Транскритическая бифуркация

В теории бифуркаций , поле в математике , транскритическая бифуркация - это особый вид локальной бифуркации , что означает, что она характеризуется равновесием, имеющим собственное значение , действительная часть которого проходит через ноль.

Нормальная форма транскритической бифуркации, где r изменяется от −5 до 5.

Транскритическая бифуркация - это бифуркация, при которой фиксированная точка существует для всех значений параметра и никогда не разрушается. Однако такая фиксированная точка меняет местами свою устойчивость с другой фиксированной точкой при изменении параметра. ^[1] Другими словами, как до, так и после бифуркации есть одна нестабильная и одна стабильная неподвижные точки. Однако их устойчивость меняется при столкновении. Таким образом, нестабильная фиксированная точка становится устойчивой, и наоборот.

Нормальная форма из закритической бифуркации

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = rx-x ^ {2}.}

Это уравнение похоже на логистическое уравнение , но в этом случае мы допускаем, чтобы и было положительным или отрицательным (в то время как в логистическом уравнении и должно быть неотрицательным). Две фиксированные точки находятся в точках и . Когда параметр отрицательный, фиксированная точка стабильна, а фиксированная точка нестабильна. Но для точка в нестабильна, а точка в стабильна. Итак, бифуркация происходит при . ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = r}$ ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = r}$ ${\ displaystyle r> 0}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle x = r}$ $r=0$

Типичным примером (в реальной жизни) может быть проблема потребителя-производителя, когда потребление пропорционально (количеству) ресурса.

Например:

{\frac {dx}{dt}}=rx(1-x)-px,

где

$rx(1-x)$ - логистическое уравнение роста ресурсов; и
$px$ потребление, пропорциональное ресурсу . $x$

Ссылки [ править ]

^ Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Боулдер: Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.

[1] Строгац, Стивен (2001). Нелинейная динамика и хаос: с приложениями к физике, биологии, химии и технике . Боулдер: Westview Press. ISBN 0-7382-0453-6.

[1]