Прямоугольная функция

Прямоугольная функция

Прямоугольная функция (также известная как функции прямоугольника , Rect функция , функции Pi , функция затвора , единичный импульс , или нормированная функция Boxcar ) определяются как ^[1]

${\displaystyle \operatorname {rect} (t)=\Pi (t)=\left\{{\begin{array}{rl}0,&{\text{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}},&{\text{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1,&{\text{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\end{array}}\right.}$

Альтернативные определения функции: 0, ^[2] 1, ^{[3] [4]} или undefined.${\displaystyle \operatorname {rect} \left(\pm {\frac {1}{2}}\right)}$

Связь с функцией товарного вагона [ править ]

Прямоугольная функция является частным случаем более общей функции товарного вагона :

${\displaystyle \operatorname {rect} \left({\frac {t-X}{Y}}\right)=u(t-(X-Y/2))-u(t-(X+Y/2))=u(t-X+Y/2)-u(t-X-Y/2)}$

где - функция Хевисайда ; функция центрируется и имеет продолжительность от до .${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X-Y/2}$${\displaystyle X+Y/2}$

Преобразование Фурье прямоугольной функции [ править ]

В унитарных преобразованиях Фурье прямоугольной функции являются ^[1]

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i2\pi ft}\,dt={\frac {\sin(\pi f)}{\pi f}}=\mathrm {sinc} {(\pi f)},\,}$

используя обычную частоту f , и

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\mathrm {rect} (t)\cdot e^{-i\omega t}\,dt={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\cdot {\frac {\mathrm {sin} \left(\omega /2\right)}{\omega /2}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\mathrm {sinc} \left(\omega /2\right),\,}$

График нормированной функции sinc (x) (т.е. sinc (πx)) с ее спектральными частотными компонентами.

с использованием угловой частоты ω, где - ненормированная форма функции sinc .${\displaystyle \mathrm {sinc} }$

Обратите внимание, что до тех пор, пока определение импульсной функции мотивируется только ее поведением во временной области, нет оснований полагать, что осциллирующая интерпретация (то есть функция преобразования Фурье) должна быть интуитивной или непосредственно понятной людям. . Однако некоторые аспекты теоретического результата можно понять интуитивно, поскольку конечность во временной области соответствует бесконечной частотной характеристике. (И наоборот, конечное преобразование Фурье будет соответствовать бесконечному отклику во временной области.)

Связь с треугольной функцией [ править ]

Мы можем определить треугольную функцию как свертку двух прямоугольных функций:

${\displaystyle \mathrm {tri} =\mathrm {rect} *\mathrm {rect} .\,}$

Использование в вероятности [ править ]

Если рассматривать прямоугольную функцию как функцию плотности вероятности , это частный случай непрерывного равномерного распределения с . Характеристическая функция является${\displaystyle a=-1/2,b=1/2}$

${\displaystyle \varphi (k)={\frac {\sin(k/2)}{k/2}},}$

а его производящая момент функция равна

${\displaystyle M(k)={\frac {\sinh(k/2)}{k/2}},}$

где - функция гиперболического синуса .${\displaystyle \sinh(t)}$

Рациональное приближение [ править ]

Импульсная функция также может быть выражена как предел рациональной функции :

${\displaystyle \Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}}$

Подтверждение действительности [ править ]

Сначала рассмотрим случай, когда . Обратите внимание, что термин всегда положительный для целого числа . Однако и, следовательно, приближается к нулю для больших .${\displaystyle |t|<{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2t<1}$${\displaystyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n}$

Следует, что:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{0+1}}=1,|t|<{\frac {1}{2}}}$

Во-вторых, рассмотрим случай, когда . Обратите внимание, что термин всегда положительный для целого числа . Однако и, следовательно, становится очень большим для больших .${\displaystyle |t|>{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle 2t>1}$${\displaystyle (2t)^{2n}}$${\displaystyle n}$

Следует, что:

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\frac {1}{+\infty +1}}=0,|t|>{\frac {1}{2}}}$

В-третьих, рассмотрим случай, когда . Мы можем просто подставить в наше уравнение:${\displaystyle |t|={\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{1^{2n}+1}}={\frac {1}{1+1}}={\frac {1}{2}}}$

Мы видим, что он удовлетворяет определению импульсной функции.

${\displaystyle \therefore \mathrm {rect} (t)=\Pi (t)=\lim _{n\rightarrow \infty ,n\in \mathbb {(} Z)}{\frac {1}{(2t)^{2n}+1}}={\begin{cases}0&{\mbox{if }}|t|>{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{2}}&{\mbox{if }}|t|={\frac {1}{2}}\\1&{\mbox{if }}|t|<{\frac {1}{2}}.\\\end{cases}}}$

См. Также [ править ]

• преобразование Фурье
• Квадратная волна
• Ступенчатая функция
• Фильтр-цилиндр

Ссылки [ править ]