Модель краткосрочной ставки в контексте производных процентных ставок - это математическая модель, которая описывает будущую эволюцию процентных ставок путем описания будущей эволюции краткосрочной ставки , обычно записываемой в виде.
Короткая ставка
В модели короткой ставки в качестве переменной стохастического состояния принимается мгновенная спотовая ставка . [1] Короткая ставка,, то есть процентная ставка ( непрерывно начисляемая , рассчитанная в годовом исчислении), по которой предприятие может занимать деньги на бесконечно короткий период времени.. Указание текущей краткосрочной ставки не определяет всю кривую доходности . Однако аргументы без арбитража показывают, что при некоторых довольно мягких технических условиях, если мы смоделируем эволюциюкак случайный процесс с нейтральной по отношению к риску мерой , то цена во время из нулевой купонной облигации с погашением в момент времени с выплатой 1 дается выражением
где это естественная фильтрация процесса. Процентные ставки, подразумеваемые облигациями с нулевым купоном, образуют кривую доходности, или, точнее, нулевую кривую. Таким образом, при указании модели для краткосрочной ставки указываются будущие цены облигаций. Это означает, что мгновенные форвардные курсы также задаются по обычной формуле
Частные краткосрочные модели
В этом разделе представляет собой стандартное броуновское движение с нейтральной по отношению к риску вероятностной мерой иего дифференциал . Если модель логнормальна , переменнаяпредполагается, что он следует процессу Орнштейна – Уленбека и предполагается следовать .
Однофакторные краткосрочные модели
Ниже приведены однофакторные модели, в которых единственный стохастический фактор - короткая ставка - определяет будущую эволюцию всех процентных ставок. За исключением моделей Рендлемана – Барттера и Хо – Ли, которые не учитывают среднее изменение процентных ставок, эти модели можно рассматривать как частные случаи процессов Орнштейна – Уленбека. Модели Васичека, Рендлемана – Барттера и CIR имеют только конечное число свободных параметров, поэтому невозможно указать значения этих параметров таким образом, чтобы модель совпадала с наблюдаемыми рыночными ценами («калибровка»). Эта проблема преодолевается, позволяя параметрам детерминированно изменяться во времени. [2] [3] Таким образом, модели Хо-Ли и последующие модели могут быть откалиброваны в соответствии с рыночными данными, что означает, что они могут точно возвращать цену облигаций, составляющую кривую доходности. Реализация обычно осуществляется с помощью ( биномиального ) дерева коротких скоростей [4] или моделирования; см. Решетчатая модель (финансы) § Производные инструменты по процентной ставке и методы Монте-Карло для оценки опционов .
- Модель Мертона (1973) объясняет короткую скорость как: где является одномерным броуновским движением относительно меры точечного мартингала . [5]
- Модель Васичека (1977) моделирует короткую ставку как; это часто пишется. [6]
- Модель Рендлмана – Барттера (1980) объясняет короткую скорость как. [7]
- Модель Кокса – Ингерсолла – Росса (1985) предполагает, часто пишут . ВФактор исключает (как правило) возможность отрицательных процентных ставок. [8]
- Модель Хо – Ли (1986) моделирует короткий курс как. [9]
- Модель Халла – Уайта (1990), также называемая расширенной моделью Васичека, утверждает. Во многих презентациях один или несколько параметров а также не зависят от времени. Модель также может применяться как логнормальная. Реализация на основе решеток обычно трехчлена . [10] [11]
- Модель Блэка – Дермана – Тоя (1990 г.) для зависящей от времени волатильности краткосрочных ставок и иначе; модель логнормальна. [12]
- Модель Блэка-Karasinski (1991), который является логарифмическая, имеет. [13] Модель можно рассматривать как логнормальное приложение Халла – Уайта; [14] его реализация на основе решетки также является трехчленной (биномиальной, требующей различных временных шагов). [4]
- Модель Калотая – Вильямса – Фабоцци (1993) имеет короткую оценку, поскольку, логнормальный аналог модели Хо – Ли и частный случай модели Блэка – Дермана – Тоя. [15] Этот подход фактически аналогичен «исходной модели Salomon Brothers » (1987) [16], а также логнормальному варианту Хо-Ли. [17]
Многофакторные краткосрочные модели
Помимо вышеуказанных однофакторных моделей, существуют также многофакторные модели короткой ставки, среди которых наиболее известны двухфакторная модель Лонгстаффа и Шварца и трехфакторная модель Чена (также называемая «стохастической средней и стохастической моделью волатильности»). ). Обратите внимание, что для целей управления рисками, «чтобы создать реалистичное моделирование процентных ставок », эти многофакторные модели краткосрочной ставки иногда предпочтительнее однофакторных моделей, поскольку они создают сценарии, которые в целом лучше «согласуются с фактическими». движение кривой доходности ". [18]
- Модель Лонгстаффа-Шварца (1992) предполагает, что краткосрочная динамика курса определяется выражением
- где короткая ставка определяется как
- [19]
- Модель Чена (1996), которая имеет стохастическое среднее значение и волатильность короткой ставки, задается следующим образом:
- [20]
Другие модели процентных ставок
Другой важной основой для моделирования процентных ставок является модель Хита – Джарроу – Мортона (HJM). В отличие от описанных выше моделей с короткими ставками, этот класс моделей, как правило, не является марковским. Это делает общие модели HJM трудноразрешимыми с точки зрения вычислений для большинства целей. Большим преимуществом моделей HJM является то, что они дают аналитическое описание всей кривой доходности, а не только краткосрочной ставки. Для некоторых целей (например, для оценки ценных бумаг с ипотечным покрытием) это может быть большим упрощением. Модели Кокса – Ингерсолла – Росса и Халла – Уайта в одном или нескольких измерениях могут быть напрямую выражены в рамках HJM. Другие модели с коротким курсом не имеют простого двойного представления HJM.
Структура HJM с множеством источников случайности, включая модель Брейса – Гатарека – Мусиела и рыночные модели , часто предпочтительнее для моделей более высокого измерения.
Модели , основанные на Fischer Black «s скорости тени используются , когда процентные ставки приближаются к нулю нижней границы .
Смотрите также
- Отнесение с фиксированным доходом
Рекомендации
- ↑ Краткосрочные модели , профессор Эндрю Лесневски, Нью-Йоркский университет.
- ^ Обзор процентных ставок , опционных моделей Архивировано 2012-04-06 в Wayback Machine , профессор Фаршид Джеймшидиан , Университет Твенте
- ↑ Непрерывные модели с короткой скоростью, архивированные 23 января 2012 г.в Wayback Machine , профессор Мартин Хо, Колумбийский университет
- ^ a b Биномиальные модели структуры терминов , Математика в образовании и исследованиях , Vol. 7 № 3 1998. Саймон Беннинга и Цви Винер.
- ^ Мертон , Роберт С. (1973). «Теория рационального ценообразования». Белл Журнал экономики и менеджмента . 4 (1): 141–183. DOI : 10.2307 / 3003143 . hdl : 1721,1 / 49331 . JSTOR 3003143 .
- ^ Васичек, Олдрих (1977). «Равновесная характеристика временной структуры». Журнал финансовой экономики . 5 (2): 177–188. CiteSeerX 10.1.1.456.1407 . DOI : 10.1016 / 0304-405X (77) 90016-2 .
- ^ Rendleman, R .; Барттер, Б. (1980). «Стоимость опционов на долговые ценные бумаги». Журнал финансового и количественного анализа . 15 (1): 11–24. DOI : 10.2307 / 2979016 . JSTOR 2979016 .
- ^ Кокс, Дж. К. , Дж. Э. Ингерсолл и С. А. Росс (1985). «Теория временной структуры процентных ставок». Econometrica . 53 (2): 385–407. DOI : 10.2307 / 1911242 . JSTOR 1911242 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- ^ TSY Ho и SB Lee (1986). «Изменения срочной структуры и условные требования по процентным ставкам». Журнал финансов . 41 (5): 1011–1029. DOI : 10.2307 / 2328161 . JSTOR 2328161 .
- ^ Джон Халл и Алан Уайт (1990). «Ценообразование процентных производных ценных бумаг» . Обзор финансовых исследований . 3 (4): 573–592. DOI : 10.1093 / RFS / 3.4.573 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Маркус Лейппольд и Цви Винер (2004). «Эффективная калибровка трехчленных деревьев для однофакторных моделей с короткой ставкой» (PDF) . Обзор исследований деривативов . 7 (3): 213–239. CiteSeerX 10.1.1.203.4729 . DOI : 10.1007 / s11147-004-4810-8 .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Черный , F .; Дерман, Э .; Той, W. (1990). «Однофакторная модель процентных ставок и ее применение к опционам на казначейские облигации» (PDF) . Журнал финансовых аналитиков : 24–32. Архивировано из оригинального (PDF) 10 сентября 2008 года.
- ^ Черный, F .; Карасинский, П. (1991). «Цены на облигации и опционы, когда короткие ставки логнормальны» . Журнал финансовых аналитиков . 47 (4): 52–59. DOI : 10.2469 / faj.v47.n4.52 .
- ↑ Short Rate Models [ постоянная мертвая ссылка ] , профессор Сер-Хуанг Пун, Манчестерская школа бизнеса
- ^ Калотай, Эндрю Дж .; Уильямс, Джордж О.; Фабоцци, Фрэнк Дж. (1993). «Модель оценки облигаций и встроенных опционов». Журнал финансовых аналитиков . 49 (3): 35–46. DOI : 10.2469 / faj.v49.n3.35 .
- ^ Коппраш, Роберт (1987). «Эффективная дюрация облигаций с правом отзыва: модель ценообразования опционов на основе срочной структуры компании Salomon Brothers». Компания Salomon Bros. OCLC 16187107 . Цитировать журнал требует
|journal=
( помощь ) - ^ См. Стр. 218 в Такман, Брюс и Анхель Серрат (2011). Ценные бумаги с фиксированным доходом: инструменты для сегодняшних рынков . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0470891698.
- ^ Подводные камни в управлении активами и пассивами: модели однофакторной структуры срока , доктор Дональд Р. ван Девентер, Kamakura Corporation
- ^ Longstaff, FA и Schwartz, ES (1992). «Волатильность процентной ставки и временная структура: двухфакторная модель общего равновесия» (PDF) . Журнал финансов . 47 (4): 1259–82. DOI : 10.1111 / j.1540-6261.1992.tb04657.x .CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Лин Чен (1996). "Среднее стохастическое и стохастическая волатильность - трехфакторная модель временной структуры процентных ставок и ее применение к ценообразованию производных процентных инструментов". Финансовые рынки, институты и инструменты . 5 : 1–88.
дальнейшее чтение
- Мартин Бакстер и Эндрю Ренни (1996). Финансовый расчет . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-55289-9.
- Дамиано Бриго; Фабио Меркурио (2001). Модели процентных ставок - теория и практика с улыбкой, инфляции и кредита (2-е изд., 2006 г.). Springer Verlag. ISBN 978-3-540-22149-4.
- Джеральд Буетоу и Джеймс Сохацки (2001). Модели с терминологической структурой, использующие биномиальные деревья . Исследовательский фонд AIMR ( Институт CFA ). ISBN 978-0-943205-53-3.
- Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок - Введение . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-11894-9.
- Эндрю Дж. Г. Кэрнс (2004). Модели процентных ставок ; вход в Энциклопедия актуарной науки . Джон Уайли и сыновья . 2004. ISBN. 978-0-470-84676-6.
- KC Чан, Дж. Эндрю Кароли, Фрэнсис Лонгстафф и Энтони Сандерс (1992). Эмпирическое сравнение альтернативных моделей краткосрочной процентной ставки (PDF) . Журнал финансов , Vol. XLVII, № 3 июля 1992 г.CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
- Лин Чен (1996). Динамика процентных ставок, ценообразование производных финансовых инструментов и управление рисками . Springer . ISBN 978-3-540-60814-1.
- Раджна Гибсон, Франсуа-Серж Лабитан и Дени Талай (1999). Моделирование временной структуры процентных ставок: обзор . Журнал рисков, 1 (3): 37–62, 1999.
- Лейн Хьюстон (2003). Прошлое, настоящее и будущее моделирования срочной структуры ; вход в Питер Филд (2003). Современное управление рисками . Книги рисков. ISBN 9781906348304.
- Джессика Джеймс и Ник Уэббер (2000). Моделирование процентной ставки . Wiley Finance . ISBN 978-0-471-97523-6.
- Роберт Джарроу (2002). Моделирование ценных бумаг с фиксированным доходом и опционов процентной ставки (2-е изд.) . Стэнфордская экономика и финансы. ISBN 978-0-8047-4438-6.
- Роберт Джарроу (2009). «Временная структура процентных ставок» . Ежегодный обзор финансовой экономики . 1 (1): 69–96. DOI : 10.1146 / annurev.financial.050808.114513 .
- ФК Парк (2004). «Внедрение моделей процентных ставок: практическое руководство» (PDF) . Публикация исследования CMPR . Архивировано из оригинального (PDF) 16 августа 2010 года.
- Риккардо Ребонато (2002). Современное ценообразование процентных деривативов . Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0-691-08973-7.
- Риккардо Ребонато (2003). «Модели временной структуры: обзор» (PDF) . Рабочий документ Центра количественных исследований Королевского банка Шотландии .