Сложные проценты

Эффективные процентные ставки

Влияние получения 20% годовых на первоначальные инвестиции в размере 1000 долларов США при различной частоте начисления сложных процентов

математическая константа $e$
Часть цикла статей о

Характеристики
Натуральный логарифм Экспоненциальная функция
Приложения
сложные проценты Тождество Эйлера Формула Эйлера период полураспада экспоненциальный рост и распад
Определение $e$
доказательство того, что $е$ иррационально представления $е$ Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
Люди
Джон Напье Леонард Эйлер
похожие темы
Гипотеза Шануэля
v т е

Сложные проценты - это добавление процентов к основной сумме ссуды или депозита, или, другими словами, проценты на проценты. Это результат реинвестирования процентов, а не их выплаты, так что проценты в следующем периоде затем начисляются на основную сумму плюс ранее накопленные проценты. Сложные проценты являются стандартом в финансах и экономике .

Сложные проценты противопоставляются простым процентам , где ранее накопленные проценты не добавляются к основной сумме текущего периода, поэтому начисление сложных процентов не производится. Просто годовая процентная ставка является сумма процентов за период, умноженной на число периодов в год. Простая годовая процентная ставка также известна как номинальная процентная ставка (не путать с процентной ставкой, не скорректированной с учетом инфляции , которая носит то же название).

Частота смешивания [ править ]

Компаундирования частота является количество раз в год (или редко, другая единица времени) накопленные проценты выплачиваются или капитализируются (зачисляется на счет), на регулярной основе. Периодичность может быть годовой, полугодовой, ежеквартальной, ежемесячной, еженедельной, ежедневной или непрерывной (или вообще не до срока погашения).

Например, ежемесячная капитализация с процентами, выраженными в виде годовой ставки, означает, что частота начисления сложных процентов равна 12, а периоды времени измеряются в месяцах.

Эффект от рецептуры зависит от:

Номинальная процентная ставка, которая применяется и
Частота интереса усугубляется.

Годовая эквивалентная ставка [ править ]

Невозможно напрямую сравнивать номинальную ставку между кредитами с разной частотой начисления сложных процентов. И номинальная процентная ставка, и частота начисления сложных процентов необходимы для сравнения процентных финансовых инструментов.

Чтобы помочь потребителям более справедливо и легко сравнивать розничные финансовые продукты, многие страны требуют, чтобы финансовые учреждения раскрывали годовую сложную процентную ставку по депозитам или авансам на сопоставимой основе. Процентная ставка на основе годового эквивалента может по-разному именоваться на разных рынках как эффективная годовая процентная ставка (EAPR), годовая эквивалентная ставка (AER), эффективная процентная ставка , эффективная годовая ставка , годовая процентная доходность и другие термины. Эффективная годовая ставка - это общая сумма накопленных процентов, подлежащих выплате до конца года, деленная на основную сумму.

Обычно есть два аспекта правил, определяющих эти ставки:

Ставка - это годовая сложная процентная ставка, и
Могут взиматься другие сборы, кроме процентов. Может быть включен эффект сборов или налогов, взимаемых с покупателя и непосредственно связанных с продуктом. То, какие именно сборы и налоги включены или исключаются, зависит от страны, может быть или не быть сопоставимым в разных юрисдикциях, потому что использование таких терминов может быть непоследовательным и варьироваться в зависимости от местной практики.

Примеры [ править ]

1000 бразильских реалов (BRL) переводятся на бразильский сберегательный счет с ежегодной выплатой 20% годовых. В конце года на счет зачисляется 1000 x 20% = 200 реалов. Затем на второй год счет зарабатывает 1200 x 20% = 240 реалов.
Ставка 1% в месяц эквивалентна простой годовой процентной ставке (номинальной ставке) в 12%, но с учетом эффекта начисления сложных процентов годовая эквивалентная сложная ставка составляет 12,68% годовых (1,01 ¹² - 1).
Проценты по корпоративным облигациям и государственным облигациям обычно выплачиваются дважды в год. Сумма выплачиваемых процентов (каждые шесть месяцев) - это раскрытая процентная ставка, деленная на два и умноженная на основную сумму долга. Годовая начисленная ставка выше указанной ставки.
Канадские ипотечные ссуды обычно дополняются раз в полгода ежемесячными (или более частыми) платежами. ^[1]
Ипотечные кредиты в США используют амортизируемую ссуду , а не сложные проценты. По этим займам график погашения используется для определения того, как применять выплаты в счет основной суммы долга и процентов. Проценты, полученные по этим займам, не добавляются к основной сумме, а выплачиваются ежемесячно по мере начисления платежей.
Иногда математически проще, например, при оценке производных финансовых инструментов , использовать непрерывное начисление процентов , которое является пределом, поскольку период начисления процентов приближается к нулю. Непрерывное увеличение стоимости этих инструментов является естественным следствием исчисления Itō , когда производные финансовые инструменты оцениваются с постоянно увеличивающейся частотой до тех пор, пока не будет достигнут предел, а производные финансовые инструменты будут оцениваться непрерывно.

Дисконтные инструменты [ править ]

У казначейских векселей США и Канады (краткосрочного государственного долга) другое соглашение. Их проценты рассчитываются на основе дисконта как (100 - P ) / Pbnm , ^{[ требуется пояснение ],} где P - уплаченная цена. Вместо того, чтобы нормализовать его до года, проценты пропорциональны количеству дней t : (365 / t ) × 100. (См. Соглашение о подсчете дней ).

Расчет [ править ]

Периодическое начисление сложных процентов [ править ]

Общая накопленная стоимость, включая основную сумму плюс начисленные проценты , определяется по формуле: ^[2]^[3] ${\ displaystyle P}$ ${\ displaystyle I}$

{\ displaystyle P '= P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

куда:

P - исходная основная сумма

P ' - новая основная сумма

r - номинальная годовая процентная ставка

n - частота сложения

t - общий период времени, в течение которого начисляются проценты (выражается с использованием тех же единиц времени, что и r , обычно в годах).

Общая полученная сумма сложных процентов представляет собой окончательное значение за вычетом первоначальной основной суммы: ^[4]

{\ displaystyle I = P \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt} -P}

Пример 1 [ править ]

Предположим, основная сумма в размере 1500 долларов размещена в банке с годовой процентной ставкой 4,3%, начисляемой ежеквартально.
Затем баланс по истечении 6 лет определяется с помощью формулы, приведенной выше, с P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 4 и t = 6:

{\ Displaystyle P '= 1 \, 500 \ times \ left (1 + {\ frac {0,043} {4}} \ right) ^ {4 \ times 6} \ приблизительно 1 \, 938,84}

Таким образом, новая основная сумма через 6 лет составляет примерно 1938,84 доллара. ${\ displaystyle P '}$

Вычитание первоначальной основной суммы из этой суммы дает сумму полученных процентов:

{\ displaystyle 1 \, 938.84-1 \, 500 = 438.84}

Пример 2 [ править ]

Предположим, что одна и та же сумма в размере 1500 долларов накапливается раз в два года (каждые 2 года). (На практике это очень необычно.) Затем баланс через 6 лет определяется с помощью формулы, приведенной выше, с P = 1500, r = 0,043 (4,3%), n = 1/2 (проценты начисляются каждые два года) , и t = 6:

{\ displaystyle P '= 1 \, 500 \ times \ left (1+ (0,043 \ times 2) \ right) ^ {\ frac {6} {2}} \ приблизительно 1 \, 921,24}

Таким образом, остаток через 6 лет составляет примерно 1921,24 доллара.

Сумма полученных процентов может быть рассчитана путем вычитания основной суммы из этой суммы.

{\ displaystyle 1 \, 921.24-1 \, 500 = 421.24}

Проценты меньше по сравнению с предыдущим случаем из-за более низкой частоты начисления сложных процентов.

Функция накопления [ править ]

Поскольку главный P является просто коэффициентом, его часто опускают для простоты и вместо него используют полученную функцию накопления . Функция накопления показывает, до чего вырастет 1 доллар через любой промежуток времени.

Функции накопления для простых и сложных процентов:

{\ Displaystyle а (т) = 1 + рт \,}

{\ displaystyle a (t) = \ left (1 + {\ frac {r} {n}} \ right) ^ {nt}}

Если , то эти две функции одинаковы. ${\ displaystyle nt = 1}$

Непрерывное начисление процентов [ править ]

Поскольку n , количество периодов начисления сложных процентов в год, увеличивается без ограничений, этот случай известен как непрерывное начисление сложных процентов, и в этом случае эффективная годовая ставка приближается к верхнему пределу $e r - 1$ , где $e$ - математическая константа, которая является базой. из натурального логарифма .

Непрерывное сложение можно представить как уменьшение периода сложения бесконечно малым, достигаемое за счет принятия предела, когда n стремится к бесконечности . См. Определения экспоненциальной функции для математического доказательства этого предела. Количество после t периодов непрерывного начисления сложных процентов может быть выражено в терминах начального количества P ₀ как

{\ Displaystyle P (t) = P_ {0} e ^ {rt}.}

Сила интереса [ править ]

Поскольку количество периодов начисления сложных процентов достигает бесконечности при непрерывном начислении сложных процентов, непрерывная ставка сложных процентов называется силой процента . ${\ displaystyle n}$ ${\ displaystyle \ delta}$

В математике, функция накопления часто выражается через е , основание натурального логарифма . Это облегчает использование исчисления для управления формулами процентов.

Для любой непрерывно дифференцируемой функции накопления a (t) интересующая сила или, в более общем смысле, логарифмическая или непрерывно вычисляемая доходность является функцией времени, определяемой следующим образом:

\delta _{t}={\frac {a'(t)}{a(t)}}={\frac {d}{dt}}\ln a(t)

Это логарифмическая производная функции накопления.

Наоборот:

a(t)=e^{\int _{0}^{t}\delta _{s}\,ds}\ ,

(поскольку ; это можно рассматривать как частный случай интеграла продукта ).

a(0)=1

Когда приведенная выше формула записана в формате дифференциального уравнения, тогда интересующая сила - это просто коэффициент величины изменения:

da(t)=\delta _{t}a(t)\,dt\,

Для сложных процентов с постоянной годовой процентной ставкой r сила процента является постоянной, а функция накопления сложных процентов с точки зрения силы процента представляет собой простую степень e :

\delta =\ln(1+r)\,

или же

a(t)=e^{t\delta }\,

Сила процента меньше годовой эффективной процентной ставки, но больше годовой эффективной ставки дисконтирования . Это величина, обратная времени электронного складывания . См. Также обозначение процентных ставок .

Способ моделирования силы инфляции - это формула Стодли: где оцениваются p , r и s . $\delta _{t}=p+{s \over {1+rse^{st}}}$

Составная основа [ править ]

Чтобы преобразовать процентную ставку с одной основы начисления на другую основу начисления процентов, используйте

r_{2}=\left[\left(1+{\frac {r_{1}}{n_{1}}}\right)^{\frac {n_{1}}{n_{2}}}-1\right]{n_{2}},

где r ₁ - процентная ставка с частотой начисления n ₁ , а r ₂ - процентная ставка с частотой начисления n ₂ .

Когда проценты непрерывно начисляются , используйте

\delta =n\ln {\left(1+{\frac {r}{n}}\right)},

где - процентная ставка на основе непрерывного начисления сложных процентов, а r - заявленная процентная ставка с частотой начисления процентов n . $\delta$

Ежемесячные выплаты по амортизированной ссуде или ипотеке [ править ]

Этот раздел требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален.
Поиск источников: «Сложный процент» - новости · газеты · книги · ученый · JSTOR ( июнь 2019 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Проценты по ссудам и ипотеке, которые амортизируются, то есть имеют плавный ежемесячный платеж до тех пор, пока ссуда не будет выплачена, часто начисляются ежемесячно. Формула выплат находится из следующих аргументов.

Точная формула ежемесячного платежа [ править ]

Точная формула ежемесячного платежа ( ): $c$

c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}

или эквивалентно

c={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}

куда:

c

= ежемесячный платеж

P

= главный

r

= ежемесячная процентная ставка

n

= количество периодов оплаты

Это можно получить, посчитав, сколько еще остается выплачивать по истечении каждого месяца.
Принципал, оставшийся после первого месяца, составляет

P_{1}=(1+r)P-c,

то есть начальная сумма плюс проценты за вычетом платежа.
Если вся ссуда будет погашена через месяц, то

P_{1}=0

, так

P={\frac {c}{1+r}}

По прошествии второго месяца так $P_{2}=(1+r)P_{1}-c$

P_{2}=(1+r)((1+r)P-c)-c

Если вся ссуда была погашена через два месяца,

P_{2}=0

, так

P={\frac {c}{1+r}}+{\frac {c}{(1+r)^{2}}}

Это уравнение обобщается на срок n месяцев . Это геометрический ряд, имеющий сумму $P=c\sum _{j=1}^{n}{\frac {1}{(1+r)^{j}}}$

P={\frac {c}{r}}\left(1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}\right)

который можно переставить, чтобы получить

c={\frac {Pr}{1-{\frac {1}{(1+r)^{n}}}}}={\frac {Pr}{1-e^{-n\ln(1+r)}}}

Формула электронной таблицы

В электронных таблицах используется функция PMT () . Синтаксис:

PMT (процентная_ ставка, количество_платежей, настоящее_значение, будущее_значение, [Тип])

См. Excel , Номера Mac , LibreOffice , Open Office , Google Таблицы для получения более подробной информации.

Например, для процентной ставки 6% (0,06 / 12), 25 лет * 12 в год, PV 150 000 долларов США, FV 0, тип 0 дает:

= PMT (0,06 / 12, 25 * 12, -150000, 0, 0)

= 966,45 долл. США

Примерная формула ежемесячного платежа [ править ]

Формулу с точностью до нескольких процентов можно найти, отметив, что для типичных ставок нот США ( и сроков = 10–30 лет) месячная ставка нот мала по сравнению с 1: так, что дает упрощение, так что $I<8\%$ $T$ $r<<1$ $\ln(1+r)\approx r$

c\approx {\frac {Pr}{1-e^{-nr}}}={\frac {P}{n}}{\frac {nr}{1-e^{-nr}}}

что предлагает определить вспомогательные переменные

Y\equiv nr=IT

c_{0}\equiv {\frac {P}{n}}

.

Вот ежемесячный платеж, необходимый для выплаты ссуды без процентов в рассрочку. В терминах этих переменных можно записать приближение $c_{0}$ $n$

c\approx c_{0}{\frac {Y}{1-e^{-Y}}},

Функция четная: $f(Y)\equiv {\frac {Y}{1-e^{-Y}}}-{\frac {Y}{2}}$

f(Y)=f(-Y)

подразумевая, что он может быть расширен до четных степеней . $Y$

Отсюда сразу следует, что можно разложить до четных степеней плюс один член: ${\frac {Y}{1-e^{-Y}}}$ $Y$ $Y/2.$

Тогда будет удобно определить

X={\frac {1}{2}}Y={\frac {1}{2}}IT

так что

c\approx c_{0}{\frac {2X}{1-e^{-2X}}}

который можно расширить:

c\approx c_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}-{\frac {1}{45}}X^{4}+...\right)

где многоточием обозначены члены более высокого порядка по четной степени . Расширение $X$

P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {X^{2}}{3}}\right)

действительно до более 1% при условии . $X\leq 1$

Пример выплаты по ипотеке [ править ]

Для ипотечного кредита в размере 10 000 долларов США сроком на 30 лет и процентной ставкой 4,5%, выплачиваемой ежегодно, мы находим:

T=30

I=0.045

который дает

X={\frac {1}{2}}IT=.675

так что

P\approx P_{0}\left(1+X+{\frac {1}{3}}X^{2}\right)=\$333.33(1+.675+.675^{2}/3)=\$608.96

Точная сумма платежа является завышенной примерно на одну шестую процента. $P=\$608.02$

Инвестирование: ежемесячные депозиты [ править ]

Учитывая основной (начальный) депозит и повторяющийся депозит, общий доход от инвестиций можно рассчитать через сложный процент, полученный за единицу времени. При необходимости проценты по дополнительным единовременным и повторяющимся депозитам также могут быть определены по той же формуле (см. Ниже). ^[5]

P

= Основной депозит

r

= Норма прибыли (ежемесячно)

M

= Ежемесячный депозит и

t

= Время в месяцах

M{\frac {(1+r)^{t}-1}{r}}+P(1+r)^{t}

Если появляются два или более типа вкладов (повторяющиеся или разовые), заработанные сложные проценты могут быть представлены как

M{\frac {(r+1)^{t}-1}{r}}+P(r+1)^{t}+k{\frac {(r+1)^{t-x}-1}{r}}+C(r+1)^{t-y}

где C и k - разовые и повторяющиеся депозиты, соответственно, а x и y - разницы во времени между новым депозитом и любой переменной , моделируемой.

t

История [ править ]

Сложные проценты когда-то считались худшим видом ростовщичества и строго осуждались римским правом и общими законами многих других стран. ^[6]

Флорентийский купец Франческо Бальдуччи Пеголотти в своей книге Pratica della mercatura представил таблицу сложных процентов в размере около 1340. В ней процентная ставка составляет 100 лир по ставкам от 1% до 8% на срок до 20 лет. ^[7]Summa де Арифметика из Лука Пачоли (1494) дает Правило 72 , о том , что найти количество лет для инвестиций в сложных процентов , чтобы удвоить, следует разделить процентную ставку на 72.

Книга Ричарда Витта « Арифметические вопросы» , опубликованная в 1613 году, стала важной вехой в истории сложных процентов. Он был полностью посвящен этому предмету (ранее называвшемуся анатоцизмом ), тогда как предыдущие авторы обычно кратко рассматривали сложные проценты всего в одной главе учебника математики. В книге Витта приведены таблицы, основанные на 10% (тогда максимальная процентная ставка, допустимая по ссудам) и на других ставках для различных целей, таких как оценка стоимости аренды имущества. Витт был лондонским математиком-практиком, и его книга отличается ясностью выражения, глубиной понимания и точностью вычислений, содержащей 124 отработанных примера. ^[8]^[9]

Якоб Бернулли открыл константу в 1683 году, изучая вопрос о сложных процентах. e {\displaystyle e}

В XIX веке и, возможно, раньше персидские купцы использовали слегка модифицированную линейную аппроксимацию Тейлора для формулы ежемесячных платежей, которую можно было легко вычислить в их голове. ^[10]

См. Также [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: Сложные проценты

Поищите интерес к Викисловарь, бесплатный словарь.

Проценты по кредитной карте
Экспоненциальный рост
Уравнение фишера
Интерес
Процентная ставка
Норма прибыли
Норма возврата инвестиций
Реальная стоимость по сравнению с номинальной (экономика)
Кривая доходности

Ссылки [ править ]

^ http://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6 Закон о процентах (Канада), Министерство юстиции . В Законе о процентах указывается, что проценты не подлежат возмещению, если ипотечная ссуда не содержит заявления с указанием начисляемых процентов, «рассчитываемых ежегодно или каждые полгода, а не заранее». На практике банки используют полугодовую ставку.
^ «Формула сложного процента» . qrc.depaul.edu . Проверено 5 декабря 2018 .
^ Персонал, Investopedia (2003-11-19). «Непрерывное компаундирование» . Инвестопедия . Проверено 5 декабря 2018 .
^ «Формула сложного процента - объяснение» . www.thecalculatorsite.com . Проверено 5 декабря 2018 .
^ https://www.wavesofpaper.com/finance/Using-Compound-Interest-to-Optimize-Investment-Spread
^ Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии : Chambers, Ephraim , ed. (1728). Cyclopædia, или Универсальный словарь искусств и наук (1-е изд.). Джеймс и Джон Кнаптон и др. Отсутствует или пусто |title=( справка )
^ Эванс, Аллан (1936). Франческо Бальдуччи Пеголотти, La Pratica della Mercatura . Кембридж, Массачусетс. С. 301–2.
Перейти ↑ Lewin, CG (1970). «Ранняя книга о сложных процентах - арифметические вопросы Ричарда Витта». Журнал института актуариев . 96 (1): 121–132. DOI : 10.1017 / S002026810001636X .
Перейти ↑ Lewin, CG (1981). «Сложный процент в семнадцатом веке». Журнал института актуариев . 108 (3): 423–442. DOI : 10.1017 / S0020268100040865 .
^ Milanfar, Пеймана (1996). «Персидский народный метод определения интереса». Математический журнал . 69 (5): 376. DOI : 10,1080 / 0025570X.1996.11996479 .

[1] ttp://laws.justice.gc.ca/en/showdoc/cs/I-15/bo-ga:s_6//en#anchorbo-ga:s_6 Закон о процентах (Канада), Министерство юстиции . В Законе о процентах указывается, что проценты не подлежат возмещению, если ипотечная ссуда не содержит заявления с указанием начисляемых процентов, «рассчитываемых ежегодно или каждые полгода, а не заранее». На практике банки используют полугодовую ставку.

[2] «Формула сложного процента» . qrc.depaul.edu . Проверено 5 декабря 2018 .

[3] Персонал, Investopedia (2003-11-19). «Непрерывное компаундирование» . Инвестопедия . Проверено 5 декабря 2018 .

[4] «Формула сложного процента - объяснение» . www.thecalculatorsite.com . Проверено 5 декабря 2018 .

[5] ttps://www.wavesofpaper.com/finance/Using-Compound-Interest-to-Optimize-Investment-Spread

[r1728-6] Эта статья включает текст из публикации, которая сейчас находится в общественном достоянии : Chambers, Ephraim , ed. (1728). Cyclopædia, или Универсальный словарь искусств и наук (1-е изд.). Джеймс и Джон Кнаптон и др. Отсутствует или пусто |title=( справка )

[7] Эванс, Аллан (1936). Франческо Бальдуччи Пеголотти, La Pratica della Mercatura . Кембридж, Массачусетс. С. 301–2.

[8] Перейти ↑ Lewin, CG (1970). «Ранняя книга о сложных процентах - арифметические вопросы Ричарда Витта». Журнал института актуариев . 96 (1): 121–132. DOI : 10.1017 / S002026810001636X .

[9] Перейти ↑ Lewin, CG (1981). «Сложный процент в семнадцатом веке». Журнал института актуариев . 108 (3): 423–442. DOI : 10.1017 / S0020268100040865 .

[10] Milanfar, Пеймана (1996). «Персидский народный метод определения интереса». Математический журнал . 69 (5): 376. DOI : 10,1080 / 0025570X.1996.11996479 .