Из Википедии, свободной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Один из трех не чередующихся узлов с пересечением номер 8

В теории узлов , A узел или ссылка диаграмма переменная если пересечения чередуются под землю, над, под, над, как один перемещается вдоль каждого компонента по ссылке. Ссылка является чередующейся, если у нее есть чередующаяся диаграмма.

Многие узлы с числом пересечений менее 10 чередуются. Этот факт и полезные свойства чередующихся узлов, такие как гипотезы Тейта , были тем, что позволило ранним табуляторам узлов, таким как Тейт, составлять таблицы с относительно небольшим количеством ошибок или пропусков. У простейших не чередующихся простых узлов 8 пересечений (а таких три: 8 19 , 8 20 , 8 21 ).

Предполагается, что по мере увеличения числа пересечений процент чередующихся узлов экспоненциально быстро достигает 0.

Чередующиеся зацепления играют важную роль в теории узлов и теории трехмерных многообразий , поскольку их дополнения обладают полезными и интересными геометрическими и топологическими свойствами. Это заставило Ральфа Фокса спросить: «Что такое чередующийся узел?» Этим он спрашивал, какие несхемматические свойства узлового дополнения будут характеризовать чередующиеся узлы. [1]

В ноябре 2015 года Джошуа Эван Грин опубликовал препринт, в котором была дана характеристика чередующихся звеньев в терминах определенных покрывающих поверхностей, то есть определение чередующихся звеньев (из которых чередующиеся узлы являются частным случаем) без использования концепции диаграммы звеньев . [2]

Различная геометрическая и топологическая информация раскрывается в чередующейся диаграмме. Прямолинейность и расщепляемость звена легко увидеть из диаграммы. Число пересечений сокращенной , чередующейся диаграммы - это номер пересечения узла. Последнее - одна из знаменитых гипотез Тейта.

Диаграмма чередующихся узлов находится во взаимно однозначном соответствии с плоским графом . Каждый перекресток связан с ребром, а половина связанных компонентов дополнения диаграммы связана с вершинами в виде шахматной доски.

Trefle.jpg

Frise.jpg

Домыслы Тэйта [ править ]

Основная статья: гипотезы Тейта

Гипотезы Тейта таковы:

  1. Любая сокращенная диаграмма чередующегося звена имеет наименьшее возможное количество пересечений.
  2. Любые две приведенные диаграммы одного и того же чередующегося узла имеют одинаковую изгибаемость .
  3. Для любых двух сокращенных чередующихся диаграмм D 1 и D 2 ориентированного первичного чередующегося звена: D 1 может быть преобразован в D 2 с помощью последовательности некоторых простых движений, называемых флайпами . Также известна как гипотеза Тейта о взлетах. [3]

Морвен Тислтуэйт , Луи Кауфман и К. Мурасуги доказали первые две гипотезы Тейта в 1987 году, а Морвен Тистлтуэйт и Уильям Менаско доказали гипотезу Тейта о летающих крыльях в 1991 году.

Гиперболический объем [ править ]

Менаско , применяя теорему Терстона о гиперболизации для многообразий Хакена , показал, что любое простое, нерасщепляемое знакопеременное зацепление является гиперболическим , то есть дополнение зацепления имеет гиперболическую геометрию , если только зацепление не является торическим зацеплением .

Таким образом, гиперболический объем является инвариантом многих чередующихся звеньев. Марк Лакенби показал, что объем имеет верхнюю и нижнюю линейные границы в зависимости от количества областей скручивания на уменьшенной, чередующейся диаграмме.

Ссылки [ править ]

  1. ^ Lickorish, WB Raymond (1997), "Геометрия Однофазный Ссылки", Введение в теорию Узла , Graduate текстов по математике, 175 , Springer-Verlag, Нью - Йорк, стр 32-40,. DOI : 10.1007 / 978-1- 4612-0691-0_4 , ISBN 0-387-98254-X, MR  1472978; см., в частности, стр. 32
  2. ^ Грин, Джошуа. «Переменные звенья и определенные поверхности». arXiv : 1511.06329 .
  3. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Гипотезы узла Тэйта" . MathWorld . Доступ: 5 мая 2013 г.

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Кауфман, Луи Х. (1987). На узлах . Анналы математических исследований. 115 . Издательство Принстонского университета. ISBN 0-691-08435-1. Zbl  0627.57002 .
  • Адамс, Колин С. (2004). Книга узлов: элементарное введение в математическую теорию узлов . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-3678-1.
  • Менаско, Уильям (1984). «Замкнутые несжимаемые поверхности в чередующихся узлах и звеньях» (PDF) . Топология . 23 (1): 37–44. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (84) 90023-5 .
  • Лакенби, Марк (2004). «Объем гиперболических перемежающихся звеньев дополнений». Proc. Лондонская математика. Soc . 88 (1): 204–224. arXiv : math / 0012185 . DOI : 10.1112 / S0024611503014291 . S2CID  56284382 .

Внешние ссылки [ править ]

  • Вайсштейн, Эрик В. «Переменный узел» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Гипотезы Тэйта" . MathWorld .
  • Celtic Knotwork, чтобы построить знакопеременный узел из его плоского графа