Часть цикла статей о |
математическая константа e |
---|
Характеристики |
Приложения |
Определение e |
Люди |
похожие темы |
Число е был введен Якобом Бернулли в 1683 году более чем полвека спустя, Эйлер , который был учеником младшего брата Якоба Иоганна , доказал , что е является иррациональным ; то есть, это не может быть выражено как частное двух целых чисел.
Доказательство Эйлера [ править ]
Эйлер написал первое доказательство того, что е иррационально, в 1737 году (но текст был опубликован только семь лет спустя). [1] [2] [3] Он вычислил представление числа e в виде простой цепной дроби , которая есть
Поскольку эта цепная дробь бесконечна и каждое рациональное число имеет завершающуюся цепную дробь, e иррационально. Известно краткое доказательство предыдущего равенства. [4] [5] Поскольку простая цепная дробь e не является периодической , это также доказывает, что e не является корнем квадратичного многочлена с рациональными коэффициентами; в частности, e 2 иррационально.
Доказательство Фурье [ править ]
Наиболее известное доказательство Джозефа Фурье «сек доказательство от противного , [6] , который основан на равенстве
Первоначально предполагается, что e - рациональное число видаа/б. Обратите внимание, что b не может быть равно 1, поскольку e не является целым числом. Используя приведенное выше равенство, можно показать, что e находится строго между 2 и 3:
Затем мы анализируем увеличенную разность x ряда, представляющего e, и ее строго меньшую b- ю частичную сумму, которая приближается к предельному значению e . При выборе коэффициента увеличительного быть факториала из Ь , фракцияа/би b- я частичная сумма превращается в целые числа , следовательно, x должно быть положительным целым числом. Однако быстрая сходимость представления ряда означает, что увеличенная ошибка приближения x все еще строго меньше 1. Из этого противоречия мы заключаем, что e иррационально.
Предположим, что e - рациональное число . Тогда существуют натуральные числа a и b такие, что e =а/б. Определите число
Чтобы увидеть, что если e рационально, то x является целым числом, подставьте e =а/б в это определение, чтобы получить
Первый член является целым числом, и каждая дробь в сумме на самом деле является целым числом, потому что n ≤ b для каждого члена. Следовательно, x - целое число.
Теперь докажем, что 0 < x <1 . Во-первых, чтобы доказать, что x строго положительно, мы вставляем приведенное выше представление числа e в виде ряда в определение x и получаем
потому что все условия строго положительные.
Теперь докажем, что x <1. Для всех членов с n ≥ b + 1 справедлива оценка сверху
Это неравенство строгое для любого n ≥ b + 2. Изменив индекс суммирования на k = n - b и используя формулу для бесконечного геометрического ряда , получим
так как b ≥ 2. Поскольку нет целого числа строго между 0 и 1, мы пришли к противоречию, и поэтому e иррационально, QED
Альтернативные доказательства [ править ]
Другое доказательство [7] может быть получено из предыдущего, если отметить, что
и это неравенство эквивалентно утверждению, что bx <1. Это, конечно, невозможно, поскольку b и x - натуральные числа.
Еще одно доказательство [8] [9] может быть получено из того факта, что
Определите следующее:
Потом:
что подразумевает:
для любого целого числа
Обратите внимание, что это всегда целое число. Предположим , рационально, поэтому, где совпадают с простыми числами, и можно соответствующим образом выбрать, чтобы это было целое число, т.е. Следовательно, для этого выбора разница между и будет целым числом. Но из-за указанного неравенства это невозможно. Итак, это иррационально. Это означает, что это иррационально.
Обобщения [ править ]
В 1840 году Лиувилль опубликовал доказательство того факта, что e 2 иррационально [10], за которым следует доказательство того, что e 2 не является корнем многочлена второй степени с рациональными коэффициентами. [11] Последний факт означает, что e 4 иррационально. Его доказательства аналогичны доказательству Фурье иррациональности e . В 1891 году Гурвиц объяснил, как можно доказать, используя те же идеи, что е не является корнем многочлена третьей степени с рациональными коэффициентами. [12] В частности, e 3 иррационально.
Вообще говоря, e q иррационально для любого ненулевого рационального q . [13]
См. Также [ править ]
- Характеристики экспоненциальной функции
- Трансцендентное число , включая доказательство того, что е трансцендентно
- Теорема Линдеманна – Вейерштрасса
Ссылки [ править ]
- ^ Эйлер, Леонард (1744). "De Fractionibuscontinis dissertatio" [Диссертация о непрерывных дробях] (PDF) . Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae . 9 : 98–137.
- ^ Эйлер, Леонард (1985). «Очерк непрерывных дробей» . Математическая теория систем . 18 : 295–398. DOI : 10.1007 / bf01699475 . ЛВП : 1811/32133 .
- ^ Сандифер, К. Эдвард (2007). «Глава 32: Кто доказал, что е иррационально?». Как это сделал Эйлер . Математическая ассоциация Америки . С. 185–190. ISBN 978-0-88385-563-8. LCCN 2007927658 .
- ^ Краткое доказательство простого разложения на непрерывную дробь е
- ^ Кон, Генри (2006). «Краткое доказательство простого разложения е в цепную дробь ». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки . 113 (1): 57–62. arXiv : math / 0601660 . DOI : 10.2307 / 27641837 . JSTOR 27641837 .
- ^ де Стенвиль, Жано (1815). Mélanges d'Analyse Algébrique et de Géométrie [ Смесь алгебраического анализа и геометрии ]. Veuve Courcier. С. 340–341.
- ^ MacDivitt, ARG; Янагисава, Юкио (1987), «Элементарное доказательство того, что е иррационально», The Mathematical Gazette , Лондон: Математическая ассоциация , 71 (457): 217, doi : 10.2307 / 3616765 , JSTOR 3616765
- ^ Penesi, LL (1953). «Элементарное доказательство того, что е иррационально». Американский математический ежемесячник . Математическая ассоциация Америки . 60 (7): 474. DOI : 10,2307 / 2308411 . JSTOR 2308411 .
- ^ Апостол, Т. (1974). Математический анализ (2-е изд., Серия Аддисона-Уэсли по математике). Ридинг, Массачусетс: Эддисон-Уэсли.
- ^ Лиувилль, Джозеф (1840). «Sur l'irrationalité du nombre e = 2,718…». Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 (на французском языке). 5 : 192.
- ^ Лиувилль, Джозеф (1840). "Добавление à la note sur l'irrationnalité du nombre e ". Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1 (на французском языке). 5 : 193–194.
- ^ Гурвиц, Адольф (1933) [1891]. "Über die Kettenbruchentwicklung der Zahl e ". Mathematische Werke (на немецком языке). 2 . Базель: Биркхойзер . С. 129–133.
- ^ Aigner, Мартин ; Зиглер, Гюнтер М. (1998), Доказательства из КНИГИ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр. 27–36, DOI : 10.1007 / 978-3-642-00856-6 , ISBN 978-3-642-00855-9.