Модель Васичека

Траектория короткой ставки и соответствующие кривые доходности при T = 0 (фиолетовый) и двух более поздних моментах времени

В области финансов , то модель Vasicek является математическая модель , описывающая эволюцию процентных ставок . Это разновидность однофакторной модели краткосрочной ставки, поскольку она описывает движения процентных ставок, обусловленные только одним источником рыночного риска . Модель может использоваться при оценке производных финансовых инструментов на процентную ставку , а также адаптирована для кредитных рынков. Он был введен в 1977 году Васичек , ^[1] и может быть также рассматривается в качестве стохастической инвестиционной модели .

Подробности [ править ]

Модель определяет, что мгновенная процентная ставка следует стохастическому дифференциальному уравнению :

${\ displaystyle dr_ {t} = a (b-r_ {t}) \, dt + \ sigma \, dW_ {t}}$

где W _t - винеровский процесс в рамках нейтральной по отношению к риску структуры, моделирующей случайный фактор рыночного риска, в том смысле, что он моделирует непрерывный приток случайности в систему. Стандартное отклонение параметров, определяет изменчивость процентной ставки и таким образом , характеризует амплитуду мгновенного притока случайности. Типовые параметры и вместе с начальным условием полностью характеризуют динамику и могут быть быстро охарактеризованы следующим образом, считая их неотрицательными:${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle b, a}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle r_ {0}}$${\ displaystyle a}$

• ${\ displaystyle b}$: "долгосрочный средний уровень". Все будущие траектории будут развиваться вокруг среднего уровня b в долгосрочной перспективе;${\ displaystyle r}$
• ${\ displaystyle a}$: "скорость возврата". характеризует скорость, с которой такие траектории перегруппируются во времени;${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$
• ${\ displaystyle \ sigma}$: «мгновенная волатильность», мгновенно измеряет амплитуду случайности, попадающей в систему. Чем выше, тем больше случайности${\ displaystyle \ sigma}$

Также представляет интерес следующая производная величина:

• ${\ displaystyle {\ sigma ^ {2}} / (2a)}$: "долгосрочная дисперсия". Все будущие траектории будут перегруппировываться вокруг долгосрочного среднего с такой дисперсией через долгое время.${\ displaystyle r}$

${\ displaystyle a}$и имеют тенденцию противостоять друг другу: увеличение увеличивает количество случайности, входящей в систему, но в то же время увеличение означает увеличение скорости, с которой система будет статистически стабилизироваться вокруг долгосрочного среднего с коридором отклонения, определяемым также . Это становится ясно, если посмотреть на долгосрочную дисперсию,${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2a}}}$

который увеличивается с ростом, но уменьшается с ростом .${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle a}$

Эта модель представляет собой случайный процесс Орнштейна – Уленбека . Приведение долгосрочного среднего стохастика к другому SDE - это упрощенная версия коинтелирования SDE. ^[2]

Обсуждение [ править ]

Модель Васичека была первой, которая зафиксировала возврат к среднему значению - важную характеристику процентной ставки, которая отличает ее от других финансовых цен. Таким образом, в отличие, например, от цен на акции , процентные ставки не могут расти бесконечно. Это связано с тем, что на очень высоком уровне они будут препятствовать экономической активности, вызывая снижение процентных ставок. Аналогичным образом, процентные ставки обычно не опускаются ниже 0. В результате процентные ставки изменяются в ограниченном диапазоне, показывая тенденцию к возврату к долгосрочному значению.

Коэффициент дрейфа представляет собой ожидаемое мгновенное изменение процентной ставки в момент времени t . Параметр b представляет собой долгосрочное равновесное значение, к которому возвращается процентная ставка. Действительно, в отсутствие шоков ( ) процентная ставка остается постоянной при r _t = b . Параметр a , управляющий скоростью регулировки, должен быть положительным, чтобы гарантировать стабильность около долгосрочного значения. Например, когда r _t ниже b , дрейфовый член становится положительным при положительном a${\ Displaystyle а (б-р_ {т})}$ ${\ displaystyle dW_ {t} = 0}$${\ Displaystyle а (б-р_ {т})}$, вызывая тенденцию к повышению процентной ставки (к равновесию).

Главный недостаток заключается в том, что в рамках модели Васичека теоретически возможно, что процентная ставка станет отрицательной, что является нежелательной характеристикой в ​​условиях докризисных предположений. Этот недостаток был зафиксирован в модели Кокса-Ingersoll-Росс , экспоненциальная модель Vasicek, модель Блэка-Дерман-игрушки и модели Блэка-Karasinski , среди многих других. Модель Васичека получила дальнейшее развитие в модели Халла – Уайта . Модель Васичека также является каноническим примером модели аффинной временной структуры , наряду с моделью Кокса – Ингерсолла – Росса .

Асимптотическое среднее и дисперсия [ править ]

Решая стохастическое дифференциальное уравнение, получаем

${\ displaystyle r_ {t} = r_ {0} e ^ {- at} + b \ left (1-e ^ {- at} \ right) + \ sigma e ^ {- at} \ int _ {0} ^ {t} e ^ {as} \, dW_ {s}. \, \!}$

Используя аналогичные методы применительно к случайному процессу Орнштейна – Уленбека, мы получаем, что переменная состояния распределена нормально со средним значением

${\ displaystyle \ mathrm {E} [r_ {t}] = r_ {0} e ^ {- at} + b (1-e ^ {- at})}$

и дисперсия

${\ displaystyle \ mathrm {Var} [r_ {t}] = {\ frac {\ sigma ^ {2}} {2a}} (1-e ^ {- 2at}).}$

Следовательно, мы имеем

${\ Displaystyle \ lim _ {т \ к \ infty} \ mathrm {E} [r_ {t}] = b}$

и

${\displaystyle \lim _{t\to \infty }\mathrm {Var} [r_{t}]={\frac {\sigma ^{2}}{2a}}.}$

См. Также [ править ]

• Процесс Орнштейна – Уленбека .
• Модель Халла – Уайта
• Модель Кокса – Ингерсолла – Росса

Ссылки [ править ]

• Халл, Джон С. (2003). Опционы, фьючерсы и другие производные инструменты . Река Аппер Сэдл, штат Нью-Джерси: Prentice Hall . ISBN 978-0-13-009056-0.
• Дамиано Бриго, Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляции и кредита (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
• Джессика Джеймс, Ник Уэббер (2000). Моделирование процентной ставки . Вайли. ISBN 978-0-471-97523-6.

Внешние ссылки [ править ]

• Модель Васичека , Бьорн Эракер, Висконсинская школа бизнеса
• Оценка и прогноз кривой доходности с помощью модели Васичека , Д. Баязит, Ближневосточный технический университет