Уравнения мелкой воды

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Уравнения мелкой воды»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Выходные данные из модели уравнения мелкой воды для воды в ванне. Вода подвергается пяти брызгам, которые генерируют поверхностные гравитационные волны, которые распространяются от мест брызг и отражаются от стен ванны.

Уравнения мелкой воды - это набор уравнений в частных производных гиперболического типа (или параболических, если рассматривается вязкий сдвиг), которые описывают течение под поверхностью давления в жидкости (иногда, но не обязательно, свободной поверхности ). Уравнения мелкой воды в однонаправленной форме также называются уравнениями Сен-Венана в честь Адемара Жана Клода Барре де Сен-Венана (см. Соответствующий раздел ниже).

Уравнения получены ^[1] путем интегрирования по глубине уравнений Навье – Стокса в случае, когда горизонтальный масштаб длины намного больше, чем вертикальный масштаб длины. При этом условии сохранение массы означает, что масштаб вертикальной скорости жидкости мал по сравнению с масштабом горизонтальной скорости. Из уравнения количества движения можно показать, что вертикальные градиенты давления почти гидростатические , а горизонтальные градиенты давления возникают из-за смещения поверхности давления, что подразумевает, что поле горизонтальной скорости является постоянным по всей глубине жидкости. Вертикальное интегрирование позволяет исключить вертикальную скорость из уравнений. Таким образом выводятся уравнения мелкой воды.

Хотя член вертикальной скорости не присутствует в уравнениях мелкой воды, обратите внимание, что эта скорость не обязательно равна нулю. Это важное различие, потому что, например, вертикальная скорость не может быть равна нулю, когда пол меняет глубину, и, таким образом, если бы она была равна нулю, с уравнениями мелкой воды можно было бы использовать только плоские полы. После того как решение (т.е. горизонтальные скорости и смещение свободной поверхности) найдено, вертикальная скорость может быть восстановлена ​​с помощью уравнения неразрывности.

Ситуации в гидродинамике, где горизонтальный масштаб намного больше, чем вертикальный масштаб, являются обычными, поэтому уравнения мелкой воды широко применимы. Они используются с силами Кориолиса в атмосферном и океаническом моделировании, как упрощение примитивных уравнений атмосферного потока.

Модели уравнения мелкой воды имеют только один вертикальный уровень, поэтому они не могут напрямую охватывать какой-либо фактор, который изменяется с высотой. Однако в случаях, когда среднее состояние достаточно простое, вертикальные вариации могут быть отделены от горизонтальных, и несколько наборов уравнений мелкой воды могут описывать состояние.

Уравнения [ править ]

Консервативная форма [ править ]

Уравнения мелкой воды выводятся из уравнений сохранения массы и сохранения количества движения ( уравнения Навье – Стокса ), которые остаются в силе даже тогда, когда допущения мелкой воды нарушаются, например, при гидравлическом прыжке . В случае горизонтального слоя , с незначительными силами Кориолиса , фрикционными и вязкими силами , мелководное уравнение:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial (\rho \eta )}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta u)}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\rho \eta u^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial y}}=0,\\[3pt]{\frac {\partial (\rho \eta v)}{\partial t}}&+{\frac {\partial (\rho \eta uv)}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\rho \eta v^{2}+{\frac {1}{2}}\rho g\eta ^{2}\right)=0.\end{aligned}}}$

Здесь η - общая высота столба жидкости (мгновенная глубина жидкости как функция от x , y и t ), а двумерный вектор ( u , v ) - горизонтальная скорость потока жидкости , усредненная по вертикальному столбу. Далее g - ускорение свободного падения, а ρ - плотность жидкости . Первое уравнение выводится из сохранения массы, вторые два - из сохранения количества движения. ^[2]

Неконсервативная форма [ править ]

Разлагая производные в приведенном выше примере с использованием правила произведения , получается неконсервативная форма уравнений мелкой воды. Поскольку скорости не подчиняются фундаментальному уравнению сохранения, неконсервативные формы не сохраняются при ударе или гидравлическом скачке . Также включены соответствующие термины для Кориолиса, сил трения и вязкости, чтобы получить (для постоянной плотности жидкости):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}(H+h)u{\Bigr )}+{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}(H+h)v{\Bigr )}=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-bu+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right),\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-bv+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right),\end{aligned}}}$

куда

ты	- скорость в направлении x , или зональная скорость
v	- скорость в направлении y или меридиональная скорость
час	- отклонение горизонтальной поверхности давления от средней высоты H : η = H + h
ЧАС	- средняя высота горизонтальной поверхности давления
грамм	это ускорение вследствие гравитации
ж	- коэффициент Кориолиса, связанный с силой Кориолиса . На Земле f равно 2 Ω  sin ( φ ), где Ω - угловая скорость вращения Земли (π / 12 радиан / час), а φ - широта
б	является вязким перетащить коэффициент
ν	является кинематической вязкостью

Часто бывает так, что члены, квадратичные по u и v , которые представляют эффект объемной адвекции , малы по сравнению с другими членами. Это называется геострофическим балансом и эквивалентно тому, что число Россби невелико. Предполагая также, что высота волны очень мала по сравнению со средней высотой ( h ≪ H ), мы имеем (без боковых вязких сил):

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial h}{\partial t}}&+H\left({\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}\right)=0,\\[3pt]{\frac {\partial u}{\partial t}}&-fv=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}&+fu=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-bv.\end{aligned}}}$

Одномерные уравнения Сен-Венана [ править ]

Одномерный (1-D) , Сен-Венан уравнения были получены путем Сен-Венано , и обычно используется для моделирования переходного потока открытого канала и поверхностного стока . Их можно рассматривать как сжатие двумерных (2-D) уравнений мелкой воды, которые также известны как двумерные уравнения Сен-Венана. Одномерные уравнения Сен-Венана в той или иной степени содержат основные характеристики формы поперечного сечения канала .

Одномерные уравнения широко используются в компьютерных моделях, таких как TUFLOW , Mascaret (EDF), SIC (Irstea) , HEC-RAS , ^[4] SWMM5, ISIS, ^[4] InfoWorks, ^[4] Flood Modeller, SOBEK 1DFlow, MIKE 11 , ^[4] и MIKE SHE, потому что их значительно легче решить, чем полное уравнение мелкой воды. Общие применения одномерных уравнений Сен-Венана включают маршрутизацию наводнения. вдоль рек (включая оценку мер по снижению рисков наводнений), анализ прорыва плотин, штормовых импульсов в открытом русле, а также ливневого стока в сухопутном потоке.

Уравнения [ править ]

Система дифференциальных уравнений с частными производными, описывающая одномерный поток несжимаемой жидкости в открытом канале произвольного поперечного сечения, выведенная и сформулированная Сен-Венаном в его статье 1871 года (уравнения 19 и 20): ^[5]

${\displaystyle {\frac {\partial A}{\partial t}}+{\frac {\partial \left(Au\right)}{\partial x}}=0}$   и

( 1 )

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}+g\,{\frac {\partial \zeta }{\partial x}}=-{\frac {P}{A}}\,{\frac {\tau }{\rho }},}$

( 2 )

где х координата пространства вдоль оси канала, т обозначает время, ( х , т ) представляет собой поперечное сечение площади потока в точке х , у ( х , т ) является скорость потока , ζ ( х , т ) - высота свободной поверхности, а τ ( x , t ) - напряжение сдвига стенки вдоль смоченного периметра P ( x , t ) сечения в точке x . Кроме того, ρ - (постоянная) плотность жидкости, а g - ускорение свободного падения .

Закрытие из гиперболической системы уравнений ( 1 ) - ( 2 ) получается из геометрии сечений - путем обеспечения функциональной зависимости между площадью поперечного сечения А и поверхностью возвышения z , в каждом положении х . Например, для прямоугольного поперечного сечения с постоянной шириной канала B и высотой русла канала z _b площадь поперечного сечения равна: A = B (ζ - z _b ) = B h . Мгновенная глубина воды h ( x , t ) = ζ (x , t ) - z _b ( x ), где z _b ( x ) - уровень пласта (т. е. высота самой низкой точки пласта над исходной точкой , см. рисунок в разрезе ). Для неподвижных стенок канала площадь поперечного сечения A в уравнении ( 1 ) может быть записана как:

${\displaystyle A(x,t)=\int _{0}^{h(x,t)}b(x,h')\;{\mbox{d}}h',}$

где b ( x , h ) - эффективная ширина поперечного сечения канала в точке x, когда глубина жидкости равна h, поэтому b ( x , h ) = B ( x ) для прямоугольных каналов. ^[6]

Напряжение сдвига стенки τ зависит от скорости потока u , их можно связать, используя, например, уравнение Дарси – Вайсбаха , формулу Мэннинга или формулу Чези .

Кроме того, уравнение ( 1 ) является уравнением неразрывности , выражающим сохранение объема воды для этой несжимаемой однородной жидкости. Уравнение ( 2 ) - это уравнение количества движения , дающее баланс между силами и скоростями изменения количества движения.

Наклон пласта S ( x ), уклон трения S _f ( x , t ) и гидравлический радиус R ( x , t ) определяются как:

${\displaystyle S=-{\frac {\mathrm {d} z_{\mathrm {b} }}{\mathrm {d} x}},}$   ${\displaystyle S_{\mathrm {f} }={\frac {\tau }{\rho gR}}}$   и   ${\displaystyle R={\frac {A}{P}}.}$

Следовательно, уравнение количества движения ( 2 ) можно записать в виде: ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u\,{\frac {\partial u}{\partial x}}+g\,{\frac {\partial h}{\partial x}}+g\,\left(S_{\mathrm {f} }-S\right)=0.}$

( 3 )

Сохранение импульса [ править ]

Уравнение импульса ( 3 ) также может быть преобразовано в так называемую форму сохранения посредством некоторых алгебраических манипуляций с уравнениями Сен-Венана ( 1 ) и ( 3 ). По разряду Q = Au : ^[7]

${\displaystyle {\frac {\partial Q}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {Q^{2}}{A}}+g\,I_{1}\right)+g\,A\,\left(S_{f}-S\right)-g\,I_{2}=0,}$

( 4 )

где A , I ₁ и I ₂ являются функциями геометрии канала, описанной в терминах ширины канала B (σ, x ). Здесь σ - высота над самой низкой точкой поперечного сечения в точке x , см. Рисунок поперечного сечения . Итак, σ - это высота над уровнем слоя z _b ( x ) (самой нижней точки в поперечном сечении):

${\displaystyle {\begin{aligned}A(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma ^{\prime },\\I_{1}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ^{\prime })\,B(\sigma ^{\prime },x)\;\mathrm {d} \sigma ^{\prime }\qquad {\text{and}}\\I_{2}(\sigma ,x)&=\int _{0}^{\sigma }(\sigma -\sigma ^{\prime })\,{\frac {\partial B(\sigma ^{\prime },x)}{\partial x}}\;\mathrm {d} \sigma ^{\prime }.\end{aligned}}}$

Выше - в уравнении импульса ( 4 ) в форме сохранения - A , I ₁ и I ₂ оцениваются как σ = h ( x , t ) . Член g I ₁ описывает гидростатическую силу в определенном поперечном сечении. А для непризматического канала g I ₂ дает эффекты изменения геометрии вдоль оси x канала .

В приложениях, в зависимости от рассматриваемой проблемы, часто отдают предпочтение либо уравнению импульса в форме без сохранения ( 2 ) или ( 3 ), либо форме сохранения ( 4 ). Например, в случае описания гидравлических скачков форма сохранения предпочтительна, поскольку поток импульса непрерывен поперек скачка.

Характеристики [ править ]

Уравнения Сен-Венана ( 1 ) - ( 2 ) можно анализировать с помощью метода характеристик . ^{[8] [9] [10] [11]} Две скорости d x / d t на характеристических кривых: ^[7]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u\pm c,}$   с   ${\displaystyle c={\sqrt {\frac {gA}{B}}}.}$

Число Фруда F = | u | / c определяет, является ли поток докритическим ( F <1 ) или сверхкритическим ( F > 1 ).

Для прямоугольного и призматического канала постоянной ширины B , т. Е. С A = B h и c = √ gh , инварианты Римана следующие: ^[8]

${\displaystyle r_{+}=u+2{\sqrt {gh}}}$   и   ${\displaystyle r_{-}=u-2{\sqrt {gh}},}$

Итак, уравнения в характеристической форме: ^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u+2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u+{\sqrt {gh}}\quad {\text{and}}\\&{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left(u-2{\sqrt {gh}}\right)=g\left(S-S_{f}\right)&&{\text{along}}\quad {\frac {\mathrm {d} x}{\mathrm {d} t}}=u-{\sqrt {gh}}.\end{aligned}}}$

Инварианты Римана и метод характеристик для призматического канала произвольного поперечного сечения описаны Диденкуловой и Пелиновским (2011). ^[11]

Характеристики и инварианты Римана предоставляют важную информацию о поведении потока, а также о том, что они могут использоваться в процессе получения (аналитических или численных) решений. ^{[12] [13] [14] [15]}

Производное моделирование [ править ]

Динамическая волна [ править ]

Динамическая волна представляет собой полное одномерное уравнение Сен-Венана. Численно решить эту задачу сложно, но она действительна для всех сценариев руслового потока. Динамическая волна используется для моделирования переходных штормов в программах моделирования, включая Mascaret (EDF), SIC (Irstea) , HEC-RAS , ^[16] InfoWorks_ICM , ^[17] MIKE 11 , ^[18] Wash 123d ^[19] и SWMM5 .

В порядке возрастающих упрощений, удалив некоторые члены из полных одномерных уравнений Сен-Венана (также известных как динамическое волновое уравнение), мы получаем также классическое диффузионное волновое уравнение и кинематическое волновое уравнение.

Рассеивающая волна [ править ]

Для диффузной волны предполагается, что инерционные члены меньше членов гравитации, трения и давления. Поэтому диффузную волну можно более точно описать как неинерционную волну, и ее можно записать как:

${\displaystyle g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0.}$

Диффузионная волна действительна, когда инерционное ускорение намного меньше, чем у всех других форм ускорения, или, другими словами, когда существует преимущественно докритический поток с низкими значениями Фруда. Модели, которые используют допущение о диффузии волн, включают MIKE SHE ^[20] и LISFLOOD-FP. ^[21] В программном обеспечении SIC (Irstea) эта опция также доступна, поскольку 2 члена инерции (или любой из них) могут быть удалены в опции из интерфейса.

Кинематическая волна [ править ]

Для кинематической волны предполагается, что поток однороден, а угол наклона трения примерно равен наклону канала. Это упрощает полное уравнение Сен-Венана до кинематической волны:

${\displaystyle S_{f}-S=0.}$

Кинематическая волна действительна, когда изменение высоты волны на расстоянии и скорости на расстоянии и во времени пренебрежимо мало по отношению к уклону дна, например, для мелких потоков на крутых склонах. ^[22] Кинематическая волна используется в HEC-HMS . ^[23]

Вывод из уравнений Навье – Стокса [ править ]

Этот раздел, возможно, содержит оригинальные исследования . Пожалуйста, улучшите его , проверив сделанные утверждения и добавив встроенные цитаты . Заявления, содержащие только оригинальные исследования, следует удалить. ( Апрель 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Одномерное уравнение импульса Сен-Венана может быть получено из уравнений Навье-Стокса , описывающих движение жидкости . Компонента x уравнений Навье – Стокса, выраженная в декартовых координатах в направлении x, может быть записана как:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=-{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)+f_{x},}$

где u - скорость в направлении x , v - скорость в направлении y , w - скорость в направлении z , t - время, p - давление, ρ - плотность воды, ν - кинематическая вязкость, а f _x - объемная сила в x- направлении.

1.	Если предполагается, что трение учитывается как объемная сила, то его можно принять равным нулю, поэтому:${\displaystyle \nu }$ ${\displaystyle \nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0.}$
2.	Предполагая одномерный поток в x -направлении, следует, что: [24] ${\displaystyle v{\frac {\partial u}{\partial y}}+w{\frac {\partial u}{\partial z}}=0}$
3.	Предполагая также, что распределение давления приблизительно гидростатическое, следует, что: [24] ${\displaystyle p=\rho gh}$ или в дифференциальной форме: ${\displaystyle \partial p=\rho g(\partial h).}$ И когда эти предположения применяются к x -компоненте уравнений Навье – Стокса: ${\displaystyle -{\frac {\partial p}{\partial x}}{\frac {1}{\rho }}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\rho g\left(\partial h\right)}{\partial x}}=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}.}$
4.	На жидкость в канале действуют 2 массовые силы, а именно сила тяжести и трение: ${\displaystyle f_{x}=f_{x,g}+f_{x,f}}$ где f x, g - объемная сила, вызванная гравитацией, а f x, f - объемная сила, обусловленная трением.
5.	f x , g можно вычислить, используя основы физики и тригонометрию: [25] ${\displaystyle F_{g}=(\sin \theta )gM}$ где F g - сила тяжести в x- направлении, θ - угол, а M - масса. Рисунок 1: Схема движения блока по наклонной плоскости. Выражение для sin θ можно упростить с помощью тригонометрии как: ${\displaystyle \sin \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{hyp}}}.}$ Для малых θ (разумных почти для всех потоков) можно предположить, что: ${\displaystyle \sin \theta =\tan \theta ={\frac {\text{opp}}{\text{adj}}}=S}$ и учитывая, что f x представляет собой силу на единицу массы, выражение принимает следующий вид: ${\displaystyle f_{x,g}=gS.}$
6.	Если предположить, что линия энергетической ценности не совпадает с наклоном канала, а для достижения постоянного наклона есть постоянные потери на трение, отсюда следует, что: [26] ${\displaystyle f_{x,f}=S_{f}g.}$
7.	Все эти допущения вместе приводят к одномерному уравнению Сен-Венана в x- направлении: ${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+g{\frac {\partial h}{\partial x}}+g(S_{f}-S)=0,}$ ${\displaystyle (a)\quad \ \ (b)\quad \ \ \ (c)\qquad \ \ \ (d)\quad (e)\ }$ где (a) - член местного ускорения, (b) - член конвективного ускорения, (c) - член градиента давления, (d) - член трения, и (e) - член силы тяжести.

Условия

Локальное ускорение (а) также можно рассматривать как «нестационарный термин», поскольку он описывает некоторое изменение скорости во времени. Конвективное ускорение (b) - это ускорение, вызванное некоторым изменением скорости в зависимости от положения, например ускорением или замедлением жидкости, попадающей в сужение или отверстие, соответственно. Оба эти члена составляют инерционные члены одномерного уравнения Сен-Венана.

Член градиента давления (c) описывает, как давление изменяется в зависимости от положения, и поскольку давление предполагается гидростатическим, это изменение напора над положением. Член трения (d) учитывает потери энергии из-за трения, а член силы тяжести (e) представляет собой ускорение из-за уклона пласта.

Моделирование волн с помощью уравнений мелкой воды [ править ]

Уравнения мелкой воды можно использовать для моделирования волн Россби и Кельвина в атмосфере, реках, озерах и океанах, а также гравитационных волн в меньшей области (например, поверхностные волны в ванне). Для того чтобы уравнения мелкой воды были справедливыми, длина волны явления, которое они должны моделировать, должна быть намного больше, чем глубина бассейна, в котором это явление имеет место. Несколько меньшие длины волн могут быть обработаны путем расширения уравнений мелкой воды с использованием приближения Буссинеска для учета эффектов дисперсии . ^[27]Уравнения мелкой воды особенно подходят для моделирования приливов с очень большими масштабами длины (более сотни километров). Для приливного движения даже очень глубокий океан может считаться мелким, поскольку его глубина всегда будет намного меньше длины волны приливов.

Моделирование турбулентности с использованием нелинейных уравнений мелкой воды [ править ]

Уравнения мелкой воды в своей нелинейной форме - очевидный кандидат для моделирования турбулентности в атмосфере и океанах, то есть геофизической турбулентности . Преимущество этого по сравнению с квазигеострофическими уравнениями состоит в том, что он допускает такие решения, как гравитационные волны , при сохранении энергии и потенциальной завихренности . Однако есть и некоторые недостатки в том, что касается геофизических приложений - он имеет неквадратичное выражение для полной энергии и склонность волн становиться ударными . ^[28]Было предложено несколько альтернативных моделей, предотвращающих образование толчков. Одна альтернатива - изменить "член давления" в уравнении импульса, но это приводит к сложному выражению для кинетической энергии . ^[29] Другой вариант - изменить нелинейные члены во всех уравнениях, что дает квадратичное выражение для кинетической энергии , избегает образования ударной волны, но сохраняет только линеаризованную потенциальную завихренность . ^[30]

Примечания [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Вывод уравнений мелкой воды из первых принципов (вместо упрощения уравнений Навье – Стокса используются некоторые аналитические решения)