Актуарное обозначение

Пример актуарного символа.
1. Верхний регистр A - это гарантия выплаты 1 по страховому случаю; Нижний регистр a - это аннуитет, выплачиваемый 1 раз в год в соответствующее время.
2. Бар означает непрерывный - или выплачивается в момент смерти; двойная точка - подразумевает выплату в начале года; отсутствие отметки означает, что выплачивается в конце года
3. для -летнего человека, за годы 4. выплачивается, если умирает в течение нескольких лет 5. с отсрочкой ( годы) 6. нет фиксированного значения, подразумевает второй момент для расчета , но часто подразумевает двойной сила интереса${\ displaystyle x}$${\ displaystyle n}$
${\ Displaystyle (х)}$${\ displaystyle n}$
${\ displaystyle m}$
${\ Displaystyle E (Z ^ {2}) = E ((v ^ {k_ {x} +1}) ^ {2})}$${\ displaystyle v ^ {k_ {x} +1} = e ^ {\ delta (k_ {x} +1)}}$

Актуарная запись - это сокращенный метод, позволяющий актуариям записывать математические формулы, касающиеся процентных ставок и таблиц дожития .

В традиционной нотации используется система ореола, в которой символы размещаются в виде надстрочного или подстрочного индекса до или после основной буквы. Пример обозначения с использованием системы гало можно увидеть ниже.

Были внесены различные предложения по принятию линейной системы, в которой все обозначения будут на одной строке без использования надстрочных или подстрочных индексов. Такой метод был бы полезен для вычислений, где представление системы гало может быть чрезвычайно трудным. Однако стандартная линейная система еще не появилась.

Пример обозначения [ править ]

Процентные ставки [ править ]

${\ Displaystyle \, я}$- годовая эффективная процентная ставка , которая представляет собой «истинную» процентную ставку за год . Таким образом, если годовая процентная ставка составляет 12%, то .${\ Displaystyle \, я = 0,12}$

${\displaystyle \,i^{(m)}}$(произносится как «i верхний m») - номинальная процентная ставка, конвертируемая раз в год, и численно равна умноженной на эффективную процентную ставку за одну ^тысячу года. Например, это номинальная процентная ставка, конвертируемая раз в полгода. Если эффективная годовая процентная ставка составляет 12%, то представляет собой эффективную процентную ставку каждые шесть месяцев. Так как у нас есть , и , следовательно . Знак ^"(m)" в символе не является показателем степени${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \,i^{(2)}}$${\displaystyle \,i^{(2)}/2}$${\displaystyle \,(1.0583)^{2}=1.12}$${\displaystyle \,i^{(2)}/2=0.0583}$${\displaystyle \,i^{(2)}=0.1166}$${\displaystyle \,i^{(m)}}$. "Он просто представляет собой количество пересчетов процентов или раз в год. Полугодовое начисление сложных процентов (или преобразование процентов каждые шесть месяцев) часто используется при оценке облигаций (см. Также ценные бумаги с фиксированным доходом ) и аналогичных денежных финансовых обязательств. инструменты, в то время как ипотечные кредиты часто конвертируют проценты ежемесячно. Как и в предыдущем примере , мы получили с тех пор .${\displaystyle \,i=0.12}$${\displaystyle \,i^{(12)}=0.1139}$${\displaystyle \,\left(1+{\frac {0.1139}{12}}\right)^{12}=1.12}$

Эффективная и номинальная процентные ставки не совпадают, поскольку проценты, уплаченные в более ранние периоды оценки, «приносят» проценты в более поздних периодах оценки; это называется сложным процентом . То есть номинальные процентные ставки кредитного процента для инвестора (в качестве альтернативы начисляются или дебетуются проценты должнику) чаще, чем эффективные ставки. Результатом является более частое начисление сложных процентов процентного дохода инвестору (или процентных расходов должника), когда используются номинальные ставки.

Этот символ представляет текущую стоимость 1, которая будет выплачена через год:${\displaystyle \,v}$

${\displaystyle \,v={(1+i)}^{-1}\approx 1-i+i^{2}}$

Этот коэффициент приведенной стоимости или коэффициент дисконтирования используется для определения суммы денег, которую необходимо инвестировать сейчас, чтобы иметь данную сумму денег в будущем. Например, если вам нужно 1 в течение одного года, то сумма денег , которую вы должны инвестировать сейчас: . Если вам нужно 25 в 5 лет сумма денег , которую вы должны инвестировать сейчас: .${\displaystyle \,1\times v}$${\displaystyle \,25\times v^{5}}$

${\displaystyle \,d}$является годовой эффективной ставкой дисконтирования :

${\displaystyle d={\frac {i}{1+i}}\approx i-i^{2}}$

Стоимость также может быть рассчитана из следующих соотношений: Ставка дисконтирования равна сумме процентов, полученных в течение одного года, деленной на остаток денег на конец этого периода. Напротив, годовая эффективная процентная ставка рассчитывается путем деления суммы процентов, полученных в течение одного года, на остаток денежных средств на начало года. Приведенная стоимость (сегодня) платежа в размере 1, который должен быть произведен в будущем, составляет . Это аналогично формуле для будущей (или накопленной) стоимости на годы в будущем для суммы 1, инвестированной сегодня.${\displaystyle \,d}$${\displaystyle \,(1-d)=v={(1+i)}^{-1}}$${\displaystyle \,n}$${\displaystyle \,{(1-d)}^{n}}$${\displaystyle \,{(1+i)}^{n}}$${\displaystyle \,n}$

${\displaystyle \,d^{(m)}}$, номинальная ставка дисконта, конвертируемого раз в год, аналогична . Скидка конвертируется на ^го -ly основе.${\displaystyle \,m}$${\displaystyle \,i^{(m)}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \,\delta }$, сила процента , является предельным значением номинальной процентной ставки при неограниченном увеличении:${\displaystyle m}$

${\displaystyle \,\delta =\lim _{m\to \infty }i^{(m)}}$

В этом случае проценты конвертируются постоянно .

Общее соотношение между , и это:${\displaystyle \,i}$${\displaystyle \,\delta }$${\displaystyle \,d}$

${\displaystyle \,(1+i)=\left(1+{\frac {i^{(m)}}{m}}\right)^{m}=e^{\delta }=\left(1-{\frac {d^{(m)}}{m}}\right)^{-m}=(1-d)^{-1}}$

Их числовое значение можно сравнить следующим образом:

${\displaystyle \,i>i^{(2)}>i^{(3)}>\cdots >\delta >\cdots >d^{(3)}>d^{(2)}>d}$

Таблицы дожития [ править ]

Жизнь таблица (или таблицы смертности) представляет собой математическую конструкцию , которая показывает количество людей , живых (на основе допущения , используемые для построения таблицы) в данном возрасте. В дополнение к количеству жизней, оставшихся в каждом возрасте, таблица смертности обычно предоставляет различные вероятности, связанные с развитием этих значений.

${\displaystyle \,l_{x}}$это количество живых людей по отношению к исходной когорте в возрасте . С возрастом количество живых людей уменьшается.${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,l_{0}}$является отправной точкой для : числа людей, живущих в возрасте 0 лет. Это называется основанием таблицы. Некоторые таблицы смертности начинаются с возраста более 0, и в этом случае основание системы счисления представляет собой количество людей, которые, как предполагается, были живы в самом молодом возрасте в таблице.${\displaystyle \,l_{x}}$

${\displaystyle \omega }$- это предельный возраст таблиц смертности. равен нулю для всех .${\displaystyle \,l_{n}}$${\displaystyle \,n\geq \omega }$

${\displaystyle \,d_{x}}$это количество людей, умерших от возраста к возрасту . можно рассчитать по формуле${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$${\displaystyle \,d_{x}}$${\displaystyle \,d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$

${\displaystyle x}$	${\displaystyle l_{x}}$	${\displaystyle d_{x}}$
0	${\displaystyle l_{0}}$
...	...	...
${\displaystyle x}$	${\displaystyle l_{x}}$	${\displaystyle d_{x}=l_{x}-l_{x+1}}$
${\displaystyle x+1}$	${\displaystyle l_{x+1}}$	${\displaystyle d_{x+1}}$
...	...	...
${\displaystyle \omega -1}$	${\displaystyle l_{\omega -1}}$	${\displaystyle d_{\omega -1}=l_{\omega -1}}$
${\displaystyle \omega }$	0	0

${\displaystyle \,q_{x}}$вероятность смерти между возрастом и возрастом .${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,q_{x}=d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \,p_{x}}$это вероятность того, что в течение жизни доживет до старости .${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}=l_{x+1}/l_{x}}$

Поскольку единственными возможными альтернативами от одного возраста ( ) к другому ( ) являются жизнь и смерть, соотношение между этими двумя вероятностями таково:${\displaystyle x}$${\displaystyle x+1}$

${\displaystyle \,p_{x}+q_{x}=1}$

Эти символы можно также увеличить до нескольких лет, вставив количество лет в нижнем левом углу основного символа.

${\displaystyle \,_{n}d_{x}=d_{x}+d_{x+1}+\cdots +d_{x+n-1}=l_{x}-l_{x+n}}$показывает количество людей, умерших от возраста к возрасту .${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}q_{x}}$вероятность смерти между возрастом и возрастом .${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}q_{x}={}_{n}d_{x}/l_{x}}$

${\displaystyle \,_{n}p_{x}}$это вероятность того, что в течение жизни доживет до старости .${\displaystyle x}$${\displaystyle x+n}$

${\displaystyle \,_{n}p_{x}=l_{x+n}/l_{x}}$

Другой статистический показатель, который можно получить из таблицы смертности, - это ожидаемая продолжительность жизни .

${\displaystyle \,e_{x}}$это кратковременное ожидание жизни для человека, живущего в возрасте . Это ожидаемое количество полных лет, оставшихся жить (вы можете думать об этом как об ожидаемом количестве дней рождения, которые человек будет отмечать).${\displaystyle x}$

${\displaystyle \,e_{x}=\sum _{t=1}^{\infty }\ _{t}p_{x}}$

Таблица дожития обычно показывает количество людей, живущих в определенном возрасте. Если нам нужна информация о доле года, мы должны сделать предположения относительно таблицы, если это еще не подразумевается математической формулой, лежащей в основе таблицы. Распространенным предположением является предположение о равномерном распределении смертей (UDD) для каждого года жизни. В этом предположении выполняется линейная интерполяция между и . т.е.${\displaystyle \,l_{x+t}}$${\displaystyle \,l_{x}}$${\displaystyle \,l_{x+1}}$

${\displaystyle \,l_{x+t}=(1-t)l_{x}+tl_{x+1}}$

Аннуитеты [ править ]

Иллюстрация потоков платежей, представленных актуарной записью для аннуитетов.

Базовый символ текущей стоимости аннуитета - . Затем можно добавить следующие обозначения:${\displaystyle \,a}$

• Обозначение в правом верхнем углу указывает частоту выплат (т. Е. Количество аннуитетных платежей, которые будут производиться в течение каждого года). Отсутствие такой записи означает, что выплаты производятся ежегодно.
• Обозначение в правом нижнем углу указывает возраст человека на момент начала выплаты аннуитета и период, за который выплачивается аннуитет.
• Обозначение непосредственно над основным символом указывает, когда производятся платежи. Две точки обозначают аннуитет, выплаты по которому производятся в начале каждого года («аннуитетный платеж»); горизонтальная линия над символом указывает ренту, выплачиваемую непрерывно («непрерывная рента»); отсутствие отметки над основным символом указывает на аннуитет, выплаты по которому производятся в конце каждого года («немедленный аннуитет»).

Если выплаты по аннуитету не зависят от какого-либо жизненного события, это называется гарантированной аннуитетом . В противном случае, в частности, если выплаты прекращаются после смерти бенефициара , это называется пожизненным аннуитетом .

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}}$(читать a-angle-n в i ) представляет собой приведенную стоимость немедленного аннуитета, которая представляет собой серию единичных платежей в конце каждого года в течение многих лет (другими словами: значение за один период до первого из n платежей ). Это значение получается из:${\displaystyle n}$

${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}=v+v^{2}+\cdots +v^{n}={\frac {1-v^{n}}{i}}}$

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$представляет собой приведенную стоимость аннуитета, которая представляет собой серию единичных платежей в начале каждого года за годы (другими словами: стоимость на момент первого из n платежей). Это значение получается из:${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}=1+v+\cdots +v^{n-1}={\frac {1-v^{n}}{d}}}$

${\displaystyle \,s_{{\overline {n|}}i}}$- значение на момент последней выплаты, значение на один период позже.${\displaystyle {\ddot {s}}_{{\overline {n|}}i}}$

Если этот символ добавлен в верхний правый угол, он представляет текущую стоимость аннуитета, выплаты которого происходят каждую одну долю года в течение периода лет, и каждый платеж составляет одну долю единицы.${\displaystyle \,(m)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{i^{(m)}}}}$, ${\displaystyle {\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}={\frac {1-v^{n}}{d^{(m)}}}}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}}$является предельным значением при неограниченном увеличении. Базовый аннуитет известен как непрерывный аннуитет .${\displaystyle \,a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-v^{n}}{\delta }}}$

Приведенные значения этих аннуитетов можно сравнить следующим образом:

${\displaystyle a_{{\overline {n|}}i}<a_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\overline {a}}_{{\overline {n|}}i}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}^{(m)}<{\ddot {a}}_{{\overline {n|}}i}}$

Чтобы понять отношения, показанные выше, примите во внимание, что денежные потоки, выплаченные в более позднее время, имеют меньшую приведенную стоимость, чем денежные потоки той же общей суммы, которые были выплачены в более раннее время.

• Нижний индекс, который представляет процентную ставку, может быть заменен на или , и часто опускается, если ставка ясно известна из контекста.${\displaystyle i}$${\displaystyle d}$${\displaystyle \delta }$
• При использовании этих символов процентная ставка не обязательно остается постоянной на протяжении всего срока действия аннуитетов. Однако при изменении ставки приведенные выше формулы больше не действуют; конкретные формулы могут быть разработаны для конкретных движений ставки.

Пожизненная рента [ править ]

Пожизненная рента - это аннуитет, выплаты которого зависят от продолжительности жизни аннуитета. Возраст аннуитета является важным фактором при расчете актуарной приведенной стоимости аннуитета.

• Возраст аннуитета указывается в правом нижнем углу символа без отметки «угол».

Например:

${\displaystyle \,a_{65}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы, выплачиваемую в конце каждого года до смерти человеку, которому сейчас 65 лет

${\displaystyle a_{\overline {10|}}}$ указывает аннуитет в размере 1 единицы в год с выплатой в течение 10 лет с выплатами в конце каждого года

${\displaystyle a_{65:{\overline {10|}}}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы в течение 10 лет или до смерти, если раньше, кому-то в возрасте 65 лет

${\displaystyle a_{65:64}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы до более ранней смерти члена семьи или смерти супруга, кому-то в возрасте 65 лет, а супругу 64 года

${\displaystyle a_{\overline {65:64}}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы до более поздней смерти члена семьи или смерти супруга для кого-либо в возрасте 65 лет, а супруга - 64 года.

${\displaystyle a_{65}^{(12)}}$ указывает аннуитет в размере 1 единицы в год, выплачиваемый 12 раз в год (1/12 единицы в месяц) до смерти человеку в возрасте 65 лет.

${\displaystyle {\ddot {a}}_{65}}$ указывает ежегодную ренту в размере 1 единицы, выплачиваемую в начале каждого года до смерти человеку, которому сейчас 65 лет

или вообще:

${\displaystyle a_{x:{\overline {n|}}i}^{(m)}}$, где - возраст получателя ренты, - количество лет выплат (или до смерти, если раньше), - количество выплат в год и - процентная ставка.${\displaystyle x}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle i}$

В интересах простоты обозначение ограничено и, например, не показывает, выплачивается ли аннуитет мужчине или женщине (факт, который обычно определяется из контекста, включая то, основана ли таблица дожития на мужчинах или женщинах). показатели женской смертности).

Актуарную приведенную стоимость условных платежей за пожизненный доход можно рассматривать как математическое ожидание случайной величины приведенной стоимости или рассчитывать с помощью текущей формы платежа.

Страхование жизни [ править ]

Основной символ для страхования жизни - это . Затем можно добавить следующие обозначения:${\displaystyle \,A}$

• Обозначение в правом верхнем углу указывает время выплаты компенсации в случае смерти. Отсутствие обозначения означает, что выплаты производятся в конце года смерти. Цифра в скобках (например ) означает, что пособие выплачивается в конце указанного периода (12 - ежемесячно, 4 - ежеквартально, 2 - раз в полгода, 365 - ежедневно).${\displaystyle A^{(12)}}$
• Обозначение в правом нижнем углу указывает возраст человека, когда начинается страхование жизни.
• Обозначение непосредственно над основным символом указывает на «тип» страхования жизни, подлежащее выплате в конце периода или немедленно. Горизонтальная линия указывает на страхование жизни, подлежащее немедленной выплате, а отсутствие отметки над символом указывает на то, что оплата должна быть произведена в конце указанного периода.

Например:

${\displaystyle \,A_{x}}$ указывает размер страхового возмещения в размере 1, выплачиваемого в конце года смерти.

${\displaystyle \,A_{x}^{(12)}}$ указывает на страхование жизни в размере 1, выплачиваемое в конце месяца смерти.

${\displaystyle \,{\overline {A}}_{x}}$ указывает выплату по страхованию жизни в размере 1, выплачиваемую в (математический) момент смерти.

Премиум [ править ]

Базовый символ премии - или . обычно относится к годовым нетто-премиям, к специальным премиям, как к уникальной премии.${\displaystyle \,P}$${\displaystyle \,\pi }$${\displaystyle \,P}$${\displaystyle \,\pi }$

Сила смертности [ править ]

Среди актуариев сила смертности относится к тому, что экономисты и другие социологи называют уровнем риска, и понимается как мгновенный уровень смертности в определенном возрасте, измеренный в годовом исчислении.

В таблице смертности мы рассматриваем вероятность смерти человека между возрастом ( x ) и возрастом x  + 1; эта вероятность называется q _x . В непрерывном случае мы могли бы также рассматривать условную вероятность того, что человек, достигший возраста ( x ), умрет между возрастом ( x ) и возрастом ( x  + Δ x ), как:

${\displaystyle P_{\Delta x}(x)=P(x<X<x+\Delta \;x\mid \;X>x)={\frac {F_{X}(x+\Delta \;x)-F_{X}(x)}{(1-F_{X}(x))}}}$

где F _X ( x ) - кумулятивная функция распределения непрерывной случайной величины возраста на момент смерти , X. Поскольку Δ x стремится к нулю, то же самое делает и эта вероятность в непрерывном случае. Примерная сила смертности - это вероятность, деленная на Δ x . Если мы устремим Δ x к нулю, мы получим функцию силы смертности , обозначенную как μ ( x ):

${\displaystyle \mu \,(x)={\frac {F'_{X}(x)}{1-F_{X}(x)}}}$

См. Также [ править ]

• Актуарная приведенная стоимость
• Актуарная наука
• Годовая процентная ставка
• Страхование жизни
• Математика финансов

Внешние ссылки [ править ]

• Описание 1949 года в Журнале Института актуариев
• Набор международных актуарных обозначений