Бифуркация седло-узел

В математической области теории бифуркации седло-узловая бифуркация , тангенциальная бифуркации или складка бифуркации является локальным бифуркацией , в котором две фиксированные точки (или равновесия ) из динамической системы сталкиваются и уничтожают друг друга. Термин «бифуркация седло-узел» чаще всего используется в отношении непрерывных динамических систем. В дискретных динамических системах одну и ту же бифуркацию часто называют бифуркацией складок . Другое название - бифуркация голубого неба по отношению к внезапному созданию двух фиксированных точек. ^[1]

Если фазовое пространство одномерно, одна из точек равновесия неустойчива (седло), а другая устойчива (узел).

Бифуркации седло-узел могут быть связаны с петлями гистерезиса и катастрофами .

Нормальная форма [ править ]

Типичный пример дифференциального уравнения с бифуркацией седло-узел:

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = r + x ^ {2}.}

Вот переменная состояния и параметр бифуркации. ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle r}$

Если есть две точки равновесия, стабильная точка равновесия в и нестабильная точка в . ${\ displaystyle r <0}$ ${\ displaystyle - {\ sqrt {-r}}}$ ${\ displaystyle + {\ sqrt {-r}}}$
В (точке бифуркации) ровно одна точка равновесия. В этот момент неподвижная точка больше не является гиперболической . В этом случае неподвижная точка называется неподвижной точкой седло-узел. ${\ displaystyle r = 0}$
Если нет точек равновесия. ^[2] ${\ displaystyle r> 0}$

Воспроизвести медиа

Раздвоение седловидного узла

По сути, это нормальная форма бифуркации седло-узел. Скалярное дифференциальное уравнение , которое имеет неподвижную точку в течение с локально топологически эквивалентны , чтобы , при условии , что удовлетворяет и . Первое условие - это условие невырожденности, второе - условие трансверсальности. ^[3] ${\ displaystyle {\ tfrac {dx} {dt}} = f (r, x)}$ ${\ displaystyle x = 0}$ ${\ displaystyle r = 0}$ ${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial f} {\ partial x}} (0,0) = 0}$ ${\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = r \ pm x ^ {2}}$ ${\tfrac {\partial ^{2}\!f}{\partial x^{2}}}(0,0)\neq 0$ ${\tfrac {\partial f}{\partial r}}(0,0)\neq 0$

Пример в двух измерениях [ править ]

Фазовый портрет, показывающий бифуркацию седло-узел

Пример бифуркации седло-узел в двух измерениях происходит в двумерной динамической системе:

{\frac {dx}{dt}}=\alpha -x^{2}

{\frac {dy}{dt}}=-y.

Как видно из анимации, полученной при построении фазовых портретов с изменением параметра , $\alpha$

Когда отрицательно, точек равновесия нет. $\alpha$
Когда есть седло-узловая точка. $\alpha =0$
Когда положительно, есть две точки равновесия: одна седловая точка и один узел (либо аттрактор, либо репеллер). $\alpha$

Бифуркация седло-узел также происходит в уравнении потребителя (см. Транскритическая бифуркация ), если член потребления изменяется с на , то есть скорость потребления постоянна, а не пропорциональна ресурсу . $px$ $p$ $x$

Другие примеры - моделирование биологических переключателей. ^[4] Недавно было показано, что при определенных условиях полевые уравнения Эйнштейна общей теории относительности имеют ту же форму, что и бифуркация складки. ^[5] Неавтономная версия бифуркации седло-узел (т. Е. Параметр зависит от времени) также была изучена. ^[6]

См. Также [ править ]

Заметки [ править ]

^ Строгац 1994 , стр. 47.
↑ Кузнецов, 1998 , с. 80–81.
^ Кузнецов 1998 , теоремы 3.1 и 3.2.
^ Чонг, Кет Хинг; Самарасингхе, Сандхья; Куласири, Дон; Чжэн, Цзе (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей . 21-й Международный конгресс по моделированию и симуляции. ЛВП : 10220/42793 .
^ Коли, Икджйот Сингх; Хаслам, Майкл С (2018). «Полевые уравнения Эйнштейна как бифуркация складки». Журнал геометрии и физики . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Bibcode : 2018JGP ... 123..434K . DOI : 10.1016 / j.geomphys.2017.10.001 .
^ Ли, Иеремия H .; Е., Феликс Х. -Ф .; Цянь, Хун; Хуан, Суй (2019-08-01). «Зависящая от времени бифуркация седло – узел: время разрыва и точка невозврата в неавтономной модели критических переходов». Physica D: нелинейные явления . 395 : 7–14. arXiv : 1611.09542 . DOI : 10.1016 / j.physd.2019.02.005 . ISSN 0167-2789 .

Ссылки [ править ]

Кузнецов, Юрий А. (1998). Элементы прикладной теории бифуркаций (Второе изд.). Springer. ISBN 0-387-98382-1.
Строгац, Стивен Х. (1994). Нелинейная динамика и хаос . Эддисон Уэсли. ISBN 0-201-54344-3.
Вайсштейн, Эрик В. «Складная бифуркация» . MathWorld .
Чонг, KH; Samarasinghe, S .; Куласири, Д .; Чжэн, Дж. (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей . В Weber, T., McPhee, MJ и Anderssen, RS (eds) MODSIM2015, 21-й Международный конгресс по моделированию и имитационному моделированию (MODSIM 2015). Общество моделирования и моделирования Австралии и Новой Зеландии, декабрь 2015 г., стр. 578-584. ISBN 978-0-9872143-5-5.
Коли, Икджйот Сингх; Хаслам, Майкл С. (2018). Уравнения поля Эйнштейна как кратная бифуркация . Journal of Geometry and Physics Volume 123, январь 2018, страницы 434-437.

[FOOTNOTEStrogatz199447-1] Строгац 1994 , стр. 47.

[FOOTNOTEKuznetsov199880–81-2] Кузнецов, 1998 , с. 80–81.

[FOOTNOTEKuznetsov1998Theorems_3.1_and_3.2-3] Кузнецов 1998 , теоремы 3.1 и 3.2.

[4] Чонг, Кет Хинг; Самарасингхе, Сандхья; Куласири, Дон; Чжэн, Цзе (2015). Вычислительные методы математического моделирования биологических переключателей . 21-й Международный конгресс по моделированию и симуляции. ЛВП : 10220/42793 .

[5] Коли, Икджйот Сингх; Хаслам, Майкл С (2018). «Полевые уравнения Эйнштейна как бифуркация складки». Журнал геометрии и физики . 123 : 434–7. arXiv : 1607.05300 . Bibcode : 2018JGP ... 123..434K . DOI : 10.1016 / j.geomphys.2017.10.001 .

[6] Ли, Иеремия H .; Е., Феликс Х. -Ф .; Цянь, Хун; Хуан, Суй (2019-08-01). «Зависящая от времени бифуркация седло – узел: время разрыва и точка невозврата в неавтономной модели критических переходов». Physica D: нелинейные явления . 395 : 7–14. arXiv : 1611.09542 . DOI : 10.1016 / j.physd.2019.02.005 . ISSN 0167-2789 .

[1]