Теория катастроф

Эта статья может быть слишком технической для понимания большинства читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технических деталей. ( Сентябрь 2018 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , теории катастроф является ветвью теории бифуркаций в исследовании динамических систем ; это также частный частный случай более общей теории особенностей в геометрии .

Теория бифуркаций изучает и классифицирует явления, характеризующиеся внезапными сдвигами в поведении, возникающими из-за небольших изменений обстоятельств, анализируя, как качественный характер решений уравнения зависит от параметров, которые появляются в уравнении. Это может привести к внезапным и драматическим изменениям, например, к непредсказуемым временным и масштабным изменениям оползня .

Теория катастроф возникла в результате работ французского математика Рене Тома в 1960-х годах и стала очень популярной благодаря усилиям Кристофера Зеемана в 1970-х. Он рассматривает частный случай, когда долгосрочное устойчивое равновесие может быть идентифицировано как минимум гладкой, хорошо определенной потенциальной функции ( функция Ляпунова ).

Небольшие изменения некоторых параметров нелинейной системы могут вызывать появление или исчезновение равновесий или переход от притяжения к отталкиванию и наоборот, что приводит к большим и внезапным изменениям поведения системы. Однако при рассмотрении в более широком пространстве параметров теория катастроф показывает, что такие точки бифуркации имеют тенденцию возникать как часть четко определенных качественных геометрических структур.

Элементарные катастрофы [ править ]

Теория катастроф анализирует вырожденные критические точки потенциальной функции - точки, в которых не только первая производная, но и одна или несколько высших производных потенциальной функции также равны нулю. Их называют ростками геометрий катастроф. Вырождение этих критических точек можно раскрыть , разложив потенциальную функцию в ряд Тейлора по малым возмущениям параметров.

Когда вырожденные точки не просто случайны, но структурно устойчивы , вырожденные точки существуют как организующие центры для определенных геометрических структур более низкого вырождения с критическими особенностями в пространстве параметров вокруг них. Если потенциальная функция зависит от двух или менее активных переменных и четырех или менее активных параметров, то существует только семь общих структур для этих бифуркационных геометрий с соответствующими стандартными формами, в которые ряд Тейлора вокруг зародышей катастрофы может быть преобразован с помощью диффеоморфизма ( гладкое преобразование, обратное которому также гладко). ^{[ необходима цитата ]} Эти семь основных типов теперь представлены с именами, которые дал им Том.

Возможные функции одной активной переменной [ править ]

Теория катастроф изучает динамические системы, которые описывают эволюцию ^[1] переменной состояния во времени : ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle t}$

${\ displaystyle {\ dot {x}} = {\ dfrac {dx} {dt}} = - {\ dfrac {dV (u, x)} {dx}}}$

В приведенном выше уравнении, называется потенциальной функцией и часто является вектором или скаляром, который параметризирует потенциальную функцию. Значение может изменяться со временем, и его также можно назвать управляющей переменной. В следующих примерах такими элементами управления являются такие параметры (альтернативно записываемые как a, b). ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle u}$ ${\ displaystyle a, b}$

Сложите катастрофу [ править ]

Стабильная и неустойчивая пара экстремумов исчезают при бифуркации складок

{\ Displaystyle V = х ^ {3} + топор \,}

Когда a <0, потенциал V имеет два экстремума - устойчивый и неустойчивый. Если параметр a медленно увеличивать, система может следовать за стабильной точкой минимума. Но при a = 0 устойчивый и неустойчивый экстремумы встречаются и аннигилируют. Это точка бифуркации. При a > 0 устойчивого решения уже нет. Если проследить физическую систему через бифуркацию складок, то обнаружится, что когда a достигает 0, стабильность решения a <0 внезапно теряется, и система совершает внезапный переход к новому, совершенно другому поведению. Это значение бифуркации параметра a иногда называют « переломным моментом ».

Катастрофа на пороге [ править ]

{\ displaystyle V = x ^ {4} + ax ^ {2} + bx \,}

Диаграмма каспа катастрофы, показывающая кривые (коричневый, красный) x, удовлетворяющие dV / dx = 0 для параметров ( a , b ), построенная для параметра b, постоянно меняющегося, для нескольких значений параметра a . Вне точки возврата бифуркаций (синий) для каждой точки ( a , b ) в пространстве параметров существует только одно экстремальное значение x . Внутри точки возврата есть два разных значения x, дающие локальные минимумы V ( x ) для каждого ( a , b), разделенные значением x, дающим локальный максимум.

Форма острия в пространстве параметров ( a , b ) вблизи точки катастрофы, показывающая место бифуркаций складок, отделяющих область с двумя устойчивыми решениями от области с одним.

Бифуркация вил при a = 0 на поверхности b = 0

Геометрия выступа очень распространена, когда кто-то исследует, что происходит с бифуркацией складки, если второй параметр, b , добавляется в пространство управления. Варьируя параметры, можно обнаружить, что теперь есть кривая (синяя) точек в пространстве ( a , b ), где устойчивость теряется, где устойчивое решение внезапно перейдет к альтернативному исходу.

Но в геометрии каспа бифуркационная кривая зацикливается на себе, давая вторую ветвь, где это альтернативное решение само теряет устойчивость и совершает прыжок обратно к исходному набору решений. Таким образом, многократно увеличивая b и затем уменьшая его, можно наблюдать петли гистерезиса , когда система поочередно следует за одним решением, перескакивает к другому, следует за другим назад, а затем возвращается к первому.

Однако это возможно только в области пространства параметров a <0 . При увеличении a петли гистерезиса становятся все меньше и меньше, пока выше a = 0 они не исчезнут совсем (катастрофа каспа), и есть только одно устойчивое решение.

Можно также рассмотреть, что произойдет, если оставить b постоянным и изменить a . В симметричном случае Ь = 0 , наблюдается вилы бифуркации , как уменьшается, с одного устойчивого решения внезапно расщепления в двух стабильных растворов и одного нестабильного раствора , как физическая система переходит к <0 через точку возврата (0,0) (пример спонтанного нарушения симметрии ). Вдали от точки возврата не происходит внезапного изменения физического решения, которому следует следовать: при прохождении кривой бифуркаций складок все, что происходит, - это альтернативное второе решение, которое становится доступным.

Известное предположение состоит в том, что катастрофу на острие куспида можно использовать для моделирования поведения собаки, находящейся в стрессовом состоянии, которая может отреагировать испуганной или рассерженной. ^[2] Предполагается, что при умеренном стрессе ( a > 0 ) собака будет демонстрировать плавный переход от запуганной к сердитой, в зависимости от того, как ее спровоцировать. Но более высокие уровни напряжения соответствуют перемещению в область ( a <0 ). Затем, если собака начинает запугиваться, она будет оставаться запуганной, поскольку ее раздражает все больше и больше, пока не достигнет точки «изгиба», когда она внезапно, прерывисто перейдет в режим гнева. Находясь в режиме «злость», он останется злым, даже если параметр прямого раздражения значительно уменьшится.

Простая механическая система, «машина катастрофы Зеемана», прекрасно иллюстрирует катастрофу на острие. В этом устройстве плавные изменения положения конца пружины могут вызывать внезапные изменения положения вращения прикрепленного колеса. ^[3]

Катастрофический отказ сложной системы с параллельным резервированием можно оценить на основе соотношения между локальными и внешними напряжениями. Модель структурной механики разрушения аналогична поведению катастрофы каспа. Модель предсказывает резервные возможности сложной системы.

Другие приложения включают перенос электронов во внешнюю сферу, часто встречающийся в химических и биологических системах ^[4], и моделирование цен на недвижимость. ^[5]

Бифуркации складок и геометрия каспа на сегодняшний день являются наиболее важными практическими следствиями теории катастроф. Это закономерности, которые повторяются снова и снова в физике, инженерии и математическом моделировании. Они создают явления сильного гравитационного линзирования и предоставляют астрономам один из методов, используемых для обнаружения черных дыр и темной материи Вселенной, посредством явления гравитационного линзирования, дающего множественные изображения далеких квазаров . ^[6]

Остальные простые геометрии катастроф очень специализированы для сравнения и представлены здесь только из соображений любопытства.

Катастрофа с ласточкиным хвостом [ править ]

Поверхность катастрофы Махаон

{\ displaystyle V = x ^ {5} + ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx \,}

Пространство управляющих параметров трехмерное. Множество бифуркаций в пространстве параметров состоит из трех поверхностей бифуркаций складок, которые встречаются в двух линиях бифуркаций каспа, которые, в свою очередь, встречаются в одной точке бифуркации ласточкиного хвоста.

При прохождении параметров через поверхность бифуркаций складок один минимум и один максимум потенциальной функции исчезают. При бифуркациях каспа два минимума и один максимум заменяются одним минимумом; за ними исчезают бифуркации складок. В точке «ласточкин хвост» два минимума и два максимума встречаются при одном значении x . Для значений a > 0 , за пределами ласточкиного хвоста, существует либо одна пара максимум-минимум, либо вообще отсутствует, в зависимости от значений b и c . Две поверхности бифуркаций складок и две линии бифуркаций возврата, где они встречаются при a <0, поэтому исчезают в точке ласточкиного хвоста, заменяясь единственной поверхностью бифуркаций складок. Последняя картина Сальвадора Дали , «Ласточкин хвост» , была основана на этой катастрофе.

Катастрофа бабочки [ править ]

{\ displaystyle V = x ^ {6} + ax ^ {4} + bx ^ {3} + cx ^ {2} + dx \,}

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один разные локальные минимумы, разделенные локусами бифуркаций складок. В точке «бабочка» различные 3-поверхности бифуркаций складок, 2-поверхности бифуркаций бугров и линии бифуркаций «ласточкин хвост» встречаются и исчезают, оставляя единственную структуру бугорков, остающуюся при a > 0 .

Возможные функции двух активных переменных [ править ]

Поверхность с гиперболической омбиликой и ее фокальной поверхностью. Гиперболическая пупочная катастрофа - только верхняя часть этого изображения.

Поверхность с эллиптической омбиликой и ее фокальная поверхность. Эллиптическая пупочная катастрофа - только верхняя часть этого изображения.

Пуповинные катастрофы - примеры катастроф второго ранга. Их можно наблюдать в оптике на фокальных поверхностях, создаваемых отражением света от поверхности в трех измерениях, и они тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей: точкой пупка . Том предположил, что гиперболическая пупочная катастрофа моделирует обрушение волны, а эллиптическая пуповина моделирует создание волосоподобных структур.

Гиперболическая пупочная катастрофа [ править ]

{\ Displaystyle V = х ^ {3} + y ^ {3} + axy + bx + cy \,}

Эллиптическая пупочная катастрофа [ править ]

{\ displaystyle V = {\ frac {x ^ {3}} {3}} - xy ^ {2} + a (x ^ {2} + y ^ {2}) + bx + cy \,}

Параболическая пупочная катастрофа [ править ]

{\ displaystyle V = x ^ {2} y + y ^ {4} + ax ^ {2} + by ^ {2} + cx + dy \,}

Обозначения Арнольда [ править ]

Владимир Арнольд дал катастрофам классификацию ADE из-за глубокой связи с простыми группами Ли . ^{[ необходима цитата ]}

₀ - невырожденная точка: . ${\ Displaystyle V = х}$
A ₁ - локальный экстремум, либо устойчивый минимум, либо неустойчивый максимум . ${\ displaystyle V = \ pm x ^ {2} + ax}$
А ₂ - складка
А ₃ - куспид
А ₄ - Махаон
А ₅ - бабочка
A _k - представитель бесконечной последовательности форм одной переменной ${\ Displaystyle V = х ^ {к + 1} + \ cdots}$
D ₄^- - эллиптический шлангокабель
D ₄⁺ - гиперболическая омбилика
D ₅ - параболическая пуповина
D _k - представитель бесконечной последовательности дальнейших омбилических форм
E ₆ - символическая пуповина $V=x^{3}+y^{4}+axy^{2}+bxy+cx+dy+ey^{2}$
E ₇
E ₈

В теории особенностей есть объекты, соответствующие большинству других простых групп Ли.

См. Также [ править ]

Нарушенная симметрия
Эффект бабочки
Теория хаоса
эффект домино
Точка перегиба
Морфология
Фаза перехода
Прерывистое равновесие
Спонтанное нарушение симметрии
Эффект снежного кома

Ссылки [ править ]

^ Wagenmakers, EJ; ван дер Маас, HLJ; Моленаар, PCM (2005). «Подгонка модели катастрофы куспида» . Cite journal requires |journal= (help)
^ EC Зееман , Теория катастроф , Scientific American , апрель 1976; С. 65–70, 75–83
^ Крест, Daniel J., Катастрофа машина Зеемана вспышка Архивированных 2012-12-11 в Archive.today
^ Сюй, F (1990). «Применение теории катастроф к отношениям ∆G ^≠ к -∆G в реакциях переноса электрона». Zeitschrift für Physikalische Chemie . Neue Folge. 166 : 79–91. DOI : 10.1524 / zpch.1990.166.Part_1.079 . S2CID 101078817 .
^ Белей, Мирослав; Кулеша, Славомир (2012). «Моделирование цен на недвижимость в Ольштыне в условиях нестабильности» . Folia Oeconomica Stetinensia . 11 (1): 61–72. DOI : 10.2478 / v10031-012-0008-7 .
^ О. Petters, Г. Левин и Дж Wambsganss Теория Singularity и Гравитационное Lensing», Birkhäuser Boston (2001)

Библиография [ править ]

Арнольд, Владимир Игоревич . Теория катастроф, 3-е изд. Берлин: Springer-Verlag, 1992.
Афраймович В.С. , Арнольд В.И. и др., Теория бифуркаций и теория катастроф, ISBN 3-540-65379-1
Белей, М. Кулеша С. Моделирование цен на недвижимость в Ольштыне в условиях нестабильности. Folia Oeconomica Stetinensia. Том 11, выпуск 1, страницы 61-72, ISSN (Интернет) 1898-0198, ISSN (Печать) 1730-4237, DOI : 10,2478 / v10031-012-0008-7 , 2013
Кастриджано, Доменико П.Л. и Хейс, Сандра А. Теория катастроф, 2-е изд. Боулдер: Westview, 2004. ISBN 0-8133-4126-4
Гилмор, Роберт. Теория катастроф для ученых и инженеров. Нью-Йорк: Довер, 1993.
Петтерс, Арли О., Левин, Гарольд и Вамбсгансс, Иоахим. Теория сингулярностей и гравитационное линзирование. Бостон: Birkhäuser, 2001. ISBN 0-8176-3668-4
Постле, Денис. Теория катастроф - прогнозируйте и избегайте личных катастроф. Фонтана в мягкой обложке, 1980. ISBN 0-00-635559-5
Постон, Тим и Стюарт, Ян . Катастрофа: теория и ее приложения. Нью-Йорк: Довер, 1998. ISBN 0-486-69271-X .
Саннс, Вернер. Теория катастроф с Mathematica: геометрический подход. Германия: DAV, 2000.
Сондерс, Питер Тимоти. Введение в теорию катастроф. Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета, 1980.
Том, Рене . Структурная стабильность и морфогенез: Очерк общей теории моделей. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, 1989. ISBN 0-201-09419-3 .
Томпсон, Дж. Майкл Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. Нью-Йорк: Wiley, 1982.
Вудкок, Александр Эдвард Ричард и Дэвис, Монте. Теория катастроф. Нью-Йорк: EP Dutton, 1978. ISBN 0-525-07812-6 .
Зееман, Е.К. Теория катастроф. Избранные статьи 1972–1977. Ридинг, Массачусетс: Аддисон-Уэсли, 1977.

Внешние ссылки [ править ]

CompLexicon: теория катастроф
Учитель катастроф
Java-симуляция машины-катастрофы Зеемана

[1] Wagenmakers, EJ; ван дер Маас, HLJ; Моленаар, PCM (2005). «Подгонка модели катастрофы куспида» . Cite journal requires |journal= (help)

[2] EC Зееман , Теория катастроф , Scientific American , апрель 1976; С. 65–70, 75–83

[3] Крест, Daniel J., Катастрофа машина Зеемана вспышка Архивированных 2012-12-11 в Archive.today

[4] Сюй, F (1990). «Применение теории катастроф к отношениям ∆G ^≠ к -∆G в реакциях переноса электрона». Zeitschrift für Physikalische Chemie . Neue Folge. 166 : 79–91. DOI : 10.1524 / zpch.1990.166.Part_1.079 . S2CID 101078817 .

[5] Белей, Мирослав; Кулеша, Славомир (2012). «Моделирование цен на недвижимость в Ольштыне в условиях нестабильности» . Folia Oeconomica Stetinensia . 11 (1): 61–72. DOI : 10.2478 / v10031-012-0008-7 .

[6] О. Petters, Г. Левин и Дж Wambsganss Теория Singularity и Гравитационное Lensing», Birkhäuser Boston (2001)

[1]