В математике , параболические окрестности определяются как множество точек вблизи параболической особенности .
Окрестности каспа для римановой поверхности
Окрестность возврата для гиперболической римановой поверхности может быть определена в терминах ее фуксовой модели .
Предположим, что фуксова группа G содержит параболический элемент g. Например, элемент t ∈ SL (2, Z ), где
параболический элемент. Заметим, что все параболические элементы SL (2, C ) сопряжены с этим элементом. То есть, если g ∈ SL (2, Z ) параболический, тодля некоторого h ∈ SL (2, Z ).
Набор
где Н является верхней полуплоскости имеет
для любой где понимается как группа, порожденная g . То есть γ действует на U собственно разрывно . Из-за этого можно видеть, что проекция U на H / G , таким образом,
- .
Здесь E называется окрестностью точки возврата, соответствующей g .
Обратите внимание, что гиперболическая площадь E равна 1 при вычислении с использованием канонической метрики Пуанкаре . Это легче всего увидеть на примере: рассмотрим пересечение U, определенного выше, с фундаментальной областью
из модулярной группы , как это было бы целесообразным для выбора T как параболического элемента. При интегрировании поверх элемента объема
результат тривиально 1. Площади всех окрестностей каспа равны этому по инвариантности сопрягаемой площади.