Приведение (математика)

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  Математика «редукции»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( январь 2021 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

В математике , сокращение относится к перезаписи в качестве выражения в более простую форму. Например, процесс преобразования дроби в одну с наименьшим возможным знаменателем целого числа (при сохранении целого числа в числителе) называется « уменьшением дроби ». Замена радикального (или «корневого») выражения наименьшим возможным целым числом под символом радикала называется «сокращением радикала». Сведение к минимуму числа радикалов, которые появляются под другими радикалами в выражении, называется радикалами денестирования .

Алгебра [ править ]

В линейной алгебре , сокращение относится к применению правил простых к серии уравнений или матриц , чтобы изменить их в более простую форму. В случае матриц процесс включает в себя манипулирование либо строками, либо столбцами матрицы и поэтому обычно называется сокращением строки или сокращением столбца соответственно. Часто цель сокращения состоит в том, чтобы преобразовать матрицу в ее « эшелонированную форму с сокращенными строками » или «форму с эшелонированными строками»; это цель исключения Гаусса .

Исчисление [ править ]

В исчислении , снижение относится к использованию техники интегрирования по частям для оценки интегралов , сводя их к более простым формам.

Статическое (гуйянское) уменьшение [ править ]

В динамическом анализе статическое сокращение означает уменьшение числа степеней свободы. Статическая редукция также может использоваться в анализе МКЭ для обозначения упрощения линейной алгебраической задачи. Так как статическая редукция требует нескольких шагов инверсии, это дорогостоящая матричная операция, которая может привести к некоторым ошибкам в решении. Рассмотрим следующую систему линейных уравнений в задаче МКЭ:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}\\K_{21}&K_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\end{bmatrix}}}$

где K и F известны, а K , x и F разделены на подматрицы, как показано выше. Если F ₂ содержит только нули и требуется только x ₁ , K можно уменьшить, чтобы получить следующую систему уравнений

${\displaystyle {\begin{bmatrix}K_{11,{\text{reduced}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{1}\end{bmatrix}}}$

K _{11, редуцированная} , получается записью системы уравнений следующим образом:

${\displaystyle K_{11}x_{1}+K_{12}x_{2}=F_{1}}$

( Уравнение 1 )

${\displaystyle K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}=0}$

( Уравнение 2 )

Уравнение ( 2 ) может быть решена (при условии , обратимость из ):${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle K_{22}}$

${\displaystyle -K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=x_{2}.}$

И подстановка в ( 1 ) дает

${\displaystyle K_{11}x_{1}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}x_{1}=F_{1}.}$

Таким образом

${\displaystyle K_{11,{\text{reduced}}}=K_{11}-K_{12}K_{22}^{-1}K_{21}.}$

Подобным образом любая строка / столбец i из F с нулевым значением может быть исключена, если соответствующее значение x _i нежелательно. Уменьшенный K может быть снова уменьшен. В качестве примечания, поскольку каждое сокращение требует инверсии, и каждая инверсия представляет собой операцию с вычислительными затратами , большинство больших матриц предварительно обрабатываются, чтобы сократить время вычисления.${\displaystyle O(n^{3})}$

История [ править ]

В 9 - м веке, персидский математик Аль-Хорезми «с Аль-Джабер введены основные понятия„сокращение“и„балансирования“, ссылаясь на транспозиции субтрагированных точки к другой стороне уравнения и отмены , как точки на противоположных стороны уравнения. Это операция, которую Аль-Хорезми первоначально назвал аль-Джабр . ^[1] Название « алгебра » происходит от слова « аль-джабр » в названии его книги.

Ссылки [ править ]