В математике , замкнутое многообразие является многообразием без края , что является компактным .
Для сравнения, открытое многообразие - это многообразие без края, которое имеет только некомпактные компоненты.
Примеры
Единственный связанный одномерный пример - это круг . Тор и бутылка Клейна закрыты. Линия не закрыта , потому что это не является компактным. Замкнутый круг компактен, но не является замкнутым многообразие , поскольку она имеет границу.
Открытые коллекторы
Для связного многообразия «открытое» эквивалентно «без края и некомпактное», но для несвязного многообразия открытое сильнее. Например, несвязное объединение окружности и прямой некомпактно, поскольку прямая некомпактна, но это не открытое многообразие, поскольку окружность (одна из ее компонент) компактна.
Злоупотребление языком
Большинство книги обычно определяют многообразие как пространство, локально, гомеоморфно в евклидово пространства (наряду с некоторыми другими техническими условиями), таким образом , по этому определению многообразие не включает его границы , когда он встроен в большем пространстве. Однако это определение не охватывает некоторые базовые объекты, такие как замкнутый диск , поэтому авторы иногда определяют многообразие с границей и оскорбительно говорят, что многообразие без ссылки на границу. Но обычно компактное многообразие (компактное относительно лежащей в основе топологии) может использоваться как синоним для замкнутого многообразия, если используется обычное определение многообразия.
Понятие замкнутого многообразия не связано с понятием замкнутого множества . Прямая - это замкнутое подмножество плоскости и многообразие, но не замкнутое многообразие.
Использование в физике
Понятие « замкнутая вселенная » может относиться к вселенной как к замкнутому многообразию, но, скорее, относится к вселенной как к многообразию постоянной положительной кривизны Риччи .
Рекомендации
- Майкл Спивак : Комплексное введение в дифференциальную геометрию. Том 1. 3-е издание с исправлениями. Publish or Perish, Хьюстон, Техас 2005, ISBN 0-914098-70-5 .