Случайные процессы Гаусса – Маркова (названные в честь Карла Фридриха Гаусса и Андрея Маркова ) - это случайные процессы, которые удовлетворяют требованиям как для гауссовских, так и для марковских процессов . [1] [2] Стационарный процесс Гаусса – Маркова уникален [ ссылка на источник ] с точностью до масштабирования; такой процесс также известен как процесс Орнштейна – Уленбека .
Основные свойства
Каждый процесс Гаусса – Маркова X ( t ) обладает тремя следующими свойствами: [3]
- Если h ( t ) - ненулевая скалярная функция от t , то Z ( t ) = h ( t ) X ( t ) также является процессом Гаусса – Маркова.
- Если f ( t ) - неубывающая скалярная функция от t , то Z ( t ) = X ( f ( t )) также является процессом Гаусса – Маркова.
- Если процесс невырожденный и непрерывный в среднем квадратическом, то существуют ненулевая скалярная функция h ( t ) и строго возрастающая скалярная функция f ( t ) такие, что X ( t ) = h ( t ) W ( f ( t )), где W ( t ) - стандартный винеровский процесс .
Свойство (3) означает, что любой невырожденный среднеквадратичный непрерывный процесс Гаусса – Маркова может быть синтезирован из стандартного винеровского процесса (SWP).
Прочие свойства
Стационарный процесс Гаусса – Маркова с дисперсией. и постоянная времени обладает следующими свойствами.
- Экспоненциальная автокорреляция :
- Функция спектральной плотности мощности (СПМ), имеющая ту же форму, что и распределение Коши :
- (Обратите внимание, что распределение Коши и этот спектр различаются масштабными факторами.)
- Вышеупомянутое дает следующую спектральную факторизацию:
- что важно в винеровской фильтрации и других областях.
Из всего вышеперечисленного также есть несколько банальных исключений. [ требуется разъяснение ]
Рекомендации
- ^ CE Rasmussen & CKI Williams (2006). Гауссовские процессы для машинного обучения (PDF) . MIT Press. п. Приложение Б. ISBN 026218253X.
- ^ Ламон, Пьер (2008). Отслеживание и управление трехмерным положением для вездеходных роботов . Springer. стр. 93 -95. ISBN 978-3-540-78286-5.
- ^ CB Mehr и JA McFadden. Некоторые свойства гауссовских процессов и времена их первого прохождения. Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая), Vol. 27, No. 3 (1965), стр. 505-522