Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Гиперболический объем узла в форме восьмерки равен 2,0298832.

В математической области теории узлов , то гиперболический объем из гиперболического звена является объемом удерживающего звена дополнения относительно ее полной гиперболической метрики. Объем обязательно является конечным действительным числом и является топологическим инвариантом связи. [1] Как инвариант зацепления, он был впервые изучен Уильямом Терстоном в связи с его гипотезой геометризации . [2]

Узел и инвариант ссылки [ править ]

Гиперболическая ссылка является ссылкой на 3-сфере которого дополнение (пространство , образованное путем удаления ссылки из 3-сферы) может быть задана полной метрикой постоянной отрицательной кривизны , придавая ему структуру гиперболического 3-многообразия , фактор гиперболического пространства по группе, действующей на нем свободно и прерывно. Компоненты зацепления станут каспами 3-многообразия, а само многообразие будет иметь конечный объем. По жесткости Мостова, когда дополнение зацепления имеет гиперболическую структуру, эта структура определяется однозначно, и любые геометрические инварианты структуры также являются топологическими инвариантами зацепления. В частности, гиперболический объем дополнения является инвариантом узла . Чтобы сделать его четко определенным для всех узлов или звеньев, гиперболический объем негиперболического узла или звена часто определяется равным нулю.

Для любого заданного объема существует лишь конечное число гиперболических узлов. [2] мутация гиперболического узла будет иметь тот же объем, [3] , так что можно придумать примеры с равными объемами; действительно, существуют сколь угодно большие конечные множества различных узлов с равными объемами. [2] На практике гиперболический объем оказался очень эффективным для различения узлов, что использовалось в некоторых обширных усилиях по табулированию узлов . Компьютерная программа Джеффри Уикса SnapPea - это повсеместный инструмент, используемый для вычисления гиперболического объема ссылки. [1]

Узел / ссылкаОбъемСправка
Узел восьмерка[4]
Узел тройной скрутки2,82812[ необходима цитата ]
Стивидорный узел3,16396[ необходима цитата ]
6₂ узел4,40083[ необходима цитата ]
Бесконечный узел5,13794[ необходима цитата ]
Пара перко5,63877[ необходима цитата ]
6₃ узел5,69302[ необходима цитата ]
Кольца Борромео[4]

Произвольные многообразия [ править ]

В более общем смысле, гиперболический объем может быть определен для любого гиперболического 3-многообразия . Недель коллектор имеет наименьший возможный объем любого замкнутого многообразия (многообразия , что, в отличие от линии комплементов, не имеет острых выступов); его объем составляет примерно 0,9427. [5]

Терстон и Йоргенсен доказали, что множество действительных чисел, являющихся гиперболическими объемами трехмерных многообразий, хорошо упорядочено с порядковым типом ω ω . [6] Наименьшая предельная точка в этом наборе объемов задается узловым дополнением узла в форме восьмерки , [7] а наименьшая предельная точка предельных точек задается дополнением ссылки Уайтхеда . [8]

Ссылки [ править ]

  1. ^ а б Адамс, Колин ; Хильдебранд, Мартин; Недели, Джеффри (1991), "гиперболические инварианты узлов и связей", Труды Американского математического общества , 326 (1): 1-56, дой : 10,2307 / 2001854 , MR  0994161.
  2. ^ a b c Виленберг, Норберт Дж. (1981), «Гиперболические 3-многообразия, имеющие общий фундаментальный многогранник», римановы поверхности и связанные темы: Труды конференции в Стоуни-Брук 1978 г. (Государственный университет Нью-Йорка, Стони-Брук, штат Нью-Йорк, 1978) , Ann. математики. Stud., 97 , Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, стр. 505–513, MR 0624835 .
  3. ^ Ruberman, Дэниел (1987), "Мутация и объемы узлов в S 3 ", Inventiones Mathematicae , 90 (1): 189-215, Bibcode : 1987InMat..90..189R , DOI : 10.1007 / BF01389038 , МР 0906585 .
  4. ^ a b Уильям Терстон (март 2002 г.), «7. Вычисление объема» (PDF) , Геометрия и топология трехмерных многообразий , с. 165
  5. ^ Габай, Дэвид ; Мейерхофф, Роберт; Милли, Питер (2009), "Трехмерные гиперболические гиперболические многообразия с каспами минимального объема", Журнал Американского математического общества , 22 (4): 1157–1215, arXiv : 0705.4325 , Bibcode : 2009JAMS ... 22.1157G , doi : 10.1090 / S0894-0347-09-00639-0 , МР 2525782 .
  6. ^ Нойманн, Уолтер Д .; Загира, Дон (1985), "Объемы гиперболических трехмерных многообразий", Топология , 24 (3): 307-332, DOI : 10,1016 / 0040-9383 (85) 90004-7 , МР 0815482 .
  7. ^ Цао, Чун; Мейерхофф, Г. Роберт (2001), "Ориентируемый cusped гиперболических 3-многообразия минимального объема", Inventiones Mathematicae , 146 (3): 451-478, DOI : 10.1007 / s002220100167 , MR 1869847 
  8. ^ Агол, Ян (2010), "Минимальный объем ориентируема гиперболической 2-cusped 3-многообразия", Труды Американского математического общества , 138 (10): 3723-3732, DOI : 10,1090 / S0002-9939-10-10364- 5 , Руководство по ремонту 2661571 

Внешние ссылки [ править ]

  • " Гиперболический объем ", Атлас узлов .