Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья посвящена теории узлов. По поводу гипотезы теории графов см . Гипотезу Тейта .

В домыслах Тейта три гипотезы , сделанная математик 19-го века Питер Гатри Тэты в своем исследовании узлов . [1] Гипотезы Тейта включают такие понятия теории узлов , как чередование узлов , киральность и изгиб . Все гипотезы Тейта были решены, последняя из которых - гипотеза Флайпинга.

Фон [ править ]

Уменьшенная диаграмма - это такая, в которой удалены все перешейки.

Тейт высказал свои предположения после попытки свести все узлы в таблицу в конце 19 века. Как основателю теории узлов, его работе не хватает математически строгой основы, и неясно, намеревался ли он применить эти гипотезы ко всем узлам или только к чередующимся узлам . Оказывается, большинство из них справедливы только для чередующихся узлов. [2] В гипотезах Тейта узловая диаграмма называется «редуцированной», если все «перешеек» или «нулевые пересечения» были удалены.

Число пересечений чередующихся узлов [ править ]

Тейт предположил, что в определенных обстоятельствах число пересечений является инвариантом узла , а именно:

Любая сокращенная диаграмма чередующегося звена имеет наименьшее возможное количество пересечений.

Другими словами, число пересечений редуцированного знакопеременного зацепления является инвариантом узла. Эта гипотеза была доказана Луи Кауфманом , Кунио Мурасуги (村 杉 邦) и Морвен Тистлтуэйт в 1987 году с использованием полинома Джонса . [3] [4] [5] Геометрическое доказательство, не использующее многочлены узлов, было дано в 2017 году Джошуа Грин . [6]

Письмо и хиральность [ править ]

Вторая гипотеза Тейта:

Амфикейральное (или ахиральное) чередующееся звено не имеет изгибов.

Эта гипотеза была также доказана Кауфманом и Тистлтуэйтом. [3] [7]

Flyping [ править ]

Flype ход.

Гипотезу Тейта можно сформулировать:

Для любых двух сокращенных чередующихся диаграмм и ориентированного первичного чередующегося звена: может быть преобразовано в с помощью последовательности некоторых простых движений, называемых флайпами . [8]

Гипотеза Тейта о летающих крыльях была доказана Тистлтуэйтом и Уильямом Менаско в 1991 году. [9] Гипотеза Тейта о летающих крыльях подразумевает еще несколько гипотез Тейта:

Любые две приведенные диаграммы одного и того же чередующегося узла имеют одинаковую изгибаемость.

Это следует из-за того, что полет сохраняет корча. Ранее это доказали Мурасуги и Тистлтуэйт. [10] [7] Это также следует из работы Грина. [6] Для не чередующихся узлов эта гипотеза неверна; пара Perko контрпример. [2] Из этого результата также следует следующая гипотеза:

У чередующихся амфикейральных узлов четное число пересечений. [2]

Это происходит потому, что зеркальное отображение узла имеет противоположную корочку. Эта гипотеза снова верна только для чередующихся узлов: существуют не чередующиеся амфихиральные узлы с номером пересечения 15. [11]

См. Также [ править ]

  • Главный узел
  • Клубок (теория узлов)

Ссылки [ править ]

  1. ^ Lickorish, WB Raymond (1997), Введение в теорию узлов , Graduate тексты по математике, 175 , Springer-Verlag, Нью - Йорк, стр. 47, DOI : 10.1007 / 978-1-4612-0691-0 , ISBN 978-0-387-98254-0, MR  1472978 CS1 maint: discouraged parameter (link).
  2. ^ a b c Стоименов, Александр (2008). «Домыслы Тэйта и странные амфикейральные узлы» . Бык. Амер. Математика. Soc . 45 (2): 285–291. arXiv : 0704.1941 . CiteSeerX 10.1.1.312.6024 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-08-01196-8 . S2CID 15299750 .  
  3. ^ a b Кауфман, Луи (1987). «Государственные модели и многочлен Джонса» . Топология . 26 (3): 395–407. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90009-7 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  4. ^ Мурасуги Кунио (1987). «Многочлены Джонса и классические гипотезы в теории узлов» . Топология . 26 (2): 187–194. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90058-9 .
  5. ^ Thistlethwaite, Морвен (1987). «Расширение остовного дерева многочлена Джонса» . Топология . 26 (3): 297–309. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (87) 90003-6 . CS1 maint: discouraged parameter (link)
  6. ^ a b Грин, Джошуа (2017). «Переменные звенья и определенные поверхности». Математический журнал герцога . 166 (11): 2133–2151. arXiv : 1511.06329 . Bibcode : 2015arXiv151106329G . DOI : 10.1215 / 00127094-2017-0004 . S2CID 59023367 . 
  7. ^ a b Thistlethwaite, Морвен (1988). «Многочлен Кауфмана и знакопеременные зацепления» . Топология . 27 (3): 311–318. DOI : 10.1016 / 0040-9383 (88) 90012-2 .
  8. ^ Вайсштейн, Эрик В. "Гипотезы узла Тэйта" . MathWorld .
  9. ^ Menasco, Уильям ; Тистлтуэйт, Морвен (1993). «Классификация чередующихся звеньев». Анналы математики . 138 (1): 113–171. DOI : 10.2307 / 2946636 . JSTOR 2946636 .  CS1 maint: discouraged parameter (link)
  10. ^ Мурасуги Кунио (1987). «Многочлены Джонса и классические гипотезы в теории узлов. II». Математические труды Кембриджского философского общества . 102 (2): 317–318. Bibcode : 1987MPCPS.102..317M . DOI : 10.1017 / S0305004100067335 .
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Amphichiral узел" . MathWorld .