заметки
- ^ Умножая обе части уравнения 2 на производит, слева, масштабированные значения выборки в формуле Пуассона ( уравнение 1 ), а справа - фактическая формула для коэффициентов разложения Фурье.
Применение к многомерным сигналам и изображениям
Теорема выборки обычно формулируется для функций одной переменной. Следовательно, теорема непосредственно применима к сигналам, зависящим от времени, и обычно формулируется в этом контексте. Однако теорема выборки может быть расширена прямым способом на функции произвольного числа переменных. Например, изображения в градациях серого часто представляются в виде двумерных массивов (или матриц) действительных чисел, представляющих относительную интенсивность пикселей (элементов изображения), расположенных на пересечении точек выборки строк и столбцов. В результате изображениям требуются две независимые переменные или индексы для уникального определения каждого пикселя - одна для строки и одна для столбца.
Цветные изображения обычно состоят из трех отдельных изображений в градациях серого, по одному для представления каждого из трех основных цветов - красного, зеленого и синего, или сокращенно RGB . Другие цветовые пространства, использующие 3-вектора для цветов, включают HSV, CIELAB, XYZ и т. Д. Некоторые цветовые пространства, такие как голубой, пурпурный, желтый и черный (CMYK), могут представлять цвет в четырех измерениях. Все они рассматриваются как векторные функции в двумерной выборочной области.
Подобно одномерным сигналам с дискретным временем, изображения также могут страдать от наложения спектров, если разрешение выборки или плотность пикселей неадекватны. Например, цифровая фотография полосатой рубашки с высокими частотами (другими словами, расстояние между полосами небольшое) может вызвать искажение изображения рубашки, когда она регистрируется датчиком изображения камеры . Наложение изображения выглядит как муаровый узор . «Решением» для более высокой выборки в пространственной области в этом случае было бы подойти ближе к рубашке, использовать датчик с более высоким разрешением или оптически размыть изображение перед получением его датчиком с использованием оптического фильтра нижних частот .
Другой пример показан справа в выкройках кирпича. На верхнем изображении показаны эффекты, когда условие теоремы выборки не выполняется. Когда программное обеспечение изменяет масштаб изображения (тот же процесс, который создает миниатюру, показанную на нижнем изображении), оно, по сути, сначала пропускает изображение через фильтр нижних частот, а затем понижает разрешение изображения, чтобы получить меньшее изображение, которое не демонстрирует муаровый узор . Верхнее изображение - это то, что происходит, когда изображение подвергается субдискретизации без фильтрации нижних частот: результаты сглаживания.
Теорема выборки применяется к системам камер, где сцена и объектив составляют источник аналогового пространственного сигнала, а датчик изображения - устройство пространственной выборки. Каждый из этих компонентов характеризуется функцией передачи модуляции (MTF), представляющей точное разрешение (пространственную полосу пропускания), доступное в этом компоненте. Эффекты наложения или размытия могут возникать, когда MTF объектива и MTF датчика не совпадают. Когда оптическое изображение, которое дискретизируется сенсорным устройством, содержит более высокие пространственные частоты, чем сенсор, недостаточная дискретизация действует как фильтр нижних частот для уменьшения или устранения наложения спектров. Когда область пятна выборки (размер пиксельного датчика) недостаточно велика для обеспечения достаточного пространственного сглаживания , в систему камеры может быть включен отдельный фильтр сглаживания (оптический фильтр нижних частот) для уменьшения МПФ оптического изображения. Вместо того , чтобы требовать оптический фильтр, то графический блок обработки в смартфон камеры выполняет обработку цифрового сигнала , чтобы удалить сглаживание с помощью цифрового фильтра. Цифровые фильтры также применяют повышение резкости, чтобы усилить контраст объектива на высоких пространственных частотах, который в противном случае быстро падает на дифракционных пределах.
Теорема выборки также применима к постобработке цифровых изображений, например к повышающей или понижающей дискретизации. Эффекты наложения спектров, размытия и повышения резкости можно регулировать с помощью цифровой фильтрации, реализованной в программном обеспечении, которое обязательно следует теоретическим принципам.
Критическая частота
Чтобы проиллюстрировать необходимость , рассмотрим семейство синусоид, порожденных разными значениями в этой формуле :
С участием или эквивалентно , образцы представлены :
независимо от стоимости . Подобная двусмысленность является причиной строгого неравенства условия теоремы выборки.
Выборка сигналов, не относящихся к основной полосе частот
Как обсуждал Шеннон: [2]
Аналогичный результат верен, если полоса начинается не с нулевой частоты, а с некоторого более высокого значения, и может быть доказан линейным преобразованием (физически соответствующим однополосной модуляции ) случая нулевой частоты. В этом случае элементарный импульс получается из sin ( x ) / x посредством однополосной модуляции.
То есть существует достаточное условие отсутствия потерь для сигналов выборки, которые не имеют компонентов основной полосы частот, которое включает ширину ненулевого частотного интервала в противоположность его самой высокочастотной составляющей. См. Раздел « Выборка (обработка сигнала)» для получения более подробной информации и примеров.
Например, для выборки FM- радиосигналов в диапазоне частот 100–102 МГц необязательно выполнять выборку на частоте 204 МГц (в два раза выше верхней частоты), а достаточно, чтобы выполнить выборку на частоте 4 МГц (в два раза больше частоты). ширина частотного интервала).
Условие пропускания полосы пропускания состоит в том, что X ( f ) = 0 для всех неотрицательных f вне открытой полосы частот:
для некоторого целого неотрицательного N . Эта формулировка включает нормальное условие основной полосы частот в случае N = 0.
Соответствующая функция интерполяции представляет собой импульсную характеристику идеального полосового фильтра для кирпичной стены (в отличие от идеального фильтра нижних частот для кирпичной стены, использованного выше) с отсечками на верхнем и нижнем краях указанной полосы, что является разницей между парой низкочастотных импульсных характеристик:
Возможны и другие обобщения, например, для сигналов, занимающих несколько несмежных полос. Даже самая обобщенная форма теоремы выборки не имеет доказуемо верного обратного. То есть нельзя сделать вывод, что информация обязательно теряется только потому, что не выполняются условия теоремы выборки; Однако с инженерной точки зрения можно с уверенностью предположить, что если теорема выборки не выполняется, информация, скорее всего, будет потеряна.
Неравномерный отбор проб
Теория выборки Шеннона может быть обобщена на случай неоднородной выборки , то есть выборок, взятых не через равные промежутки времени. Теория дискретизации Шеннона для неоднородной выборки утверждает, что сигнал с ограниченной полосой частот может быть полностью восстановлен из его выборок, если средняя частота дискретизации удовлетворяет условию Найквиста. [4] Следовательно, хотя равномерно разнесенные выборки могут привести к упрощению алгоритмов восстановления, это не является необходимым условием для безупречной реконструкции.
Общая теория для образцов без основной полосы частот и неоднородных образцов была разработана в 1967 году Генри Ландау . [5] Он доказал, что средняя частота дискретизации (однородная или иная) должна быть вдвое больше ширины занимаемой полосы сигнала, предполагая, что заранее известно, какая часть спектра была занята. В конце 1990-х годов эта работа была частично расширена, чтобы охватить сигналы, когда величина занимаемой полосы пропускания была известна, но фактическая занимаемая часть спектра была неизвестна. [6] В 2000-х годах была разработана полная теория (см. Раздел « Выборка ниже частоты Найквиста с дополнительными ограничениями» ниже) с использованием сжатого зондирования . В частности, теория, использующая язык обработки сигналов, описана в этой статье 2009 года. [7] Они показывают, среди прочего, что если частотные местоположения неизвестны, то необходимо выполнить выборку, по крайней мере, в два раза больше критериев Найквиста; Другими словами, вы должны заплатить по крайней мере 2 раза за незнание местоположения спектра . Обратите внимание, что минимальные требования к отбору образцов не обязательно гарантируют стабильность .
Выборка ниже ставки Найквиста при дополнительных ограничениях
Теорема выборки Найквиста – Шеннона обеспечивает достаточное условие для выборки и восстановления сигнала с ограниченной полосой пропускания. Когда реконструкция выполняется с помощью формулы интерполяции Уиттекера-Шеннона , критерий Найквиста также является необходимым условием для предотвращения наложения спектров в том смысле, что если выборки берутся с меньшей скоростью, чем удвоенный предел полосы, то есть некоторые сигналы, которые не будут быть правильно реконструирован. Однако, если на сигнал накладываются дополнительные ограничения, критерий Найквиста может больше не быть необходимым условием .
Нетривиальный пример использования дополнительных предположений о сигнале дает недавняя область сжатого зондирования , которая позволяет проводить полную реконструкцию с частотой дискретизации суб-Найквиста. В частности, это относится к сигналам, которые являются разреженными (или сжимаемыми) в некоторой области. Например, сжатое зондирование имеет дело с сигналами, которые могут иметь низкую общую полосу пропускания (скажем, эффективную полосу пропускания EB ), но местоположения частот неизвестны, а не все вместе в одной полосе, так что метод полосы пропускания не работает. применять. Другими словами, частотный спектр разреженный. Традиционно, необходимая частота дискретизации, таким образом , 2 B . Используя сжатые методы считывания, сигнал может быть полностью реконструирован, если он дискретизируется с частотой чуть ниже 2 ЭБ . При таком подходе реконструкция определяется не формулой, а решением программы линейной оптимизации .
Другой пример, когда выборка суб-Найквиста является оптимальной, возникает при дополнительном ограничении, заключающемся в том, что выборки квантуются оптимальным образом, как в комбинированной системе выборки и оптимального сжатия с потерями . [8] Этот параметр актуален в случаях, когда необходимо учитывать совместный эффект дискретизации и квантования , и может обеспечить нижнюю границу минимальной ошибки восстановления, которая может быть достигнута при дискретизации и квантовании случайного сигнала . Для стационарных гауссовских случайных сигналов эта нижняя граница обычно достигается при частоте дискретизации суб-Найквиста, что указывает на то, что выборка суб-Найквиста является оптимальной для этой модели сигнала при оптимальном квантовании . [9]
Историческое прошлое
Теорема выборки была имплементирована в работе Гарри Найквиста в 1928 г. [10], в которой он показал, что через систему с полосой пропускания B может быть отправлено до 2 B независимых выборок импульсов ; но он не рассматривал подробно проблему выборки и восстановления непрерывных сигналов. Примерно в то же время Карл Купфмюллер показал аналогичный результат [11] и обсудил импульсную характеристику синусоидальной функции полосно -ограничивающего фильтра через его интеграл, синусоидальный интеграл ступенчатой характеристики ; этот фильтр, ограничивающий полосу пропускания и восстанавливающий его, который занимает центральное место в теореме выборки, иногда называют фильтром Кюпфмюллера (но на английском это редко).
Теорема выборки, по сути двойственная к результату Найквиста, была доказана Клодом Э. Шенноном . [2] В.А. Котельников опубликовал аналогичные результаты в 1933 г. [12], как и математик Э. Т. Уиттакер в 1915 г., [13] Дж. М. Уиттакер в 1935 г. [14] и Габор в 1946 г. («Теория коммуникации»). В 1999 году Фонд Эдуарда Райна наградил Котельникова премией за фундаментальные исследования «за первую теоретически точную формулировку теоремы выборки».
В 1948 и 1949 годах Клод Э. Шеннон опубликовал - через 16 лет после Владимира Котельникова - две революционные статьи, в которых он основал теорию информации. [15] [16] [2] В Шенноне 1948 теорема отсчетов сформулирована как «Теорема 13»: Пусть f ( t ) не содержит частот над W. Тогда
- где .
Только после того, как эти статьи были опубликованы, теорема, известная как «теорема выборки Шеннона», стала общим достоянием инженеров по коммуникациям, хотя сам Шеннон пишет, что это общеизвестный факт в коммуникационном искусстве. [B] Через несколько строк, однако, он добавляет: «но, несмотря на очевидную важность, [он], кажется, не появился явно в литературе по теории коммуникации».
Другие первооткрыватели
Другие, которые независимо открыли или сыграли роль в развитии теоремы выборки, обсуждались в нескольких исторических статьях, например, Джерри [17] и Люке. [18] Например, Люке указывает, что Х. Раабе, помощник Кюпфмюллера, доказал теорему в своей докторской диссертации 1939 года. диссертация; термин « условие Раабе» стал ассоциироваться с критерием однозначного представления (частота дискретизации более чем в два раза превышает ширину полосы). Мейеринг [19] упоминает несколько других первооткрывателей и имена в абзаце и паре сносок:
Как указал Хиггинс [135], теорему о выборке действительно следует рассматривать в двух частях, как это было сделано выше: первая констатирует тот факт, что функция с ограниченной полосой пропускания полностью определяется ее выборками, вторая описывает, как восстановить функцию, используя ее образцы. Обе части теоремы выборки были даны в несколько иной форме Дж. М. Уиттакером [350, 351, 353], а до него также Огурой [241, 242]. Вероятно, они не знали о том, что первая часть теоремы была сформулирована еще в 1897 г. Борелем [25]. 27 Как мы видели, Борель примерно в то время также использовал то, что стало известно как кардинальный ряд. Однако, похоже, он не сделал ссылку [135]. Позднее стало известно, что теорема выборки была представлена еще до Шеннона российскому коммуникационному сообществу Котельниковым [173]. В более неявной, вербальной форме, это также было описано в немецкой литературе Раабе [257]. Некоторые авторы [33, 205] упоминали, что Someya [296] представил теорему в японской литературе параллельно с Шенноном. В английской литературе Вестон [347] ввел его независимо от Шеннона примерно в то же время. 28 год
27 Некоторые авторы, вслед за Блэком [16], утверждали, что эта первая часть теоремы отсчетов была сформулирована еще раньше Коши в статье [41], опубликованной в 1841 году. Однако статья Коши не содержит такого утверждения, как было указано Хиггинсом [135].
28 Как следствие открытия нескольких независимых введений теоремы выборки, люди начали ссылаться на теорему, включая имена вышеупомянутых авторов, в результате чего появились такие крылатые фразы, как «Уиттакер – Котельников – Шеннон» (WKS) теорема выборки »[155] или даже« теорема выборки Уиттекера – Котельникова – Раабе – Шеннона – Сомейа »[33]. Чтобы избежать путаницы, возможно, лучше всего называть ее теоремой выборки», а чем пытаться найти титул, который отдает должное всем заявителям »[136].
Почему Найквист?
Как именно, когда и почему имя Гарри Найквиста было добавлено к теореме выборки, остается неясным. Термин Найквист выборка теорема (капитализируются таким образом) появился еще в 1959 году в книге от своего бывшего работодателя, Bell Labs , [20] и снова появился в 1963 году, [21] и не капитализируется в 1965. [22] Он был назван Shannon Sampling теорема уже в 1954 г. [23] , но и только отбор проб теорема ряда других книг в начале 1950 - х годов.
В 1958 году, Blackman и Тьюки привели 1928 статьи Найквист в качестве эталона для теоремы дискретизации теории информации , [24] , даже если эта статья не относится к выборкам и реконструкции непрерывных сигналов , как это делали другие. Их глоссарий терминов включает следующие записи:
- Теорема выборки (теории информации)
- Результат Найквиста о том, что данные с одинаковым интервалом, с двумя или более точками на цикл наивысшей частоты, позволяет реконструировать функции с ограниченной полосой частот. (См. Кардинальную теорему .)
- Кардинальная теорема (теории интерполяции)
- Точная формулировка условий, при которых значения, заданные в дважды бесконечном множестве равноотстоящих точек, могут быть интерполированы для получения непрерывной функции с ограниченной полосой пропускания с помощью функции
О том, какой именно «результат Найквиста» они имеют в виду, остается загадкой.
Когда Шеннон сформулировал и доказал теорему выборки в своей статье 1949 года, согласно Мейерингу [19], он сослался на критический интервал выборкикак интервал Найквиста, соответствующий полосе W , в знак признания открытия Найквистом фундаментальной важности этого интервала в связи с телеграфией ". Это объясняет имя Найквиста на критическом интервале, но не на теореме.
Точно так же имя Найквиста было добавлено к рейтингу Найквиста в 1953 году Гарольдом С. Блэком :
«Если основной частотный диапазон ограничен до B циклов в секунду, Найквист дал 2 B как максимальное количество кодовых элементов в секунду, которое может быть однозначно разрешено, если предположить, что пиковая помеха меньше половины квантового шага. называется сигнализацией по ставке Найквиста ибыл назван интервалом Найквиста » [25] (жирный шрифт добавлен для выделения; курсив, как в оригинале)
Согласно OED , это может быть источником термина « ставка Найквиста» . В использовании Блэка это не частота дискретизации, а частота передачи сигналов.
Смотрите также
- 44,100 Гц , обычная частота, используемая для выборки звуковых частот, основана на пределах человеческого слуха и теореме выборки.
- Теорема Балиана – Лоу , аналогичная теоретическая нижняя граница частоты дискретизации, но применимая к частотно-временным преобразованиям.
- Теорема Ченга – Маркса , которая определяет условия, при которых восстановление сигнала по теореме выборки может стать некорректным.
- Закон Хартли
- Критерий Найквиста ISI
- Реконструкция с нулевых переходов
- Удержание нулевого порядка
Заметки
- ^ Функция sinc следует из строк 202 и 102 таблиц преобразований.
- ^ Шеннон 1949 , стр. 448.
Рекомендации
- ↑ Немировский, Джонатан; Шимрон, Эфрат (2015). "Использование теоремы Бохнера для ограниченной оценки отсутствующих данных Фурье". arXiv : 1506.03300 [ Physics.med -ph ].
- ^ а б в г Шеннон, Клод Э. (январь 1949 г.). «Общение при наличии шума». Труды Института Радиоинженеров . 37 (1): 10–21. DOI : 10,1109 / jrproc.1949.232969 . S2CID 52873253 . Перепечатайте как классическую бумагу в: Учеб. IEEE , Vol. 86, No. 2, (февраль 1998). Архивировано 8 февраля 2010 г. в Wayback Machine.
- ^ Ahmed, N .; Рао, КР (10 июля 1975 г.). Ортогональные преобразования для цифровой обработки сигналов (1-е изд.). Берлин Гейдельберг Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-642-45450-9 . ISBN 9783540065562.
- ^ Марвасти (редактор), Ф. (2000). Неоднородная выборка, теория и практика . Нью-Йорк: Kluwer Academic / Plenum Publishers.CS1 maint: дополнительный текст: список авторов ( ссылка )
- ^ Ландау, HJ (1967). «Необходимые условия плотности для выборки и интерполяции некоторых целых функций» . Acta Math . 117 (1): 37–52. DOI : 10.1007 / BF02395039 .
- ^ см., например, Фэн, П. (1997). Универсальная выборка с минимальной частотой и восстановление без учета спектра для многополосных сигналов . Кандидат наук. докторскую диссертацию в Иллинойском университете в Урбане-Шампейн.
- ^ Мишали, Моше; Эльдар, Йонина С. (март 2009 г.). «Слепая реконструкция многополосного сигнала: сжатие аналоговых сигналов». IEEE Trans. Сигнальный процесс . 57 (3): 993–1009. Bibcode : 2009ITSP ... 57..993M . CiteSeerX 10.1.1.154.4255 . DOI : 10.1109 / TSP.2009.2012791 . S2CID 2529543 .
- ^ Кипнис, Алон; Голдсмит, Андреа Дж .; Эльдар, Йонина Ц .; Вайсман, Цачи (январь 2016 г.). "Функция скорости искажения дискретизированных гауссовских источников суб-Найквиста". IEEE Transactions по теории информации . 62 : 401–429. arXiv : 1405.5329 . DOI : 10,1109 / tit.2015.2485271 .
- ^ Кипнис, Алон; Эльдар, Йонина; Голдсмит, Андреа (26 апреля 2018 г.). «Аналого-цифровое сжатие: новая парадигма преобразования сигналов в биты». Журнал обработки сигналов IEEE . 35 (3): 16–39. arXiv : 1801.06718 . Bibcode : 2018ISPM ... 35 ... 16K . DOI : 10.1109 / MSP.2017.2774249 . S2CID 13693437 .
- ^ Найквист, Гарри (апрель 1928 г.). «Некоторые вопросы теории телеграфной передачи». Пер. AIEE . 47 (2): 617–644. Bibcode : 1928TAIEE..47..617N . DOI : 10,1109 / т-aiee.1928.5055024 . Перепечатайте как классическую бумагу в: Учеб. IEEE , Vol. 90, No. 2, февраль 2002 г. Архивировано 26 сентября 2013 г. в Wayback Machine.
- ^ Купфмюллер, Карл (1928). "Über die Dynamik der selbsttätigen Verstärkungsregler". Elektrische Nachrichtentechnik (на немецком языке). 5 (11): 459–467. (Английский перевод 2005 г.) .
- ^ Котельников В.А. (1933). «О пропускной способности эфира и провода в телекоммуникациях». Материалы к Первой Всесоюзной конференции по вопросам связи, Изд. Красный. Upr. Связи РККА . (Английский перевод, PDF) .
- ^ Уиттакер, ET (1915). «О функциях, которые представляются расширениями теории интерполяции» . Proc. Royal Soc. Эдинбург . 35 : 181–194. DOI : 10.1017 / s0370164600017806 . ("Theorie der Kardinalfunktionen").
- ^ Уиттакер, JM (1935). Теория интерполяционной функции . Кембридж, Англия: Cambridge Univ. Нажмите..
- ^ Шеннон, Клод Э. (июль 1948 г.). «Математическая теория коммуникации». Технический журнал Bell System . 27 (3): 379–423. DOI : 10.1002 / j.1538-7305.1948.tb01338.x . hdl : 11858 / 00-001M-0000-002C-4317-B ..
- ^ Шеннон, Клод Э. (октябрь 1948 г.). «Математическая теория коммуникации». Технический журнал Bell System . 27 (4): 623–666. DOI : 10.1002 / j.1538-7305.1948.tb00917.x . hdl : 11858 / 00-001M-0000-002C-4314-2 .
- ^ Джерри, Абдул (ноябрь 1977 г.). «Теорема Шеннона об отсчетах - ее различные расширения и приложения: учебный обзор». Труды IEEE . 65 (11): 1565–1596. DOI : 10,1109 / proc.1977.10771 . S2CID 37036141 . Смотрите также Джерри, Абдул (апрель 1979 г.). «Поправка к« теореме выборки Шеннона - ее различные расширения и приложения: учебный обзор » ». Труды IEEE . 67 (4): 695. DOI : 10,1109 / proc.1979.11307 .
- ^ Люке, Ханс Дитер (апрель 1999 г.). «Истоки теоремы об отсчетах» (PDF) . Журнал IEEE Communications . 37 (4): 106–108. CiteSeerX 10.1.1.163.2887 . DOI : 10.1109 / 35.755459 .
- ^ а б Мейеринг, Эрик (март 2002 г.). «Хронология интерполяции от древней астрономии до современной обработки сигналов и изображений» (PDF) . Proc. IEEE . 90 (3): 319–342. DOI : 10.1109 / 5.993400 .
- ^ Члены технического персонала телефонных лабораторий Bell (1959). Системы передачи для связи . AT&T. С. 26–4 (Том 2).
- ^ Гийемен, Эрнст Адольф (1963). Теория линейных физических систем . Вайли.
- ^ Робертс, Ричард А .; Бартон, Бен Ф. (1965). Теория обнаруживаемости сигналов: теория составных отложенных решений .
- ^ Грей, Трумэн С. (1954). «Прикладная электроника: первый курс по электронике, электронным трубкам и связанным с ними схемам». Физика сегодня . 7 (11): 17. Bibcode : 1954PhT ..... 7k..17G . DOI : 10.1063 / 1.3061438 . hdl : 2027 / mdp.39015002049487 .
- ^ Блэкман, РБ; Тьюки, JW (1958). Измерение спектров мощности: с точки зрения техники связи (PDF) . Нью-Йорк: Дувр.[ постоянная мертвая ссылка ]
- ^ Блэк, Гарольд С. (1953). Теория модуляции .
дальнейшее чтение
- Хиггинс-младший: Пять рассказов о главном сериале , Бюллетень AMS 12 (1985)
- Küpfmüller, Karl , "Utjämningsförlopp inom Telegrafoch Telefontekniken", ("Переходные процессы в телеграфной и телефонной технике"), Teknisk Tidskrift , no. 9 с. 153–160 и 10 с. 178–182, 1931. [1] [2]
- Маркс, Р.Дж. (II): Введение в теорию выборки и интерполяции Шеннона , Springer-Verlag, 1991.
- Marks, RJ (II), редактор: Advanced Topics in Shannon Sampling and Interpolation Theory , Springer-Verlag, 1993.
- Маркс, Р. Дж. (II), Справочник по анализу Фурье и его приложениям, Oxford University Press, (2009), главы 5–8. Книги Google
- Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Феттерлинг, Вашингтон; Фланнери, Б.П. (2007), «Раздел 13.11. Численное использование теоремы выборки» , Численные рецепты: Искусство научных вычислений (3-е изд.), Нью-Йорк: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8
- Unser, Michael: Sampling-50 Years after Shannon , Proc. IEEE, т. 88, нет. 4. С. 569–587, апрель 2000 г.
Внешние ссылки
- Обучение с помощью моделирования Интерактивное моделирование последствий неадекватной выборки
- Интерактивная презентация выборки и реконструкции в веб-демонстрации Института телекоммуникаций Штутгартского университета
- Недостаточная выборка и ее применение
- Теория сэмплирования для цифрового аудио
- Журнал, посвященный теории выборки
- Теорема дискретизации с постоянной амплитудой импульса переменной ширины
- Люке, Ханс Дитер (апрель 1999 г.). «Истоки теоремы об отсчетах» (PDF) . Журнал IEEE Communications . 37 (4): 106–108. CiteSeerX 10.1.1.163.2887 . DOI : 10.1109 / 35.755459 .