Теория Флоке - это раздел теории обыкновенных дифференциальных уравнений, относящийся к классу решений периодических линейных дифференциальных уравнений вида
с участием кусочно - непрерывная периодическая функция с периодом и определяет состояние устойчивости решений.
Основная теорема теории Флоке, теорема Флоке , принадлежащая Гастону Флоке ( 1883 г. ), дает каноническую форму для каждого фундаментального матричного решения этой общей линейной системы . Это дает изменение координаты с участием который преобразует периодическую систему в традиционную линейную систему с постоянными действительными коэффициентами .
Применительно к физическим системам с периодическими потенциалами, таким как кристаллы в физике конденсированного состояния , результат известен как теорема Блоха .
Обратите внимание, что решения линейного дифференциального уравнения образуют векторное пространство. Матрицаназывается фундаментальным матричным решением, если все столбцы являются линейно независимыми решениями. Матрицаназывается решением главной фундаментальной матрицы, если все столбцы являются линейно независимыми решениями и существует такой, что это личность. Основная фундаментальная матрица может быть построена из фундаментальной матрицы, используя. Решение линейного дифференциального уравнения с начальным условием является где - любое фундаментальное матричное решение.
Теорема Флоке
Позволять - линейное дифференциальное уравнение первого порядка, где вектор-столбец длины а также ан периодическая матрица с периодом (это для всех реальных значений ). Позволять- фундаментальное матричное решение этого дифференциального уравнения. Тогда для всех,
Здесь
называется матрицей монодромии . Кроме того, для каждой матрицы (возможно, сложный) такой, что
есть периодический (период ) матричная функция такой, что
Также есть реальная матрицаи реальный периодический (период-) матричная функция такой, что
В приведенном выше , , а также находятся матрицы.
Последствия и приложения
Это отображение вызывает зависящее от времени изменение координат (), при котором наша исходная система становится линейной системой с действительными постоянными коэффициентами . Снепрерывна и периодична, она должна быть ограничена. Таким образом, устойчивость нулевого решения для а также определяется собственными значениями .
Представление называется нормальной формой Флоке фундаментальной матрицы.
В собственных изназываются характеристическими множителями системы. Они также являются собственными значениями (линейных) отображений Пуанкаре . Показатель Флоке (иногда называемый характеристическим показателем) - это комплексный такой, что - характеристический множитель системы. Обратите внимание, что показатели Флоке не уникальны, поскольку, где целое число. Действительные части показателей Флоке называются показателями Ляпунова . Нулевое решение асимптотически устойчиво, если все показатели Ляпунова отрицательны, устойчиво по Ляпунову, если показатели Ляпунова неположительны, и неустойчиво в противном случае.
- Теория Флоке очень важна для изучения динамических систем .
- Теория Флоке показывает устойчивость дифференциального уравнения Хилла (введенного Джорджем Уильямом Хиллом ), приближающим движение Луны как гармонического осциллятора в периодическом гравитационном поле .
- Разупрочнение и упрочнение связи в интенсивных лазерных полях можно описать с помощью решений, полученных из теоремы Флоке.
Рекомендации
- С. Чикон. Обыкновенные дифференциальные уравнения с приложениями. Спрингер-Верлаг, Нью-Йорк, 1999.
- Экеланд, Ивар (1990). "Один". Методы выпуклости в гамильтоновой механике . Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете (3) [Результаты по математике и смежным областям (3)]. 19 . Берлин: Springer-Verlag. С. x + 247. ISBN 3-540-50613-6. Руководство по ремонту 1051888 .
- Флоке, Гастон (1883 г.), «Sur les équations différentielles linéaires à coefficients périodiques» (PDF) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , 12 : 47–88, doi : 10.24033 / asens.220
- Красносельский М.А. (1968), Оператор переноса по траекториям дифференциальных уравнений , Провиденс : Американское математическое общество., Перевод математических монографий, 19, 294с.
- В. Магнус, С. Винклер. Уравнение Хилла , Dover-Phoenix Editions, ISBN 0-486-49565-5 .
- Н. В. Маклахлан, Теория и применение функций Матье , Нью-Йорк: Довер, 1964.
- Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.
- MSP Eastham, "Спектральная теория периодических дифференциальных уравнений", Тексты по математике, Scottish Academic Press, Эдинбург, 1973. ISBN 978-0-7011-1936-2 .
Внешние ссылки
- "Теория Флоке" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]