Узлы использовались для основных целей, таких как запись информации , скрепление и связывание предметов вместе, на протяжении тысяч лет. Первые важные стимулы в теории узлов появились позже сэром Уильямом Томсоном (лорд Кельвин) и его вихревой теорией атома .
История
Pre-modern
Разные узлы лучше справляются с разными задачами, например, с лазанием или парусным спортом . Узлы также считались имеющими духовный и религиозный символизм в дополнение к их эстетическим качествам. Бесконечный узел появляется в тибетском буддизме, в то время как кольца Борромео уже неоднократно появлялись в разных культурах, часто символизируя единство. В кельтские монахи , которые создали Книгу Келлс расточал целые страницы с запутанным кельтской Knotwork .
Ранний модерн
Узлы с математической точки зрения изучал Карл Фридрих Гаусс , который в 1833 году разработал интеграл зацепления Гаусса для вычисления числа зацеплений двух узлов. Его ученик Иоганн Бенедикт Листинг , в честь которого назван узел Листинга , продолжил свое обучение.
В 1867 году, наблюдая за экспериментами шотландского физика Питера Тейта с кольцами дыма, Томсон пришел к мысли, что атомы представляют собой узлы закрученных вихрей в эфире . Таким образом, химические элементы соответствовали бы узлам и звеньям. Эксперименты Тейта были вдохновлены работой Гельмгольца о вихревых кольцах в несжимаемой жидкости. Томсон и Тейт считали, что понимание и классификация всех возможных узлов объяснит, почему атомы поглощают и излучают свет только той дискретной длины волны, на которой они это делают. Например, Томсон подумал, что натрий может быть связью Хопфа из-за двух линий его спектра. [1]
Впоследствии Тейт начал перечислять уникальные узлы, полагая, что он создает таблицу элементов. Он сформулировал то, что сейчас известно как гипотезы Тейта о чередующихся узлах . (Предположения были доказаны в 1990-х.) Таблицы узлов Тейта были впоследствии улучшены К. Н. Литтл и Томасом Киркманом . [1] : 6
Джеймс Клерк Максвелл , коллега и друг Томсона и Тейта, также проявил большой интерес к узлам. Максвелл изучал работу Листинга над узлами. Он переосмыслил интеграл связи Гаусса с точки зрения теории электромагнетизма. В его формулировке интеграл представляет собой работу, совершаемую заряженной частицей, движущейся вдоль одного компонента связи под действием магнитного поля, создаваемого электрическим током вместе с другим компонентом. Максвелл также продолжил изучение дымовых колец, рассмотрев три взаимодействующих кольца.
Когда светоносный эфир не был обнаружен в эксперименте Майкельсона-Морли , теория вихрей полностью устарела, а теория узлов перестала представлять большой научный интерес. Современная физика демонстрирует, что дискретные длины волн зависят от квантовых уровней энергии .
Поздний модерн
Следуя топологии развития в начале 20-го века, возглавляемой Анри Пуанкаре , топологи, такие как Макс Ден , Дж. У. Александер и Курт Рейдемейстер , исследовали узлы. Из этого возникли движения Рейдемейстера и многочлен Александера . [1] : 15–45 Ден также разработал хирургию Дена , которая связала узлы с общей теорией трехмерных многообразий, и сформулировал проблемы Дена в теории групп , такие как проблема слов . Среди первых пионеров первой половины 20-го века Ральф Фокс , популяризировавший эту тему. В этот ранний период теория узлов в основном состояла из изучения группы узлов и гомологических инвариантов узлового дополнения .
Современный
В 1961 году Вольфганг Хакен открыл алгоритм, который может определить, является ли узел нетривиальным . Он также обрисовал в общих чертах стратегию решения общей проблемы распознавания узлов, то есть определения того, эквивалентны ли два заданных узла или нет. В начале 1970-х годов Фридхельм Вальдхаузен объявил о завершении программы Хакена на основе его результатов и результатов Клауса Йоханнсона , Уильяма Жако , Питера Шалена и Джеффри Хемиона . В 2003 году Сергей Матвеев указал и восполнил решающий пробел.
Несколько крупных открытий в конце 20-го века значительно обновили теорию узлов и сделали ее более популярной. В конце 1970-х годов теорема Уильяма Терстона о гиперболизации ввела теорию гиперболических трехмерных многообразий в теорию узлов и сделала ее важной. В 1982 году Терстон получил медаль Филдса, высшую награду в области математики, во многом благодаря этому открытию. Работа Терстона также привела, после значительного расширения другими, к эффективному использованию инструментов из теории представлений и алгебраической геометрии . За этим последовали важные результаты, включая теорему Гордона – Люке , которая показала, что узлы определяются (с точностью до зеркального отражения) их дополнениями, и гипотезой Смита .
Интерес к теории узлов от общего математического сообщества значительно выросло после того, как Vaughan Jones открытие » полинома Джонса в 1984 году это привело к другим сучков многочленов , таких как скобки полиномом , HOMFLY полином и Kauffman полинома . Джонс был награжден медалью Филдса в 1990 году за эту работу. [1] : 71–89 В 1988 году Эдвард Виттен предложил новую структуру для полинома Джонса, используя существующие идеи математической физики , такие как интегралы по траекториям Фейнмана , и вводя новые понятия, такие как топологическая квантовая теория поля ( Witten 1989 ). . Виттен также получил медаль Филдса в 1990 году, частично за эту работу. Описание Виттена полинома Джонса подразумевает связанные инварианты для трехмерных многообразий . Одновременные, но разные подходы других математиков привели к инвариантам Виттена – Решетихина – Тураева и различным так называемым « квантовым инвариантам », которые, по-видимому, являются математически строгой версией инвариантов Виттена ( Тураев, 1994 ). . В 1980-х годах Джон Хортон Конвей открыл процедуру развязывания узлов, постепенно известную как нотация Конвея .
В 1992 году был основан журнал «Теория узлов и ее разветвлений», в котором был учрежден журнал, посвященный исключительно теории узлов.
В начале 1990-х годов Васильевым и Гусаровым были открыты инварианты узлов, охватывающие многочлен Джонса и его обобщения, названные инвариантами конечного типа . Эти инварианты, первоначально описанные с использованием «классических» топологических средств, как показал медалист Филдса в 1994 г. Максим Концевич, являются результатом интегрирования с использованием интеграла Концевича определенных алгебраических структур ( Концевич 1993
, Бар-Натан 1995 ).За этими открытиями последовало открытие гомологий Хованова и узловых гомологий Флоера , которые значительно обобщают многочлены Джонса и Александера. Эти теории гомологии способствовали дальнейшему распространению теории узлов.
В последние несколько десятилетий 20-го века ученые и математики начали находить приложения теории узлов к проблемам биологии и химии . Теория узлов может использоваться, чтобы определить, является ли молекула хиральной (имеет « хиральность ») или нет. Химические соединения разной направленности могут иметь совершенно разные свойства, ярким примером этого является талидомид . В более общем плане методы теории узлов использовались при изучении топоизомеров , топологически различных структур одной и той же химической формулы. Близкородственная теория клубков эффективно использовалась при изучении действия определенных ферментов на ДНК. [2] Междисциплинарная область физической теории узлов изучает математические модели узлов на основе физических соображений, чтобы понять явления образования узлов, возникающие в таких материалах, как ДНК или полимеры.
В физике было показано, что некоторые гипотетические квазичастицы, такие как неабелевы анионы, обладают полезными топологическими свойствами, а именно: их квантовые состояния остаются неизменными из-за окружающей изотопии их мировых линий . Есть надежда, что с их помощью можно сделать квантовый компьютер устойчивым к декогеренции . Поскольку мировые линии образуют математическую косу , теория кос - область, связанная с теорией узлов , - используется для изучения свойств такого компьютера, называемого топологическим квантовым компьютером . [3]
Смотрите также
- Квантовые узлы
Заметки
- ^ a b c d Алексей Сосинский (2002) Узлы, математика с изюминкой , ISBN издательства Гарвардского университета 0-674-00944-4
- ^ Флапан, Эрика (2000), «Когда топология встречается с химией: топологический взгляд на молекулярную хиральность» , Перспективы , Cambridge University Press, Кембридж; Математическая ассоциация Америки, Вашингтон, округ Колумбия, ISBN 0-521-66254-0
- ^ Коллинз, Грэм (апрель 2006 г.). «Вычисления с квантовыми узлами». Scientific American . С. 56–63.
Рекомендации
- Сильвер, Дэн, странное происхождение шотландской физики и теории узлов (расширенная версия книги Сильвера, «Странное происхождение теории узлов», American Scientist, 94, № 2, 158–165)
- JC Turner & P. van de Griend, редакторы (1995) History and Science of Knots , World Scientific .
Внешние ссылки
- Томсон, сэр Уильям (лорд Кельвин), О вихревых атомах , Труды Королевского общества Эдинбурга, Vol. VI, 1867, с. 94–105.
- Силлиман, Роберт Х., Уильям Томсон: Дымовые кольца и атомизм девятнадцатого века , Isis, Vol. 54, No. 4. (декабрь 1963 г.), стр. 461–474. Ссылка JSTOR
- Фильм современного воссоздания эксперимента Тэйта с кольцом дыма
- История узлов