Сложные проценты - это добавление процентов к основной сумме ссуды или депозита, или, другими словами, проценты по процентам. Это результат реинвестирования процентов, а не их выплаты, так что проценты в следующем периоде затем начисляются на основную сумму плюс ранее накопленные проценты. Сложные проценты являются стандартом в финансах и экономике .
Сложные проценты противопоставляются простым процентам , где ранее накопленные проценты не добавляются к основной сумме текущего периода, поэтому начисление сложных процентов не производится. Просто годовая процентная ставка является сумма процентов за период, умноженной на число периодов в год. Простая годовая процентная ставка также известна как номинальная процентная ставка (не путать с процентной ставкой, не скорректированной с учетом инфляции , которая носит одноименное название).
Частота компаундирования
Компаундирования частота является количество раз в год (или редко, другая единица времени) накопленные проценты выплачиваются или капитализируются (зачисляется на счет), на регулярной основе. Периодичность может быть годовой, полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной, еженедельной, ежедневной или непрерывной (или вообще не до срока погашения).
Например, ежемесячная капитализация с процентами, выраженными в виде годовой ставки, означает, что частота начисления сложных процентов равна 12, а периоды времени измеряются в месяцах.
Эффект от рецептуры зависит от:
- Номинальная процентная ставка, которая применяется и
- Частота интереса усугубляется.
Годовая эквивалентная ставка
Невозможно напрямую сравнивать номинальную ставку между кредитами с разной частотой начисления сложных процентов. И номинальная процентная ставка, и частота начисления сложных процентов необходимы для сравнения процентных финансовых инструментов.
Чтобы помочь потребителям более справедливо и легко сравнивать розничные финансовые продукты, многие страны требуют, чтобы финансовые учреждения раскрывали годовую сложную процентную ставку по депозитам или авансам на сопоставимой основе. Процентная ставка на основе годового эквивалента может по-разному именоваться на разных рынках как эффективная годовая процентная ставка (EAPR), годовая эквивалентная ставка (AER), эффективная процентная ставка , эффективная годовая ставка , годовая процентная доходность и другие термины. Эффективная годовая ставка - это общая сумма накопленных процентов, подлежащих выплате до конца года, деленная на основную сумму.
Обычно есть два аспекта правил, определяющих эти ставки:
- Ставка - это годовая сложная процентная ставка, и
- Могут взиматься другие сборы, кроме процентов. Может быть включен эффект сборов или налогов, взимаемых с покупателя и непосредственно связанных с продуктом. То, какие именно сборы и налоги включены или исключаются, зависит от страны, может быть или не быть сопоставимым в разных юрисдикциях, потому что использование таких терминов может быть непоследовательным и варьироваться в зависимости от местной практики.
Примеры
- 1000 бразильских реалов (BRL) переводятся на бразильский сберегательный счет с ежегодной выплатой 20% годовых. В конце года на счет зачисляется 1000 x 20% = 200 реалов. Затем на второй год счет зарабатывает 1200 x 20% = 240 реалов.
- Ставка 1% в месяц эквивалентна простой годовой процентной ставке (номинальной ставке) в 12%, но с учетом эффекта начисления сложных процентов годовая эквивалентная сложная ставка составляет 12,68% годовых (1,01 12 - 1).
- Проценты по корпоративным облигациям и государственным облигациям обычно выплачиваются дважды в год. Сумма выплачиваемых процентов (каждые шесть месяцев) - это раскрытая процентная ставка, деленная на два и умноженная на основную сумму долга. Годовая начисленная ставка выше указанной ставки.
- Канадские ипотечные ссуды обычно дополняются раз в полгода ежемесячными (или более частыми) платежами. [1]
- Ипотечные кредиты в США используют амортизируемую ссуду , а не сложные проценты. По этим займам график погашения используется для определения того, как применять выплаты в счет основной суммы долга и процентов. Проценты, полученные по этим займам, не добавляются к основной сумме, а выплачиваются ежемесячно по мере начисления платежей.
- Иногда математически проще, например, при оценке производных финансовых инструментов , использовать непрерывное начисление процентов , которое является пределом, поскольку период начисления процентов приближается к нулю. Непрерывное повышение стоимости этих инструментов является естественным следствием исчисления Itō , при котором производные финансовые инструменты оцениваются с постоянно увеличивающейся частотой, пока не будет достигнут предел, а производные инструменты не будут оцениваться непрерывно.
Дисконтные инструменты
- У казначейских векселей США и Канады (краткосрочного государственного долга) другое соглашение. Их проценты рассчитываются на основе дисконта как (100 - P ) / Pbnm , [ требуется пояснение ], где P - это уплаченная цена. Вместо того, чтобы нормализовать его до года, проценты пропорциональны количеству дней t : (365 / t ) × 100. (См. Соглашение о подсчете дней ).
Расчет
Периодическое компаундирование
Общая накопленная стоимость, включая основную сумму плюс сложный процент , задается формулой: [2] [3]
где:
- P - исходная основная сумма
- P ' - новая основная сумма
- r - номинальная годовая процентная ставка
- n - частота сложения
- t - общий период времени, в течение которого начисляются проценты (выражается с использованием тех же единиц времени, что и r , обычно в годах).
Общая полученная сумма сложных процентов представляет собой окончательное значение за вычетом первоначальной основной суммы: [4]
Пример 1
Предположим, основная сумма в размере 1500 долларов размещена в банке с годовой процентной ставкой 4,3%, начисляемой ежеквартально.
Затем баланс по истечении 6 лет определяется с помощью формулы, приведенной выше, с P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 4 и t = 6:
Итак, новый руководитель через 6 лет составляет примерно 1 938,84 доллара.
Вычитание первоначальной основной суммы из этой суммы дает сумму полученных процентов:
Пример 2
Предположим, что одна и та же сумма в размере 1500 долларов накапливается раз в два года (каждые 2 года). (Это очень необычно на практике.) Затем баланс через 6 лет определяется с помощью формулы, приведенной выше, с P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 1/2 (проценты начисляются каждые два года) , и t = 6:
Таким образом, остаток через 6 лет составляет примерно 1921,24 доллара.
Сумма полученных процентов может быть рассчитана путем вычитания основной суммы из этой суммы.
Проценты меньше по сравнению с предыдущим случаем из-за более низкой частоты начисления сложных процентов.
Функция накопления
Поскольку главный P является просто коэффициентом, его часто опускают для простоты и вместо него используют полученную функцию накопления . Функция накопления показывает, до чего вырастет 1 доллар через любой промежуток времени.
Функции накопления для простых и сложных процентов:
Если , то эти две функции совпадают.
Непрерывное компаундирование
Поскольку n , количество периодов начисления сложных процентов в год, увеличивается без ограничений, этот случай известен как непрерывное начисление сложных процентов, и в этом случае эффективная годовая ставка приближается к верхнему пределу e r - 1 , где e - математическая константа, которая является базой. из натурального логарифма .
Непрерывное сложение можно представить как уменьшение периода сложения бесконечно малым, достигаемое за счет принятия предела, когда n стремится к бесконечности . См. Определения экспоненциальной функции для математического доказательства этого предела. Количество после t периодов непрерывного начисления сложных процентов может быть выражено в терминах начального количества P 0 как
Сила интереса
Как количество периодов начисления сложных процентов достигает бесконечности при непрерывном начислении сложных процентов, непрерывная сложная процентная ставка называется силой процента .
В математике, функция накопления часто выражается через е , основание натурального логарифма . Это облегчает использование исчисления для управления формулами процентов.
Для любой непрерывно дифференцируемой функции накопления a (t) интересующая сила или, в более общем смысле, логарифмическая или непрерывно вычисляемая доходность является функцией времени, определяемой следующим образом:
Это логарифмическая производная функции накопления.
Наоборот:
- (поскольку ; это можно рассматривать как частный случай интеграла продукта ).
Когда приведенная выше формула записана в формате дифференциального уравнения, тогда интересующая сила - это просто коэффициент величины изменения:
Для сложных процентов с постоянной годовой процентной ставкой r сила процента является постоянной, а функция накопления сложных процентов с точки зрения силы процента представляет собой простую степень e :
- или же
Сила процента меньше годовой эффективной процентной ставки, но больше годовой эффективной ставки дисконтирования . Это величина, обратная времени электронного складывания . См. Также обозначение процентных ставок .
Способ моделирования силы инфляции - формула Стодли: где p , r и s оцениваются.
Компаундная основа
Чтобы преобразовать процентную ставку с одной основы начисления на другую основу начисления процентов, используйте
где r 1 - процентная ставка с частотой начисления n 1 , а r 2 - процентная ставка с частотой начисления n 2 .
Когда проценты непрерывно начисляются , используйте
где - процентная ставка на основе непрерывного начисления сложных процентов, а r - заявленная процентная ставка с частотой начисления сложных процентов n .
Ежемесячные выплаты по амортизированной ссуде или ипотеке
Проценты по ссудам и ипотеке, которые амортизируются, то есть имеют плавный ежемесячный платеж до тех пор, пока ссуда не будет выплачена, часто начисляются ежемесячно. Формула выплат находится из следующих аргументов.
Точная формула ежемесячного платежа
Точная формула ежемесячного платежа () является
или эквивалентно
где:
- = ежемесячный платеж
- = главный
- = ежемесячная процентная ставка
- = количество периодов оплаты
Это можно получить, посчитав, сколько еще остается выплачивать по истечении каждого месяца.
Принципал, оставшийся после первого месяца, составляет
то есть начальная сумма плюс проценты за вычетом платежа.
Если вся ссуда будет погашена через месяц, то
- , так
После второго месяца осталось, так что
Если вся ссуда была погашена через два месяца,
- , так
Это уравнение обобщается на срок n месяцев, . Это геометрический ряд, имеющий сумму
который можно переставить, чтобы получить
- Формула электронной таблицы
В электронных таблицах используется функция PMT () . Синтаксис:
- PMT (процентная_ ставка, количество_платежей, настоящее_значение, будущее_значение, [Тип])
См. Excel , Номера Mac , LibreOffice , Open Office , Google Таблицы для получения более подробной информации.
Например, для процентной ставки 6% (0,06 / 12), 25 лет * 12 в год, PV 150 000 долларов США, FV 0, тип 0 дает:
- = PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0)
- = 966,45 долл. США
Примерная формула ежемесячного платежа
Формулу с точностью до нескольких процентов можно найти, отметив, что для типичных курсов банкнот США ( и условия = 10–30 лет), месячная ставка нот мала по сравнению с 1: таким образом что дает упрощение, так что
что предлагает определить вспомогательные переменные
- .
Здесь ежемесячный платеж, необходимый для выплаты беспроцентной ссуды в рассрочка. В терминах этих переменных можно записать приближение
Функция даже:
подразумевая, что он может быть расширен до четных степеней .
Отсюда сразу следует, что может быть расширен даже в степени плюс один термин:
Тогда будет удобно определить
чтобы
который можно расширить:
где многоточием обозначены члены более высокого порядка по четным степеням . Расширение
действительно до 1% при условии .
Пример выплаты ипотеки
Для ипотечного кредита в размере 10 000 долларов США сроком на 30 лет и процентной ставкой 4,5%, выплачиваемой ежегодно, мы находим:
который дает
чтобы
Точная сумма платежа Таким образом, оценка является завышенной примерно на одну шестую процента.
Инвестирование: ежемесячные вклады
Учитывая основной (начальный) депозит и повторяющийся депозит, общий доход от инвестиций можно рассчитать через сложный процент, полученный за единицу времени. При необходимости проценты по дополнительным единовременным и повторяющимся депозитам также могут быть определены по той же формуле (см. Ниже). [5]
- = Основной депозит
- = Норма прибыли (ежемесячно)
- = Ежемесячный депозит и
- = Время в месяцах
Если появляются два или более типа вкладов (повторяющиеся или разовые), заработанные сложные проценты могут быть представлены как
- где C и k - разовые и повторяющиеся депозиты, соответственно, а x и y - разницы во времени между новым депозитом и любой переменной. моделирует.
История
Сложные проценты когда-то считались худшим видом ростовщичества и строго осуждались римским правом и общими законами многих других стран. [6]
Флорентийский купец Франческо Бальдуччи Пеголотти в своей книге Pratica della mercatura представил таблицу сложных процентов в размере около 1340. В ней процентная ставка составляет 100 лир по ставкам от 1% до 8% на срок до 20 лет. [7] Summa де Арифметика из Лука Пачоли (1494) дает Правило 72 , о том , что найти количество лет для инвестиций в сложных процентов , чтобы удвоить, следует разделить процентную ставку на 72.
Книга Ричарда Витта « Арифметические вопросы» , опубликованная в 1613 году, стала важной вехой в истории сложных процентов. Он был полностью посвящен этому предмету (ранее называвшемуся анатоцизмом ), тогда как предыдущие авторы обычно кратко рассматривали сложные проценты всего в одной главе учебника математики. В книге Витта приведены таблицы, основанные на 10% (тогда максимальная процентная ставка, допустимая по ссудам) и на других ставках для различных целей, таких как оценка стоимости аренды имущества. Витт был лондонским математиком-практиком, и его книга отличается ясностью выражения, глубиной понимания и точностью вычислений, содержащей 124 отработанных примера. [8] [9]
Якоб Бернулли открыл постоянную е {\ displaystyle e} в 1683 г., изучая вопрос о сложных процентах.
В XIX веке и, возможно, раньше персидские купцы использовали слегка модифицированную линейную аппроксимацию Тейлора для формулы ежемесячных платежей, которую можно было легко вычислить в их голове. [10]
Смотрите также
- Проценты по кредитной карте
- Экспоненциальный рост
- Уравнение фишера
- Интерес
- Процентная ставка
- Норма прибыли
- Норма возврата инвестиций
- Реальная стоимость по сравнению с номинальной (экономика)
- Кривая доходности
Рекомендации
- ^ http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6 Закон о процентах (Канада), Министерство юстиции . В Законе о процентах указывается, что проценты не подлежат возмещению, если ипотечная ссуда не содержит заявления с указанием начисляемых процентов, «рассчитываемых ежегодно или каждые полгода, а не заранее». На практике банки используют полугодовую ставку.
- ^ «Формула сложного процента» . qrc.depaul.edu . Проверено 5 декабря 2018 .
- ^ Персонал, Инвестопедия (19 ноября 2003 г.). «Непрерывное компаундирование» . Инвестопедия . Проверено 5 декабря 2018 .
- ^ «Формула сложного процента - объяснение» . www.thecalculatorsite.com . Проверено 5 декабря 2018 .
- ^ https://www.wavesofpaper.com/finance/Using-Compound-Interest-to-Optimize-Investment-Spread
- ^ Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии : Чемберс, Ефрем , изд. (1728). Cyclopædia, или Универсальный словарь искусств и наук (1-е изд.). Джеймс и Джон Кнаптон и др. Отсутствует или пусто
|title=
( справка ) - ^ Эванс, Аллан (1936). Франческо Бальдуччи Пеголотти, La Pratica della Mercatura . Кембридж, Массачусетс. С. 301–2.
- ^ Левин, CG (1970). «Ранняя книга о сложных процентах - арифметические вопросы Ричарда Витта». Журнал института актуариев . 96 (1): 121–132. DOI : 10.1017 / S002026810001636X .
- ^ Левин, CG (1981). «Сложный процент в семнадцатом веке». Журнал института актуариев . 108 (3): 423–442. DOI : 10.1017 / S0020268100040865 .
- ^ Миланфар, Пейман (1996). «Персидский народный метод определения интереса». Математический журнал . 69 (5): 376. DOI : 10,1080 / 0025570X.1996.11996479 .