Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Март 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
В математике , в частности , в исчислении , А стационарная точка из дифференцируемой функции одной переменной является точка на графике функции , где функция по производной равна нулю. [1] [2] [3] Неформально, это точка, в которой функция «перестает» увеличиваться или уменьшаться (отсюда и название).
Для дифференцируемой функции нескольких действительных переменных точка покоя - это точка на поверхности графика, где все ее частные производные равны нулю (эквивалентно, градиент равен нулю).
Стационарные точки легко визуализировать на графике функции одной переменной: они соответствуют точкам на графике , где касательная горизонтальна (т.е. параллельно к х Оу ). Для функции двух переменных они соответствуют точкам на графике, где касательная плоскость параллельна плоскости xy .
Поворотные моменты [ править ]
Точка поворота - это точка, в которой производная меняет знак. [2] Точка поворота может быть либо относительным максимумом, либо относительным минимумом (также известным как локальный минимум и максимум). Если функция дифференцируема, то точка поворота - это стационарная точка; однако не все стационарные точки являются поворотными. Если функция дважды дифференцируема, стационарные точки, не являющиеся точками поворота, являются точками горизонтального перегиба . Например, функция имеет точку покоя при x = 0 , которая также является точкой перегиба, но не точкой поворота. [3]
Классификация [ править ]
Изолированные стационарные точки вещественнозначной функции классифицируются по первому критерию производной на четыре типа :
- локальный минимум ( минимальный поворотный момент или относительный минимум ) является одним где производная функции изменяется от отрицательного к положительному;
- локальный максимум ( максимальная поворотная точка или относительный максимум ) является тот , где производная функции изменяется от положительного до отрицательного;
- восходящая точка перегиба (или перегиба ) - это точка, в которой производная функции положительна по обе стороны от стационарной точки; такая точка отмечает изменение вогнутости ;
- нисходящая точка перегиба (или перегиба ) - это точка, в которой производная функции отрицательна по обе стороны от стационарной точки; такая точка отмечает изменение вогнутости.
Первые два варианта известны как « локальные экстремумы ». Точно так же точка, которая является либо глобальным (или абсолютным) максимумом, либо глобальным (или абсолютным) минимумом, называется глобальным (или абсолютным) экстремумом. Последние два варианта - стационарные точки, не являющиеся локальным экстремумом - известны как седловые точки .
По теореме Ферма глобальные экстремумы должны возникать (для функции) на границе или в стационарных точках.
Набросок кривой [ править ]
Определение положения и характера стационарных точек помогает при построении кривых дифференцируемых функций. Решение уравнения f ' ( x ) = 0 возвращает координаты x всех стационарных точек; то у -координаты тривиальна значение функции у тех х -координат. В некоторых случаях специфику стационарной точки в x можно определить, исследуя вторую производную f '' ( x ):
- Если f '' ( x ) <0, точка покоя в x вогнута вниз; максимальный экстремум.
- Если f '' ( x )> 0, точка покоя в x вогнута вверх; минимальный экстремум.
- Если f '' ( x ) = 0, характер стационарной точки должен быть определен другими способами, часто по изменению знака вокруг этой точки.
Более простой способ определить характер стационарной точки - изучить значения функции между стационарными точками (если функция определена и непрерывна между ними).
Простым примером точки перегиба является функция f ( x ) = x 3 . Наблюдается явное изменение вогнутости около точки x = 0, и мы можем доказать это с помощью математического анализа . Вторая производная от f - это всюду непрерывную 6 x , а при x = 0 f ′ ′ = 0, и знак вокруг этой точки меняется. Итак, x = 0 - точка перегиба.
В более общем смысле, стационарные точки вещественнозначной функции - это те точки x 0, где производная в каждом направлении равна нулю, или, что эквивалентно, градиент равен нулю.
Пример [ править ]
Для функции f ( x ) = x 4 имеем f ' (0) = 0 и f' ' (0) = 0. Даже если f' ' (0) = 0, эта точка не является точкой перегиба. Причина в том, что знак f ' ( x ) меняется с отрицательного на положительный.
Для функции f ( x ) = sin ( x ) имеем f ' (0) ≠ 0 и f' ' (0) = 0. Но это не стационарная точка, а точка перегиба. Это потому, что вогнутость меняется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f ' ( x ) не меняется; он остается положительным.
Для функции f ( x ) = x 3 имеем f ' (0) = 0 и f' ' (0) = 0. Это как стационарная точка, так и точка перегиба. Это потому, что вогнутость меняется с вогнутой вниз на вогнутую вверх, а знак f ' ( x ) не меняется; он остается положительным.
См. Также [ править ]
- Оптимизация (математика)
- Теорема Ферма
- Производный тест
- Фиксированная точка (математика)
- Точка перевала
Ссылки [ править ]
- Перейти ↑ Chiang, Alpha C. (1984). Фундаментальные методы математической экономики (3-е изд.). Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 236 . ISBN 0-07-010813-7.
- ^ a b Сэддлер, Дэвид; Ши, Джулия; Уорд, Дерек (2011), «12 B стационарных точек и поворотных точек» , Cambridge 2 Unit Mathematics Year 11 , Cambridge University Press, стр. 318, ISBN 9781107679573
- ^ a b «Поворотные и стационарные точки» . Библиотека практических рекомендаций по математике для старших классов TCS FREE. Проверено 30 октября 2011 года .
Внешние ссылки [ править ]
- Точки перегиба четвертой степени многочленов - удивительное появление золотого сечения в вырезе на-узле