Список представительств е

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Список представлений e»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( декабрь 2007 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Часть цикла статей о
математическая константа e
Характеристики
Натуральный логарифм Экспоненциальная функция
Приложения
сложные проценты Тождество Эйлера Формула Эйлера период полураспада экспоненциальный рост и распад
Определение e
доказательство того, что е иррационально представления е Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
Люди
Джон Напье Леонард Эйлер
похожие темы
Гипотеза Шануэля
v т е

Математическая константа е может быть представлена в различных формах , как вещественное число . Поскольку e - иррациональное число (см. Доказательство того, что e иррационально ), оно не может быть представлено как частное двух целых чисел , но может быть представлено как непрерывная дробь . Используя исчисление , e можно также представить как бесконечный ряд , бесконечное произведение или другие типы пределов последовательности .

В виде непрерывной дроби [ править ]

Эйлер доказал, что число e представляется в виде бесконечной простой цепной дроби ^[1] (последовательность A003417 в OEIS ):

${\ displaystyle e = [2; 1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1, \ ldots, 1,2n, 1, \ ldots].}$

Его сходимость можно утроить ^{[ требуется пояснение ] [ необходима цитата ],} если разрешить только одно дробное число:

${\displaystyle e=[1;1/2,12,5,28,9,44,13,60,17,\ldots ,4(4n-1),4n+1,\ldots ].}$

Вот некоторые бесконечные обобщенные разложения числа e в цепную дробь . Второй порождается из первого простым преобразованием эквивалентности .

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{5+\ddots }}}}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+\ddots \,}}}}}}}}}}}$

${\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+\ddots \,}}}}}}}}}}}$

Последнее, эквивалентно [1; 0.5, 12, 5, 28, 9, ...], является частным случаем общей формулы для экспоненциальной функции :

${\displaystyle e^{x/y}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}}$

Как бесконечная серия [ править ]

Число e можно выразить как сумму следующего бесконечного ряда :

${\displaystyle e^{x}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}}$для любого действительного числа x .

В частном случае, когда x  = 1 или −1, мы имеем:

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}$, ^[2] и

${\displaystyle e^{-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}$

Другие серии включают следующее:

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}\right]^{-1}}$ ^[3]

${\displaystyle e={\frac {1}{2}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}$

${\displaystyle e=2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+1)^{2}+1}{(3k+1)!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(3k+2)^{2}+1}{(3k+2)!}}}$

${\displaystyle e=\left[\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}\right]^{2}}$

${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B_{n}(k!)}}}$где - n- е число Белла .${\displaystyle B_{n}}$

Рассмотрение того, как поставить верхнюю границу на e, приводит к следующему убывающему ряду:

${\displaystyle e=3-\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {1}{k!(k-1)k}}=3-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{36}}-{\frac {1}{288}}-{\frac {1}{2400}}-{\frac {1}{21600}}-{\frac {1}{211680}}-{\frac {1}{2257920}}-\cdots }$

что дает по крайней мере одну правильную (или округленную) цифру на термин. То есть, если 1 ≤ n , то

${\displaystyle e<3-\sum _{k=2}^{n}{\frac {1}{k!(k-1)k}}<e+0.6\cdot 10^{1-n}\,.}$

В более общем смысле, если x отсутствует в {2, 3, 4, 5, ...}, то

${\displaystyle e^{x}={\frac {2+x}{2-x}}+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {-x^{k+1}}{k!(k-x)(k+1-x)}}\,.}$

Как бесконечный продукт [ править ]

Число е также дается несколько бесконечных продуктов форм , включая Pippenger продукта «S

${\displaystyle e=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\cdots }$

и продукт Гильеры ^{[4] [5]}

${\displaystyle e=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}$

где n- й множитель - это корень n- й степени от произведения

${\displaystyle \prod _{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}$

а также бесконечный продукт

${\displaystyle e={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}$

В более общем смысле, если 1 < B < e ² (который включает B = 2, 3, 4, 5, 6 или 7), то

${\displaystyle e={\frac {B\cdot B^{(\ln(B)-1)^{2}}\cdots }{B^{\ln(B)-1}\cdot B^{(\ln(B)-1)^{3}}\cdots }}.}$

Как предел последовательности [ править ]

Число e равно пределу нескольких бесконечных последовательностей :

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}$ а также

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}$(оба по формуле Стирлинга ).

Симметричный предел, ^[6]

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right]}$

может быть получено манипулированием базовым определением предела e .

Следующие два определения являются прямыми следствиями теоремы о простых числах ^[7].

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }(p_{n}\#)^{1/p_{n}}}$

где - n- е простое число, а - приморское число n- го простого числа.${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle p_{n}\#}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}$

где - функция счета простых чисел .${\displaystyle \pi (n)}$

Также:

${\displaystyle e^{x}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}$

В частном случае результатом является известное утверждение:${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$

Отношение факториала , что рассчитывает все перестановки упорядоченного множества S с мощностью , а психоз функция , которая подсчитывает количество перестановок , где не появляется элемент в исходном положении, не имеет тенденцию , как растет.${\displaystyle n!}$ ${\displaystyle n}$${\displaystyle !n}$${\displaystyle e}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n!}{!n}}.}$

В тригонометрии [ править ]

Тригонометрически е можно записать через сумму двух гиперболических функций :

${\displaystyle e^{x}=\sinh(x)+\cosh(x),}$

при x = 1 .

Заметки [ править ]