Квазигеострофические уравнения

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Апрель 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В то время как геострофическое движение относится к ветру , который бы в результате точного баланса между силой Кориолиса и горизонтальными силами градиента давления , ^[1] движение квазигеострофичности (QG) относится к потокам , где сила и давление градиента сила Кориолиса является почти в равновесии , но инерция тоже имеет значение. ^[2]

Происхождение [ править ]

Атмосферные и океанографические потоки имеют горизонтальный масштаб длины, который очень велик по сравнению с их вертикальным масштабом длины, и поэтому их можно описать с помощью уравнений мелкой воды . Число Россби - это безразмерное число, которое характеризует силу инерции по сравнению с силой Кориолиса. Квазигеострофические уравнения являются приближениями к уравнениям мелкой воды в пределе малого числа Россби, так что силы инерции на порядок меньше сил Кориолиса и давления. Если число Россби равно нулю, мы восстанавливаем геострофический поток.

Квазигеострофические уравнения впервые были сформулированы Джулем Чарни . ^[3]

Вывод однослойных уравнений QG [ править ]

В декартовых координатах компоненты геострофического ветра равны

${\ displaystyle {f_ {0}} {v_ {g}} = {\ partial \ Phi \ over \ partial x}}$ (1а)

${\ displaystyle {f_ {0}} {u_ {g}} = - {\ partial \ Phi \ over \ partial y}}$ (1b)

где - геопотенциал .${\ displaystyle {\ Phi}}$

Геострофическая завихренность

${\ displaystyle {\ zeta _ {g}} = {{\ hat {\ mathbf {k}}} \ cdot \ nabla \ times \ mathbf {V_ {g}}}}$

поэтому можно выразить через геопотенциал как

${\displaystyle {\zeta _{g}}={{\partial v_{g} \over \partial x}-{\partial u_{g} \over \partial y}={1 \over f_{0}}\left({{\partial ^{2}\Phi \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}\Phi \over \partial y^{2}}}\right)={1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}}$ (2)

Уравнение (2) можно использовать для поиска из известного поля . В качестве альтернативы его также можно использовать для определения из известного распределения путем обращения оператора Лапласа .${\displaystyle {\zeta _{g}(x,y)}}$${\displaystyle {\Phi (x,y)}}$${\displaystyle {\Phi }}$${\displaystyle {\zeta _{g}}}$

Уравнение квазигеострофической завихренности может быть получено из компонентов и уравнения квазигеострофического момента, которое затем может быть получено из уравнения горизонтального импульса${\displaystyle {x}}$${\displaystyle {y}}$

${\displaystyle {D\mathbf {V} \over Dt}+f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} =-\nabla \Phi }$ (3)

Материал производной в (3) определяется

${\displaystyle {{D \over Dt}={\left({\partial \over \partial t}\right)_{p}}+{\left({\mathbf {V} \cdot \nabla }\right)_{p}}+{\omega {\partial \over \partial p}}}}$ (4)

где - изменение давления при движении.${\displaystyle {\omega ={Dp \over Dt}}}$

Горизонтальную скорость можно разделить на геострофическую и агеострофическую части.${\displaystyle {\mathbf {V} }}$${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$ ${\displaystyle {\mathbf {V_{a}} }}$

${\displaystyle {\mathbf {V} =\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} }}$ (5)

Два важных предположения квазигеострофического приближения:

1. , а точнее .${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} \gg \mathbf {V_{a}} }}$${\displaystyle {|\mathbf {V_{a}} | \over |\mathbf {V_{g}} |}\sim O({\text{Rossby number}})}$

2. приближение бета-плоскости с${\displaystyle {f=f_{0}+\beta y}}$${\displaystyle {{\frac {\beta y}{f_{0}}}\sim O({\text{Rossby number}})}}$

Второе предположение оправдывает, что параметр Кориолиса имеет постоянное значение в геострофическом приближении и аппроксимирует его изменение в члене силы Кориолиса величиной . ^[4] Однако, поскольку ускорение после движения, которое задано в (1) как разница между силой Кориолиса и силой градиента давления, зависит от отклонения фактического ветра от геострофического ветра, недопустимо просто замените скорость ее геострофической скоростью в члене Кориолиса. ^[4] Ускорение в (3) затем можно переписать как${\displaystyle {f_{0}}}$${\displaystyle {f_{0}+\beta y}}$

${\displaystyle {f{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V} +\nabla \Phi }={(f_{0}+\beta y){\hat {\mathbf {k} }}\times (\mathbf {V_{g}} +\mathbf {V_{a}} )-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }={f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} +\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$ (6)

Таким образом, приближенное уравнение горизонтального импульса имеет вид

${\displaystyle {D_{g}\mathbf {V_{g}} \over Dt}={-f_{0}{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{a}} -\beta y{\hat {\mathbf {k} }}\times \mathbf {V_{g}} }}$ (7)

Выражая уравнение (7) через его компоненты,

${\displaystyle {{D_{g}u_{g} \over Dt}-{f_{0}v_{a}}-{\beta yv_{g}}=0}}$ (8а)

${\displaystyle {{D_{g}v_{g} \over Dt}+{f_{0}u_{a}}+{\beta yu_{g}}=0}}$ (8b)

Принимая во внимание и отмечая, что геострофический ветер не расходится (т. Е. ), Уравнение завихренности имеет вид${\displaystyle {{\partial (8b) \over \partial x}-{\partial (8a) \over \partial y}}}$${\displaystyle {\nabla \cdot \mathbf {V} =0}}$

${\displaystyle {{D_{g}\zeta _{g} \over Dt}=f_{0}\left({{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}}\right)-\beta v_{g}}}$ (9)

Поскольку зависит только от (т.е. ), и что дивергенция агеострофического ветра может быть записана в терминах на основе уравнения неразрывности${\displaystyle {f}}$${\displaystyle {y}}$${\displaystyle {{D_{g}f \over Dt}=\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla f=\beta v_{g}}}$${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{\partial u_{a} \over \partial x}+{\partial v_{a} \over \partial y}+{\partial \omega \over \partial p}=0}}$

поэтому уравнение (9) можно записать как

${\displaystyle {{\partial \zeta _{g} \over \partial t}={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla ({\zeta _{g}+f})}-{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$ (10)

Тот же идентификатор с использованием геопотенциала [ править ]

Определение геопотенциальной тенденцию и учитывая , что частичное дифференцирование может быть обратным, то уравнение (10) можно переписать в терминах , как${\displaystyle {\chi ={\partial \Phi \over \partial t}}}$${\displaystyle {\chi }}$

${\displaystyle {{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }={-\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla \left({{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\chi }+f}\right)}+{f_{0}{\partial \omega \over \partial p}}}}$ (11)

Правая часть уравнения (11) зависит от переменных и . Аналогичное уравнение, зависящее от этих двух переменных, может быть получено из уравнения термодинамической энергии${\displaystyle {\chi }}$${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)\left({-\partial \Phi \over \partial p}\right)}-\sigma \omega }={kJ \over p}}}$ (12)

где и - потенциальная температура, соответствующая температуре основного состояния. В средней тропосфере ≈ .${\displaystyle {\sigma ={-RT_{0} \over p}{d\log \Theta _{0} \over dp}}}$${\displaystyle {\Theta _{0}}}$${\displaystyle {\Theta _{0}}}$${\displaystyle {2.5\times 10^{-6}\mathrm {m} {^{2}}\mathrm {Pa} ^{-2}\mathrm {s} ^{-2}}}$

Умножая (12) на, дифференцируя и используя определение доходностей${\displaystyle {f_{0} \over \sigma }}$${\displaystyle {p}}$${\displaystyle {\chi }}$

${\displaystyle {{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \chi \over \partial p}}\right)}=-{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}}{\partial \omega \over \partial p}}-{{f_{0}}{\partial \over \partial p}\left({kJ \over \sigma p}\right)}}}$ (13)

Если бы для простоты было установлено значение 0, исключение в уравнениях (11) и (13) дает ^[5]${\displaystyle {J}}$${\displaystyle {\omega }}$

${\displaystyle {{\left({\nabla ^{2}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \over \partial p}}\right)}}\right){\chi }}=-{{f_{0}}{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+f}\right)}-{{\partial \over \partial p}\left({{-}{f_{0}^{2} \over \sigma }{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }\left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}\right)}}}$ (14)

Уравнение (14) часто называют уравнением тенденции геопотенциала . Он связывает локальную тенденцию геопотенциала (член A) с распределением адвекции завихренности (член B) и адвекцией толщины (член C).

Та же идентичность с использованием квазигеострофической потенциальной завихренности [ править ]

Используя цепное правило дифференцирования, член C можно записать как

${\displaystyle {-{{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }{\partial \over \partial p}\left({{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}-{{f_{0}^{2} \over \sigma }{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}{\cdot \nabla }{\partial \Phi \over \partial p}}}}$ (15)

Но исходя из соотношения термического ветра ,

${\displaystyle {{f_{0}{\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}={{\hat {\mathbf {k} }}\times \nabla \left({\partial \Phi \over \partial p}\right)}}}$.

Другими словами, перпендикулярно, и второй член в уравнении (15) исчезает.${\displaystyle {\partial \mathbf {V_{g}} \over \partial p}}$${\displaystyle {\nabla ({\partial \Phi \over \partial p})}}$

Первый член может быть объединен с членом B в уравнении (14), которое после деления на может быть выражено в форме уравнения сохранения ^[6]${\displaystyle {f_{0}}}$

${\displaystyle {{\left({{\partial \over \partial t}+{\mathbf {V_{g}} \cdot \nabla }}\right)q}={D_{g}q \over Dt}=0}}$ (16)

где - квазигеострофическая потенциальная завихренность, определяемая соотношением${\displaystyle {q}}$

${\displaystyle {q={{{1 \over f_{0}}{\nabla ^{2}\Phi }}+{f}+{{\partial \over \partial p}\left({{f_{0} \over \sigma }{\partial \Phi \over \partial p}}\right)}}}}$ (17)

Три члена уравнения (17) - это слева направо геострофическая относительная завихренность, планетарная завихренность и завихренность растяжения .

Последствия [ править ]

По мере того, как воздушный пакет движется в атмосфере, его относительная, планетарная и растягивающая завихренности могут изменяться, но уравнение (17) показывает, что сумма трех должна сохраняться после геострофического движения.

Уравнение (17) можно использовать для поиска из известного поля . В качестве альтернативы его также можно использовать для прогнозирования эволюции геопотенциального поля с учетом начального распределения и подходящих граничных условий с помощью процесса инверсии.${\displaystyle {q}}$${\displaystyle {\Phi }}$${\displaystyle {\Phi }}$

Что еще более важно, квазигеострофическая система сводит примитивные уравнения с пятью переменными к системе с одним уравнением, где все переменные, такие как , и, могут быть получены от высоты или .${\displaystyle {u_{g}}}$${\displaystyle {v_{g}}}$${\displaystyle {T}}$${\displaystyle {q}}$${\displaystyle {\Phi }}$

Кроме того , поскольку и оба определены в терминах , уравнение завихренности может быть использовано для диагностики вертикального движения при условии , что поля , как и известны.${\displaystyle {\zeta _{g}}}$${\displaystyle {\mathbf {V_{g}} }}$${\displaystyle {\Phi (x,y,p,t)}}$${\displaystyle {\Phi }}$${\displaystyle {\partial \Phi \over \partial t}}$

Ссылки [ править ]