Функция Sinc

В математике , физике и технике , в синк функции , обозначаемой $синк (х)$ , имеет два немного разные определения. ^[1]

Нормализованная функция sinc (синий) и ненормализованная функция sinc (красный) показаны на одной шкале

Синхронизация работает как аудио с частотой 2000 Гц (± 1,5 секунды около нуля).

В математике историческая ненормализованная функция sinc определяется для $x \neq 0 следующим$ образом:

\operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}.

В качестве альтернативы ненормализованная функция sinc часто называется функцией выборки и обозначается как Sa ( x ). ^[2]

В цифровой обработке сигналов и теории информации , то нормированная функция синка обычно определяются для $й \neq 0$ с помощью

\operatorname {sinc} x={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}.

В любом случае значение при $x = 0$ определяется как предельное значение.

\operatorname {sinc} 0:=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin(ax)}{ax}}=1

для всех действительных

a \neq 0

.

Нормализации вызывают определенный интеграл функции над действительными числами , чтобы равные 1 ( в то время как тот же интеграл от функции ненормированного синка имеет значение $П$ ). В качестве еще одного полезного свойства нули нормализованной функции sinc - это ненулевые целые значения $x$ .

Нормированная функция синка является преобразованием Фурье от прямоугольной функции , без масштабирования. Он используется в концепции восстановления непрерывного сигнала с ограниченной полосой пропускания из равномерно разнесенных отсчетов этого сигнала.

Единственная разница между этими двумя определениями заключается в масштабировании независимой переменной ( оси $x$ ) на коэффициент $π$ . В обоих случаях значение функции на устранимой особенности в нуле понимается как предельное значение 1. Тогда функция sinc аналитична всюду и, следовательно, является целой функцией .

Термин синк / s ɪ ŋ к / был представлен Филиппом М. Вудворд в своей статье 1952 года «Теория информации и обратной вероятности в связи», в котором он сказал , что функция «происходит так часто в анализе Фурье и его применения , что она действительно, кажется, заслуживает некоторых собственных обозначений » ^[3] и его книги 1953 года« Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам » . ^[4]^[5] Сама функция была впервые математически выведена в этой форме лордом Рэлеем в его выражении ( формула Рэлея ) для сферической формы нулевого порядка.Функция Бесселя первого рода [6969 Г. и др.].

Свойства [ править ]

Локальные максимумы и минимумы (маленькие белые точки) ненормализованной красной функции sinc соответствуют ее пересечениям с синей функцией косинуса .

Действительная часть комплекса sinc

Re (sinc z) = Re (грех г / z)

Мнимая часть комплекса sinc

Im (sinc z) = Im (грех г / z)

Абсолютное значение

| sinc z | = | грех г / z |

В нулевые переходы из ненормированного SINC находятся в ненулевых целых кратных $П$ , а пересечение нул нормализованного SINC происходить при ненулевых целых чисел.

Локальные максимумы и минимумы ненормированного sinc соответствуют его пересечениям с функцией косинуса . То есть, $грех (ξ) / ξ = cos (ξ)$ для всех точек $ξ,$ где производная $грех (х) / Икс$ равен нулю, а значит, достигается локальный экстремум. Это следует из производной функции sinc:

{\frac {d}{dx}}\operatorname {sinc} (x)={\frac {\cos(x)-\operatorname {sinc} (x)}{x}}.

Первые несколько членов бесконечного ряда для координаты $x$ $n$ -го экстремума с положительной координатой $x$ равны

x_{n}=q-q^{-1}-{\frac {2}{3}}q^{-3}-{\frac {13}{15}}q^{-5}-{\frac {146}{105}}q^{-7}-\cdots ,

куда

q=\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pi ,

и где нечетное $n$ приводит к локальному минимуму, а четное $n -$ к локальному максимуму. Из - за симметрии вокруг $у$ оси, существуют экстремумы с $й$ координатами $- х п$ . Кроме того, существует абсолютный максимум при $ξ 0 = (0, 1)$ .

Нормализованная функция sinc имеет простое представление в виде бесконечного произведения :

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{n^{2}}}\right)

и связана с гамма-функцией $Γ (x)$ через формулу отражения Эйлера :

{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}={\frac {1}{\Gamma (1+x)\Gamma (1-x)}}.

Эйлер обнаружил ^[6], что

{\frac {\sin(x)}{x}}=\prod _{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right),

и из-за тождества произведения к сумме ^[7]

\prod _{n=1}^{k}\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)={\frac {1}{2^{k-1}}}\sum _{n=1}^{2^{k-1}}\cos \left({\frac {n-1/2}{2^{k-1}}}x\right),\quad \forall k\geq 1,

произведение Эйлера можно преобразовать в сумму

{\frac {\sin(x)}{x}}=\lim _{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \left({\frac {n-1/2}{N}}x\right).

Непрерывное преобразование Фурье нормированной SINC (к обычной частоте) является $Rect (е)$ :

\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} (t)\,e^{-i2\pi ft}\,dt=\operatorname {rect} (f),

где прямоугольная функция равна 1 для аргумента между -1/2 и 1/2, и ноль в противном случае. Это соответствует тому факту, что sinc-фильтр является идеальным ( кирпичная стена , что означает прямоугольная частотная характеристика) низкочастотным фильтром .

Этот интеграл Фурье, включая частный случай

\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx=\operatorname {rect} (0)=1

является несобственным интегралом (см. интеграл Дирихле ), а не сходящимся интегралом Лебега , поскольку

\int _{-\infty }^{\infty }\left|{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\right|\,dx=+\infty .

Нормированная функция синка обладает свойствами , которые делают его идеальным в связи с интерполяцией из выбранных узкополосных функций:

Это интерполирующая функция, т. $Е. Sinc (0) = 1$ и $sinc (k) = 0$ для ненулевого целого числа $k$ .
Функции $x k (t) = sinc (t - k)$ ( $k$ integer) образуют ортонормированный базис для функций с ограниченной полосой пропускания в функциональном пространстве $L 2 (R)$ с наивысшей угловой частотой $ω H = π$ (то есть наивысшей частотой цикла $f H = 1 / 2$ ).

Другие свойства двух функций sinc включают:

Ненормализованный sinc - это сферическая функция Бесселя нулевого порядка первого рода $j 0 (x)$ . Нормализованный sinc равен $j 0 (π x)$ .
$\int _{0}^{x}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\operatorname {Si} (x),$

где

Si (x)

- синусоидальный интеграл .

$λ sinc (λx)$ (ненормированный) - одно из двух линейно независимых решений линейного обыкновенного дифференциального уравнения

x{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2{\frac {dy}{dx}}+\lambda ^{2}xy=0.

Другой

cos (λx) / Икс

, который не ограничен при

x = 0

, в отличие от его аналога функции sinc.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{2}(\theta )}{\theta ^{2}}}\,d\theta =\pi \quad \Rightarrow \quad \int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(x)\,dx=1,$

где имеется в виду нормализованный sinc.

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\,d\theta =\int _{-\infty }^{\infty }\left({\frac {\sin(\theta )}{\theta }}\right)^{2}\,d\theta =\pi .$
$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{3}(\theta )}{\theta ^{3}}}\,d\theta ={\frac {3\pi }{4}}.$
$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin ^{4}(\theta )}{\theta ^{4}}}\,d\theta ={\frac {2\pi }{3}}.$
Следующий несобственный интеграл включает (ненормированную) функцию sinc:
$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{x^{n}+1}}=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{(kn)^{2}-1}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} ({\frac {\pi }{n}})}}.$

Связь с распределением дельты Дирака [ править ]

Нормализованная функция sinc может использоваться как возникающая дельта-функция , что означает, что выполняется следующий слабый предел :

\lim _{a\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {\pi x}{a}}\right)}{\pi x}}=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)=\delta (x).

Это не обычный предел, так как левая часть не сходится. Скорее это означает, что

\lim _{a\to 0}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{a}}\operatorname {sinc} \left({\frac {x}{a}}\right)\varphi (x)\,dx=\varphi (0)

для каждой функции Шварца , как видно из теоремы обращения Фурье . В приведенном выше выражении при $a \to 0$ количество колебаний на единицу длины функции sinc стремится к бесконечности. Тем не менее выражение всегда колеблется внутри огибающей $\pm 1 / π x$ , независимо от значения $a$ .

Это усложняет неформальную картину $δ (x)$ как нулевого для всех $x,$ кроме точки $x = 0$ , и иллюстрирует проблему мышления дельта-функции как функции, а не как распределения. Похожая ситуация наблюдается в феномене Гиббса .

Суммирование [ править ]

Все суммы в этом разделе относятся к ненормализованной функции sinc.

Сумма $sinc (n)$ по целому числу $n$ от 1 до $\infty$ равна $π - 1 / 2$ :

\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)+\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)+\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.

Сумма квадратов также равна $π - 1 / 2$ : ^[8]

\sum _{n=1}^{\infty }\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)+\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)+\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {\pi -1}{2}}.

Когда знаки слагаемых чередуются и начинаются с +, сумма равна1/2:

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} (n)=\operatorname {sinc} (1)-\operatorname {sinc} (2)+\operatorname {sinc} (3)-\operatorname {sinc} (4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.

Чередующиеся суммы квадратов и кубиков также равны 1/2: ^[9]

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{2}(n)=\operatorname {sinc} ^{2}(1)-\operatorname {sinc} ^{2}(2)+\operatorname {sinc} ^{2}(3)-\operatorname {sinc} ^{2}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}},

\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}\,\operatorname {sinc} ^{3}(n)=\operatorname {sinc} ^{3}(1)-\operatorname {sinc} ^{3}(2)+\operatorname {sinc} ^{3}(3)-\operatorname {sinc} ^{3}(4)+\cdots ={\frac {1}{2}}.

Расширение серии [ править ]

Ряд Тейлора из (ненормированного) $синк$ функции могут быть получены непосредственно от синуса:

\operatorname {sinc} x={\frac {\sin x}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n+1)!}},

который сходится для всех $x$ .

Высшие измерения [ править ]

Произведение одномерных функций sinc легко обеспечивает многомерную функцию sinc для квадратной декартовой сетки ( решетки ): $sinc C (x, y) = sinc (x) sinc (y)$ , преобразование Фурье которой является индикаторной функцией квадрата в частотном пространстве (т. е. кирпичная стена, определенная в двухмерном пространстве). Функция синк для не декартовой решетки (например, гексагональной решетки ) является функцией которого преобразование Фурье является функцией индикатора из зоны Бриллюэнаэтой решетки. Например, функция sinc для гексагональной решетки - это функция, преобразование Фурье которой является индикаторной функцией единичного шестиугольника в частотном пространстве. Для недекартовой решетки эта функция не может быть получена простым тензорным произведением. Однако явная формула для функции sinc для гексагональной , объемно-центрированной кубической , гранецентрированной кубической и других решеток более высокой размерности может быть явно выведена ^[10] с использованием геометрических свойств зон Бриллюэна и их связи с зонотопами .

Например, гексагональная решетка может быть образована (целочисленной) линейной оболочкой векторов

\mathbf {u} _{1}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {u} _{2}={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}\\-{\frac {\sqrt {3}}{2}}\end{bmatrix}}.

Обозначение

{\boldsymbol {\xi }}_{1}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{1},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{2}={\tfrac {2}{3}}\mathbf {u} _{2},\quad {\boldsymbol {\xi }}_{3}=-{\tfrac {2}{3}}(\mathbf {u} _{1}+\mathbf {u} _{2}),\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}},

можно получить ^[10] функцию sinc для этой гексагональной решетки как

{\begin{aligned}\operatorname {sinc} _{\text{H}}(\mathbf {x} )={\tfrac {1}{3}}{\big (}&\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\\&{}+\cos \left(\pi {\boldsymbol {\xi }}_{3}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{1}\cdot \mathbf {x} \right)\operatorname {sinc} \left({\boldsymbol {\xi }}_{2}\cdot \mathbf {x} \right){\big )}.\end{aligned}}

Эта конструкция может быть использована для построения окна Ланцоша для общих многомерных решеток. ^[10]

См. Также [ править ]

Фильтр сглаживания
Sinc фильтр
Передискретизация Ланцоша
Формула интерполяции Уиттекера – Шеннона
Вейвлет Шеннона
Трипель Винкеля (картография)
Тригонометрический интеграл
Тригонометрические функции матриц
Интеграл Борвейна
Интеграл Дирихле

Ссылки [ править ]

^ Олвер, Франк WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), "Численные методы" , Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
^ Сингх, RP; Сапре, SD (2008). Коммуникационные системы, 2E (иллюстрированный ред.). Тата Макгроу-Хилл Образование. п. 15. ISBN 978-0-07-063454-1. Отрывок страницы 15
^ Вудворд, PM; Дэвис, Иллинойс (март 1952 г.). «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях» (PDF) . Труды IEE - Часть III: Радио и коммуникационная техника . 99 (58): 37–44. DOI : 10,1049 / пи-3.1952.0011 .
^ Пойнтон, Чарльз А. (2003). Цифровое видео и HDTV . Издательство Морган Кауфманн. п. 147 . ISBN 978-1-55860-792-7.
^ Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Лондон: Pergamon Press. п. 29 . ISBN 978-0-89006-103-9. OCLC 488749777 .
^ Эйлер, Леонард (1735). «По суммам серий взаимных выплат». arXiv : math / 0506415 .
^ Луис Ортис-Грасиа; Корнелис В. Остерли (2016). «Высокоэффективный вейвлет-метод Шеннона с обратным Фурье для оценки европейских опционов» . SIAM J. Sci. Comput . 38 (1): B118 – B143. DOI : 10.1137 / 15M1014164 .
^ Роберт Бэйли; Дэвид Борвейн ; Джонатан М. Борвейн (декабрь 2008 г.). «Удивительные синусоидальные суммы и интегралы». Американский математический ежемесячник . 115 (10): 888–901. DOI : 10.1080 / 00029890.2008.11920606 . ЛВП : 1959,13 / 940062 . JSTOR 27642636 .
^ Бэйли, Роберт (2008). «Развлечение с рядами Фурье». Arxiv : 0806.0150v2 [ math.CA ].
^ a b c Ye, W .; Энтезари, А. (июнь 2012 г.). «Геометрическая конструкция многомерных Sinc-функций». IEEE Transactions по обработке изображений . 21 (6): 2969–2979. Bibcode : 2012ITIP ... 21.2969Y . DOI : 10.1109 / TIP.2011.2162421 . PMID 21775264 .

Внешние ссылки [ править ]

Вайсштейн, Эрик В. "Функция Sinc" . MathWorld .

[dlmf-1] Олвер, Франк WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), "Численные методы" , Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

[2] Сингх, RP; Сапре, SD (2008). Коммуникационные системы, 2E (иллюстрированный ред.). Тата Макгроу-Хилл Образование. п. 15. ISBN 978-0-07-063454-1. Отрывок страницы 15

[3] Вудворд, PM; Дэвис, Иллинойс (март 1952 г.). «Теория информации и обратная вероятность в телекоммуникациях» (PDF) . Труды IEE - Часть III: Радио и коммуникационная техника . 99 (58): 37–44. DOI : 10,1049 / пи-3.1952.0011 .

[Poynton-4] Пойнтон, Чарльз А. (2003). Цифровое видео и HDTV . Издательство Морган Кауфманн. п. 147 . ISBN 978-1-55860-792-7.

[5] Вудворд, Филипп М. (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радарам . Лондон: Pergamon Press. п. 29 . ISBN 978-0-89006-103-9. OCLC 488749777 .

[6] Эйлер, Леонард (1735). «По суммам серий взаимных выплат». arXiv : math / 0506415 .

[7] Луис Ортис-Грасиа; Корнелис В. Остерли (2016). «Высокоэффективный вейвлет-метод Шеннона с обратным Фурье для оценки европейских опционов» . SIAM J. Sci. Comput . 38 (1): B118 – B143. DOI : 10.1137 / 15M1014164 .

[BBB-8] Роберт Бэйли; Дэвид Борвейн ; Джонатан М. Борвейн (декабрь 2008 г.). «Удивительные синусоидальные суммы и интегралы». Американский математический ежемесячник . 115 (10): 888–901. DOI : 10.1080 / 00029890.2008.11920606 . ЛВП : 1959,13 / 940062 . JSTOR 27642636 .

[FWFS-9] Бэйли, Роберт (2008). «Развлечение с рядами Фурье». Arxiv : 0806.0150v2 [ math.CA ].

[multiD-10] Ye, W .; Энтезари, А. (июнь 2012 г.). «Геометрическая конструкция многомерных Sinc-функций». IEEE Transactions по обработке изображений . 21 (6): 2969–2979. Bibcode : 2012ITIP ... 21.2969Y . DOI : 10.1109 / TIP.2011.2162421 . PMID 21775264 .

[1]