Скатывание

Спад - это крутизна передаточной функции с частотой , особенно при анализе электрических сетей , и особенно в связи со схемами фильтров при переходе между полосой пропускания и полосой задерживания . Чаще всего он применяется к вносимым потерям в сети, но, в принципе, может применяться к любой соответствующей функции частоты и к любой технологии, а не только к электронике. Спад обычно измеряют как функцию логарифмической частоты; следовательно, единицами спада являются децибелы за декаду.(дБ / декада), где декада - это десятикратное увеличение частоты, или децибел на октаву (дБ / 8ve), где октава - двукратное увеличение частоты.

Концепция спада проистекает из того факта, что во многих сетях спад имеет тенденцию к постоянному градиенту на частотах, находящихся далеко от точки отсечки частотной кривой. Спад позволяет снизить эффективность отсечки такой сети фильтров до единственного числа. Обратите внимание, что спад может происходить как с уменьшением частоты, так и с увеличением частоты, в зависимости от формы полосы рассматриваемого фильтра: например, фильтр нижних частот будет спадать с увеличением частоты, но фильтр верхних частот или нижний непропускании из полосового фильтрабудет спадать с уменьшающейся частотой. Для краткости в данной статье описаны только фильтры нижних частот. Это следует воспринимать в духе фильтров-прототипов ; те же принципы могут быть применены к фильтрам высоких частот путем замены фраз, таких как «частота выше среза» и «частота ниже среза».

Спад первого порядка [ править ]

Схема фильтра нижних частот RC-фильтра первого порядка .

Спад ФНЧ первого порядка на 6 дБ / октаву (20 дБ / декаду)

Простая сеть первого порядка, такая как RC-цепь, будет иметь спад 20 дБ / декаду. Это примерно равно (с точностью до нормальной инженерной точности) 6 дБ / октаву и является более обычным описанием этого спада. Это может быть показано, что таким путем рассмотрения напряжения функции передачи , A , сети RC: ^[1]

${\ displaystyle A = {\ frac {V_ {o}} {V_ {i}}} = {\ frac {1} {1 + i \ omega RC}}}$

Масштабирование частоты до ω _c  = 1 / RC  = 1 и формирование отношения мощностей дает,

${\ displaystyle | A | ^ {2} = {\ frac {1} {1+ \ left ({\ omega \ over \ omega _ {c}} \ right) ^ {2}}} = {\ frac {1 } {1+ \ omega ^ {2}}}}$

В децибелах это становится,

${\ displaystyle 10 \ log \ left ({\ frac {1} {1+ \ omega ^ {2}}} \ right)}$

или выраженный как убыток,

${\ Displaystyle L = 10 \ log \ left ({1+ \ omega ^ {2}} \ right) \ \ mathrm {дБ}}$

На частотах значительно выше ω = 1 это упрощается до

${\ Displaystyle L \ приблизительно 10 \ log \ влево (\ omega ^ {2} \ right) = 20 \ log \ omega \ \ mathrm {дБ}}$

Спад рассчитывается как,

${\ displaystyle \ Delta L = 20 \ log \ left ({\ omega _ {2} \ over \ omega _ {1}} \ right) \ \ mathrm {дБ / интервал_ {2,1}}}$

На десятилетие это так;

${\ Displaystyle \ Delta L = 20 \ log 10 = 20 \ \ mathrm {дБ / декада}}$

а для октавы

${\displaystyle \Delta L=20\log 2\approx 20\times 0.3=6\ \mathrm {dB/8ve} }$

Сети высшего порядка [ править ]

Многоступенчатый RC-фильтр с буферизацией между ступенями.

График спада низкочастотных фильтров более высокого порядка, показывающий различные скорости спада

Сеть более высокого порядка может быть построена путем каскадного соединения секций первого порядка вместе. Если между каждой секцией помещается буферный усилитель с единичным усилением (или используется какая-либо другая активная топология ), то взаимодействие между каскадами отсутствует. В этом случае для n идентичных секций первого порядка в каскаде передаточная функция напряжения всей сети определяется выражением; ^[1]

${\displaystyle A_{\mathrm {T} }=A^{n}\ }$

следовательно, общий спад определяется как

${\displaystyle \Delta L_{\text{T}}=n\,\Delta L=6n{\text{ dB/8ve}}}$

Подобного эффекта можно достичь в цифровой области , многократно применяя один и тот же алгоритм фильтрации к сигналу. ^[2]

Вычисление передаточной функции несколько усложняется, когда не все секции идентичны или когда для реализации фильтра используется популярная конструкция лестничной топологии . В лестничном фильтре каждая секция фильтра влияет на своих непосредственных соседей и в меньшей степени влияет на более удаленные секции, поэтому ответ не является простым A ^n, даже если все секции идентичны. Для некоторых классов фильтров, таких как фильтр Баттерворта , вносимые потери все еще монотонно увеличиваются с частотой и быстро асимптотически сходятся к  спаду 6 n дБ / 8ve, но для других, таких как Чебышева илиэллиптический фильтр: спад около частоты среза происходит намного быстрее, а в других местах отклик не является монотонным. Тем не менее, все классы фильтров в конечном итоге сходятся к  спаду 6 n дБ / 8ve теоретически на некоторой произвольно высокой частоте, но во многих приложениях это будет происходить в полосе частот, не представляющей интереса для приложения, и паразитные эффекты вполне могут начать преобладать. задолго до того, как это произойдет. ^[3]

Приложения [ править ]

Фильтры с высоким коэффициентом спада были впервые разработаны для предотвращения перекрестных помех между соседними каналами в телефонных системах FDM . ^[4] Спад также важен для кроссоверных фильтров звуковых громкоговорителей : здесь потребность не столько в высоком спаде, сколько в том, чтобы спады высокочастотной и низкочастотной частей были симметричными и взаимодополняющими. Интересная потребность в высоком спаде возникает в машинах ЭЭГ . Здесь фильтры в основном обходятся базовым спадом 6 дБ / 8ve, однако некоторые инструменты предоставляют переключаемый фильтр 35 Гц на высокочастотном конце с более быстрым спадом, чтобы помочь отфильтровать шум, создаваемый мышечной активностью. ^[5]

См. Также [ править ]

• Сюжет Боде

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Дж. Уильям Хелтон, Орландо Мерино, Классическое управление с использованием методов H [бесконечности]: введение в дизайн , страницы 23-25, Общество промышленной и прикладной математики 1998 ISBN 0-89871-424-9 . 
• Тодд К. Хэнди, Возможности, связанные с событиями: справочник по методам , страницы 89–92, 107–109, MIT Press 2004 ISBN 0-262-08333-7 . 
• Фэй С. Тайнер, Джон Рассел Нотт, У. Брем Майер (ред.), Основы технологии ЭЭГ: основные концепции и методы , страницы 101–102, Lippincott Williams & Wilkins 1983 ISBN 0-89004-385-X .