Теория бифуркаций - это математическое исследование изменений качественной или топологической структуры данного семейства , например интегральных кривых семейства векторных полей и решений семейства дифференциальных уравнений . Чаще всего применяется к математическому исследованию динамических систем , бифуркация возникает, когда небольшое плавное изменение значений параметров (параметров бифуркации) системы вызывает внезапное «качественное» или топологическое изменение ее поведения. [1] Бифуркации происходят в обеих непрерывных системах (описываемых ОДУ, DDE или PDE ) и дискретных систем (описываемых картами). Название «бифуркация» было впервые введено Анри Пуанкаре в 1885 году в первой статье по математике, показывающей такое поведение. [2] Анри Пуанкаре позже также назвал различные типы стационарных точек и классифицировал их по мотивам.
Бифуркации полезно разделить на два основных класса:
Локальные бифуркации, которые могут быть проанализированы полностью через изменения свойств локальной устойчивости состояний равновесия , периодических орбит или других инвариантных наборов, когда параметры пересекают критические пороги; а также
Глобальные бифуркации, которые часто происходят, когда большие инвариантные множества системы «сталкиваются» друг с другом или с положениями равновесия системы. Их нельзя обнаружить только с помощью анализа устойчивости состояний равновесия (неподвижных точек).
Локальные бифуркации
Бифуркации деления периода вдвое (L), приводящие к порядку, за которыми следуют бифуркации удвоения периода (R), приводящие к хаосу.
Локальная бифуркация возникает, когда изменение параметра вызывает изменение устойчивости равновесия (или фиксированной точки). В непрерывных системах это соответствует действительной части собственного значения равновесия, проходящей через нуль. В дискретных системах (описываемых картами, а не ОДУ) это соответствует фиксированной точке, имеющей множитель Флоке с модулем, равным единице. В обоих случаях равновесие негиперболическое в точке бифуркации. Топологические изменения в фазовом портрете системы могут быть ограничены сколь угодно малыми окрестностями бифуркационных неподвижных точек, перемещая параметр бифуркации близко к точке бифуркации (следовательно, «локальной»).
Более технически, рассмотрим непрерывную динамическую систему, описываемую ОДУ
Локальная бифуркация возникает, если матрица Якоби
имеет собственное значение с нулевой действительной частью. Если собственное значение равно нулю, бифуркация является бифуркацией установившегося состояния, но если собственное значение ненулевое, но чисто мнимое, это бифуркация Хопфа .
Для дискретных динамических систем рассмотрим систему
Тогда происходит локальная бифуркация при, если матрица
имеет собственное значение с модулем, равным единице. Если собственное значение равно единице, бифуркация представляет собой либо седло-узел (часто называемое бифуркацией складок на картах), либо транскритическую бифуркацию или бифуркацию вил. Если собственное значение равно -1, это бифуркация удвоения периода (или переворота), в противном случае это бифуркация Хопфа.
Фазовый портрет до, при и после гомоклинической бифуркации в 2D. Периодическая орбита растет, пока не столкнется с седловой точкой. В точке бифуркации период периодической орбиты вырос до бесконечности и превратился в гомоклиническую орбиту . После бифуркации периодической орбиты больше нет. Левая панель : для малых значений параметров есть седловая точка в начале координат и предельный цикл в первом квадранте. Средняя панель : По мере увеличения параметра бифуркации предельный цикл увеличивается до тех пор, пока он точно не пересечет седловую точку, создавая орбиту бесконечной продолжительности. Правая панель: При дальнейшем увеличении параметра бифуркации предельный цикл полностью исчезает.
Глобальные бифуркации происходят, когда «большие» инвариантные множества, такие как периодические орбиты, сталкиваются с положениями равновесия. Это вызывает изменения в топологии траекторий в фазовом пространстве, которые не могут быть ограничены малой окрестностью, как в случае с локальными бифуркациями. Фактически, изменения в топологии простираются на сколь угодно большие расстояния (следовательно, «глобальные»).
Примеры глобальных бифуркаций включают:
Гомоклиническая бифуркация, при которой предельный цикл сталкивается с седловой точкой . [3] Гомоклинические бифуркации могут происходить сверхкритически или субкритически. Вышеупомянутый вариант - это «малая» гомоклиническая бифуркация или «тип I». В 2D также существует гомоклиническая бифуркация «большого» или «типа II», в которой гомоклиническая орбита «захватывает» другие концы неустойчивых и устойчивых многообразий седла. В трех или более измерениях могут происходить бифуркации более высоких коразмерностей, приводящие к сложной, возможно, хаотической динамике.
Гетероклиническая бифуркация, при которой предельный цикл сталкивается с двумя или более седловыми точками; они включают гетероклинический цикл . [4] Гетероклинические бифуркации бывают двух типов: резонансные бифуркации и поперечные бифуркации. Оба типа бифуркации приведут к изменению устойчивости гетероклинического цикла. При резонансной бифуркации устойчивость цикла изменяется, когда выполняется алгебраическое условие на собственные значения положений равновесия в цикле. Обычно это сопровождается рождением или смертью периодической орбиты.. Поперечная бифуркация гетероклинического цикла возникает, когда действительная часть поперечного собственного значения одного из положений равновесия в цикле проходит через ноль. Это также вызовет изменение стабильности гетероклинического цикла.
Бесконечнопериодическая бифуркация, в которой устойчивый узел и седловая точка одновременно возникают на предельном цикле. [5] Когда предел параметра приближается к некоторому критическому значению, скорость колебаний замедляется, а период приближается к бесконечности. При этом критическом значении происходит бифуркация бесконечного периода. За пределами критического значения две фиксированные точки непрерывно выходят друг из друга в предельном цикле, чтобы нарушить колебания и сформировать две седловые точки .
Катастрофа голубого неба, в которой предельный цикл сталкивается с негиперболическим циклом.
Глобальные бифуркации также могут включать более сложные множества, такие как хаотические аттракторы (например, кризисы ).
Коразмерность бифуркации
Коразмерность бифуркации является количество параметров , которые должны быть различными для бифуркации произойти. Это соответствует коразмерности набора параметров, для которого бифуркация происходит в пределах всего пространства параметров. Бифуркации седло-узел и бифуркации Хопфа - единственные общие локальные бифуркации, которые действительно имеют коразмерность один (все остальные имеют более высокую коразмерность). Однако транскритические бифуркации и бифуркации вил также часто рассматриваются как коразмерность один, потому что нормальные формы могут быть записаны только с одним параметром.
Примером хорошо изученной бифуркации коразмерности два является бифуркация Богданова – Такенса .
Приложения в полуклассической и квантовой физике
Теория бифуркации применялась для связи квантовых систем с динамикой их классических аналогов в атомных системах, [6] [7] [8] молекулярных системах [9] и резонансных туннельных диодах . [10] Теория бифуркаций также применялась для изучения лазерной динамики [11] и ряда теоретических примеров, которые трудно получить экспериментально, таких как выпуклый волчок [12] и связанные квантовые ямы. [13] Основная причина связи между квантовыми системами и бифуркациями в классических уравнениях движения заключается в том, что при бифуркациях сигнатура классических орбит становится большой, посколькуМартин Гуцвиллер указывает в своей классической [14] работе о квантовом хаосе . [15] Многие виды бифуркаций были изучены в отношении связей между классической и квантовой динамикой, включая бифуркации седловых узлов, бифуркации Хопфа, омбилические бифуркации, бифуркации удвоения периода, бифуркации пересоединения, касательные бифуркации и бифуркации возврата.
Смотрите также
Математический портал
Бифуркационная диаграмма
Бифуркационная память
Теория катастроф
Константы Фейгенбаума
Геомагнитная инверсия
Фазовый портрет
Теорема о теннисной ракетке
Примечания
^ Blanchard, P .; Девани, Р.Л . ; Холл, GR (2006). Дифференциальные уравнения . Лондон: Томпсон. С. 96–111. ISBN 978-0-495-01265-8.
^ Анри Пуанкаре. " L'Equilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation ". Acta Mathematica , том 7, стр. 259-380, сентябрь 1885 г.
^ Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Эддисон-Уэсли . п. 262. ISBN. 0-201-54344-3.
^ Ло, Dingjun (1997). Теория бифуркаций и методы динамических систем . World Scientific. п. 26. ISBN 981-02-2094-4.
^ Джеймс П. Кинер, «Бифуркация бесконечного периода и ветви глобальной бифуркации», журнал SIAM по прикладной математике , Vol. 41, № 1 (август 1981 г.), стр. 127–144.
^ Gao, J .; Делос, Дж. Б. (1997). «Квантовые проявления бифуркаций замкнутых орбит в спектрах фотопоглощения атомов в электрических полях». Phys. Rev. A . 56 (1): 356–364. Bibcode : 1997PhRvA..56..356G . DOI : 10.1103 / PhysRevA.56.356 .
^ Петерс, AD; Jaffé, C .; Делос, Дж. Б. (1994). «Квантовые проявления бифуркаций классических орбит: точно решаемая модель». Phys. Rev. Lett . 73 (21): 2825–2828. Bibcode : 1994PhRvL..73.2825P . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.73.2825 . PMID 10057205 .
^ Кортни, Майкл; Цзяо, Хун; Спеллмейер, Нил; Клеппнер, Даниэль; Gao, J .; Delos, JB; и другие. (1995). "Бифуркации замкнутой орбиты в штарковских спектрах сплошных сред". Phys. Rev. Lett . 74 (9): 1538–1541. Bibcode : 1995PhRvL..74.1538C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.74.1538 . PMID 10059054 .
^ Founargiotakis, M .; Фарантос, Южная Каролина; Скокос, гл .; Контопулос, Г. (1997). «Бифуркационные диаграммы периодических орбит несвязанных молекулярных систем: FH2». Письма по химической физике . 277 (5–6): 456–464. Bibcode : 1997CPL ... 277..456F . DOI : 10.1016 / S0009-2614 (97) 00931-7 .
^ Монтейро, TS и Saraga, DS (2001). «Квантовые ямы в наклонных полях: полуклассические амплитуды и времена фазовой когерентности». Основы физики . 31 (2): 355–370. DOI : 10,1023 / A: 1017546721313 . S2CID 120968155 .
^ Wieczorek, S .; Krauskopf, B .; Симпсон, Т. Б. и Ленстра, Д. (2005). «Динамическая сложность полупроводниковых лазеров с оптической инжекцией». Отчеты по физике . 416 (1–2): 1–128. Bibcode : 2005PhR ... 416 .... 1W . DOI : 10.1016 / j.physrep.2005.06.003 .
^ Стаматиу, G. & Ghikas, ДПК (2007). «Зависимость квантовой запутанности от бифуркаций и рубцов в неавтономных системах. Случай квантового волчка». Физика Буквы A . 368 (3–4): 206–214. arXiv : Quant-ph / 0702172 . Bibcode : 2007PhLA..368..206S . DOI : 10.1016 / j.physleta.2007.04.003 . S2CID 15562617 .
^ Галан, Дж .; Фрейре, Э. (1999). «Хаос в модели среднего поля связанных квантовых ям; бифуркации периодических орбит в симметричной гамильтоновой системе». Доклады по математической физике . 44 (1–2): 87–94. Bibcode : 1999RpMP ... 44 ... 87G . DOI : 10.1016 / S0034-4877 (99) 80148-7 .
^ Kleppner, D .; Делос, Дж. Б. (2001). «За пределами квантовой механики: выводы из работ Мартина Гуцвиллера». Основы физики . 31 (4): 593–612. DOI : 10,1023 / A: 1017512925106 . S2CID 116944147 .
^ Gutzwiller, Martin C. (1990). Хаос в классической и квантовой механике . Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97173-5.
использованная литература
Афраймович ВС; Арнольд, VI ; и другие. (1994). Теория бифуркаций и теория катастроф . ISBN 978-3-540-65379-0.
Guardia, M .; Мартинес-Сеара, М .; Тейшейра, Массачусетс (2011). Типичные бифуркации малой коразмерности плоских систем Филиппова . "Журнал дифференциальных уравнений", Февраль 2011, т. 250, шт. 4. С. 1967–2023. DOI: 10.1016 / j.jde.2010.11.016
Виггинс, Стивен (1988). Глобальные бифуркации и хаос: аналитические методы . Нью-Йорк: Спрингер. ISBN 978-0-387-96775-2.
внешние ссылки
Нелинейная динамика
Бифуркации и двумерные потоки Элмера Г. Винса
Введение в теорию бифуркаций Джона Дэвида Кроуфорда