Этот раздел
требует дополнительных ссылок для проверки .
Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. ( Октябрь 2017 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )
В теории бифуркаций , области математики , бифуркация вил - это особый тип локальной бифуркации, при которой система переходит от одной фиксированной точки к трем фиксированным точкам. Бифуркации вил, как и бифуркации Хопфа, бывают двух типов - сверхкритические и докритические.
В непрерывных динамических системах, описываемых ОДУ, т. Е. Потоками, бифуркации вил обычно возникают в системах с симметрией .
Сверхкритический случай [ править ] Сверхкритический случай: сплошные линии представляют устойчивые точки, пунктирные линии - неустойчивые.
Нормальная форма сверхкритических вил бифуркации
d Икс d т знак равно р Икс - Икс 3 . {\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = rx-x ^ {3}.} Для существует одно устойчивое равновесие при . Ибо существует неустойчивое равновесие в точке и два устойчивых состояния равновесия в точке . р < 0 {\ displaystyle r <0} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0} р > 0 {\ displaystyle r> 0} Икс знак равно 0 {\ displaystyle x = 0} Икс знак равно ± р {\displaystyle x=\pm {\sqrt {r}}}
Докритический случай [ править ] Докритический случай: сплошная линия представляет устойчивую точку, пунктирная линия - неустойчивую.
Нормальная форма для докритических случае
d x d t = r x + x 3 . {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=rx+x^{3}.} В этом случае для равновесия при устойчиво, и имеется два неустойчивых состояния равновесия при . Ибо равновесие при неустойчиво. r < 0 {\displaystyle r<0} x = 0 {\displaystyle x=0} x = ± − r {\displaystyle x=\pm {\sqrt {-r}}} r > 0 {\displaystyle r>0} x = 0 {\displaystyle x=0}
Формальное определение [ править ] ОДУ
x ˙ = f ( x , r ) {\displaystyle {\dot {x}}=f(x,r)\,} описывается однопараметрической функцией с удовлетворением: f ( x , r ) {\displaystyle f(x,r)} r ∈ R {\displaystyle r\in \mathbb {R} }
− f ( x , r ) = f ( − x , r ) {\displaystyle -f(x,r)=f(-x,r)\,\,} нечетная функция ), ∂ f ∂ x ( 0 , r 0 ) = 0 , ∂ 2 f ∂ x 2 ( 0 , r 0 ) = 0 , ∂ 3 f ∂ x 3 ( 0 , r 0 ) ≠ 0 , ∂ f ∂ r ( 0 , r 0 ) = 0 , ∂ 2 f ∂ r ∂ x ( 0 , r 0 ) ≠ 0. {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f}{\partial x}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0})&\neq 0,\\[5pt]{\frac {\partial f}{\partial r}}(0,r_{0})&=0,&{\frac {\partial ^{2}f}{\partial r\partial x}}(0,r_{0})&\neq 0.\end{aligned}}} имеет вилы раздвоение в . Форма вил задается знаком третьей производной: ( x , r ) = ( 0 , r 0 ) {\displaystyle (x,r)=(0,r_{0})}
∂ 3 f ∂ x 3 ( 0 , r 0 ) { < 0 , supercritical > 0 , subcritical {\displaystyle {\frac {\partial ^{3}f}{\partial x^{3}}}(0,r_{0}){\begin{cases}<0,&{\text{supercritical}}\\>0,&{\text{subcritical}}\end{cases}}\,\,} Обратите внимание, что субкритический и сверхкритический описывают стабильность внешних линий вил (пунктирная или сплошная, соответственно) и не зависят от того, в каком направлении обращены вилы. Например, негатив первого ОДУ, приведенного выше, обращен в том же направлении, что и первое изображение, но меняет устойчивость. x ˙ = x 3 − r x {\displaystyle {\dot {x}}=x^{3}-rx}
Стивен Строгац, Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и инженерии , Perseus Books, 2000. С. Виггинс, Введение в прикладные нелинейные динамические системы и хаос , Springer-Verlag, 1990. 
![{\ displaystyle {\ begin {align} {\ frac {\ partial f} {\ partial x}} (0, r_ {0}) & = 0, & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ частичный x ^ {2}}} (0, r_ {0}) & = 0, & {\ frac {\ partial ^ {3} f} {\ partial x ^ {3}}} (0, r_ {0} ) & \ neq 0, \\ [5pt] {\ frac {\ partial f} {\ partial r}} (0, r_ {0}) & = 0, & {\ frac {\ partial ^ {2} f} {\ partial r \ partial x}} (0, r_ {0}) & \ neq 0. \ end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb87e9f9c13342c6325201202b51d75fd8aa0783)
