Гауссов интеграл

График и площадь между функцией и осью, равной .${\ Displaystyle е (х) = е ^ {- х ^ {2}}}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ sqrt {\ pi}}}$

Гауссов интеграл , также известный как интеграл Эйлера-Пуассона , является интегралом от функции Гаусса по всей вещественной прямой. Названный в честь немецкого математика Карла Фридриха Гаусса , интеграл${\ Displaystyle е (х) = е ^ {- х ^ {2}}}$

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ pi}}.}$

Абрахам де Муавр впервые открыл этот тип интеграла в 1733 году, а Гаусс опубликовал точный интеграл в 1809 году. ^[1] Интеграл имеет широкий спектр приложений. Например, при незначительном изменении переменных используются для вычисления константы нормализующей от нормального распределения . Же , как единое целое с конечными пределами тесно связана как с функцией ошибок и интегральной функции распределения от нормального распределения . В физике этот тип интеграла часто встречается, например, в квантовой механике., чтобы найти плотность вероятности основного состояния гармонического осциллятора. Этот интеграл также используется в формулировке интеграла по путям, чтобы найти пропагатор гармонического осциллятора, и в статистической механике , чтобы найти его статистическую сумму .

Хотя ни одна элементарная функция не существует для функции ошибки, так как может быть доказано с помощью алгоритма Risch , ^[2] гауссов интеграл может быть решена аналитически с помощью методов многовариантного исчисления . То есть не существует элементарного неопределенного интеграла для

${\ Displaystyle \ int е ^ {- х ^ {2}} \, dx,}$

но определенный интеграл

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx}$

можно оценить. Определенный интеграл от произвольной гауссовой функции равен

${\ displaystyle \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- a (x + b) ^ {2}} \, dx = {\ sqrt {\ frac {\ pi} {a}}} .}$

Вычисление [ править ]

По полярным координатам [ править ]

Стандартный способ вычисления интеграла Гаусса, идея которого восходит к Пуассону ^[3], состоит в том, чтобы использовать свойство, которое:

${\ displaystyle \ left (\ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) ^ {2} = \ int _ {- \ infty} ^ { \ infty} e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- y ^ {2}} \, dy = \ int _ {- \ infty } ^ {\ infty} \ int _ {- \ infty} ^ {\ infty} e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} \, dx \, dy.}$

Рассмотрим функцию на плоскости и вычислим ее интеграл двумя способами:${\ displaystyle e ^ {- (x ^ {2} + y ^ {2})} = e ^ {- r ^ {2}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$

1. с одной стороны, при двойном интегрировании в декартовой системе координат его интеграл представляет собой квадрат:

   ${\ displaystyle \ left (\ int e ^ {- x ^ {2}} \, dx \ right) ^ {2};}$

2. с другой стороны, путем интегрирования оболочки (случай двойного интегрирования в полярных координатах ) его интеграл вычисляется как${\displaystyle \pi }$

Сравнение этих двух вычислений дает интеграл, хотя следует позаботиться о задействованных несобственных интегралах .

${\displaystyle {\begin{aligned}\iint _{\mathbf {R} ^{2}}e^{-(x^{2}+y^{2})}dx\,dy&=\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }e^{-r^{2}}r\,dr\,d\theta \\[6pt]&=2\pi \int _{0}^{\infty }re^{-r^{2}}\,dr\\[6pt]&=2\pi \int _{-\infty }^{0}{\tfrac {1}{2}}e^{s}\,ds&&s=-r^{2}\\[6pt]&=\pi \int _{-\infty }^{0}e^{s}\,ds\\[6pt]&=\pi (e^{0}-e^{-\infty })\\[6pt]&=\pi ,\end{aligned}}}$

где фактор r - это определитель Якоби, который появляется из-за преобразования в полярные координаты ( r  dr  dθ - стандартная мера на плоскости, выраженная в полярных координатах Wikibooks: Calculus / Polar Integration # Generalization ), а замена включает в себя принятие s  = - r ² , поэтому ds  = −2 r  dr .

Объединяя эти урожаи

${\displaystyle \left(\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx\right)^{2}=\pi ,}$

так

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}$.

Полное доказательство [ править ]

Чтобы оправдать неправильные двойные интегралы и приравнять эти два выражения, начнем с аппроксимирующей функции:

${\displaystyle I(a)=\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}dx.}$

Если интеграл

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$

были бы абсолютно сходящимися, мы имели бы, что его главное значение Коши , то есть предел

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}$

совпадет с

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

Чтобы убедиться в этом, рассмотрим, что

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }|e^{-x^{2}}|\,dx<\int _{-\infty }^{-1}-xe^{-x^{2}}\,dx+\int _{-1}^{1}e^{-x^{2}}\,dx+\int _{1}^{\infty }xe^{-x^{2}}\,dx<\infty .}$

чтобы мы могли вычислить

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx}$

просто взяв предел

${\displaystyle \lim _{a\to \infty }I(a)}$.

Взяв квадрат урожайности${\displaystyle I(a)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}(a)&=\left(\int _{-a}^{a}e^{-x^{2}}\,dx\right)\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\left(\int _{-a}^{a}e^{-y^{2}}\,dy\right)\,e^{-x^{2}}\,dx\\[6pt]&=\int _{-a}^{a}\int _{-a}^{a}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\,dx.\end{aligned}}}$

Используя теорему Фубини , указанный выше двойной интеграл можно рассматривать как интеграл площадей

${\displaystyle \iint _{[-a,a]\times [-a,a]}e^{-(x^{2}+y^{2})}\,d(x,y),}$

берется квадрат с вершинами {(- ,  в ), ( ,  в ), ( , - ), (- , - )} на ху - плоскости .

Поскольку экспоненциальная функция больше 0 для всех действительных чисел, отсюда следует, что интеграл, взятый по вписанной окружности квадрата, должен быть меньше , и аналогично интеграл, взятый по описанной окружности квадрата, должен быть больше, чем . Интегралы по двум дискам можно легко вычислить, переключившись с декартовых координат на полярные :${\displaystyle I(a)^{2}}$${\displaystyle I(a)^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \end{aligned}}}$

${\displaystyle \mathbf {J} (r,\theta )={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r}}&{\dfrac {\partial x}{\partial \theta }}\\[1em]{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \theta }}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}}$

${\displaystyle d(x,y)=|J(r,\theta )|d(r,\theta )=r\,d(r,\theta ).}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta <I^{2}(a)<\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{a{\sqrt {2}}}re^{-r^{2}}\,dr\,d\theta .}$

(См. Полярные координаты из декартовых координат для помощи с полярным преобразованием.)

Интеграция,

${\displaystyle \pi (1-e^{-a^{2}})<I^{2}(a)<\pi (1-e^{-2a^{2}}).}$

По теореме сжатия это дает гауссовский интеграл

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}.}$

По декартовым координатам [ править ]

Другая техника, восходящая к Лапласу (1812 г.), ^[3], заключается в следующем. Позволять

${\displaystyle {\begin{aligned}y&=xs\\dy&=x\,ds.\end{aligned}}}$

Поскольку пределы s при y → ± ∞ зависят от знака x , это упрощает вычисление, используя тот факт, что e ^{- x 2} является четной функцией , и, следовательно, интеграл по всем действительным числам просто вдвое больше интеграла от нуля до бесконечности. То есть,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx.}$

Таким образом, в диапазоне интегрирования x ≥ 0, а переменные y и s имеют одинаковые пределы. Это дает:

${\displaystyle {\begin{aligned}I^{2}&=4\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}dy\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dy\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,ds\right)\,dx\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left(\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}(1+s^{2})}x\,dx\right)\,ds\\[6pt]&=4\int _{0}^{\infty }\left[{\frac {1}{-2(1+s^{2})}}e^{-x^{2}(1+s^{2})}\right]_{x=0}^{x=\infty }\,ds\\[6pt]&=4\left({\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {ds}{1+s^{2}}}\right)\\[6pt]&=2{\Big [}\arctan s{\Big ]}_{0}^{\infty }\\[6pt]&=\pi .\end{aligned}}}$

Поэтому, как и ожидалось.${\displaystyle I={\sqrt {\pi }}}$

Отношение к гамма-функции [ править ]

Подынтегральное выражение - четная функция ,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx}$

Таким образом, после замены переменной это превращается в интеграл Эйлера${\displaystyle x={\sqrt {t}}}$

${\displaystyle 2\int _{0}^{\infty }e^{-x^{2}}dx=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2}}\ e^{-t}\ t^{-{\frac {1}{2}}}dt=\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$

где - гамма-функция . Это показывает, почему факториал полуцелого числа является рациональным кратным . В более общем смысле,${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}dt}$${\displaystyle {\sqrt {\pi }}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{b}}dx={\frac {\Gamma \left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}},}$

которое может быть получено путем подстановки подынтегрального выражения гамма-функции, чтобы получить .${\displaystyle t=ax^{b}}$${\displaystyle \Gamma (z)=a^{z}b\int _{0}^{\infty }x^{bz-1}e^{-ax^{b}}dx}$

Обобщения [ править ]

Интеграл от функции Гаусса [ править ]

Интеграл от произвольной гауссовой функции равен

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}$

Альтернативная форма -

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}+bx+c}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}\,e^{{\frac {b^{2}}{4a}}+c}.}$

Эта форма полезна для вычисления ожиданий некоторых непрерывных распределений вероятностей, связанных с нормальным распределением, например, логнормального распределения .

n -мерное и функциональное обобщение [ править ]

Предположим, что A - симметричная положительно определенная (следовательно, обратимая) матрица точности n × n , которая является матрицей, обратной матрице ковариации . Потом,

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x=\int _{-\infty }^{\infty }\exp {\left(-{\frac {1}{2}}x^{T}Ax\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}={\sqrt {\frac {1}{\det(A/2\pi )}}}={\sqrt {\det(2\pi A^{-1})}}}$

где интеграл понимается по R ⁿ . Этот факт применяется при исследовании многомерного нормального распределения .

Также,

${\displaystyle \int x_{k_{1}}\cdots x_{k_{2N}}\,\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}\,d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det A}}}\,{\frac {1}{2^{N}N!}}\,\sum _{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma (1)}k_{\sigma (2)}}\cdots (A^{-1})_{k_{\sigma (2N-1)}k_{\sigma (2N)}}}$

где σ - перестановка {1, ..., 2 N }, а дополнительный множитель в правой части - это сумма по всем комбинаторным парам {1, ..., 2 N } из N копий A ^{- 1} .

Или ^[4]

${\displaystyle \int f({\vec {x}})\exp {\left(-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}\right)}d^{n}x={\sqrt {(2\pi )^{n} \over \det A}}\,\left.\exp {\left({1 \over 2}\sum \limits _{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_{i}}{\partial \over \partial x_{j}}\right)}f({\vec {x}})\right|_{{\vec {x}}=0}}$

для некоторой аналитической функции f при условии, что она удовлетворяет некоторым подходящим ограничениям на ее рост и некоторым другим техническим критериям. (Это работает для некоторых функций и не работает для других. Многочлены - это хорошо.) Экспонента над дифференциальным оператором понимается как степенной ряд .

Хотя функциональные интегралы не имеют строгого определения (или даже в большинстве случаев нестрогого вычислительного), мы можем определить гауссовский функциональный интеграл по аналогии с конечномерным случаем. ^{[ Необходимая цитата ]} Тем не менее, проблема в том, что она бесконечна, и функциональный детерминант в общем случае тоже будет бесконечным. Об этом можно позаботиться, если мы будем рассматривать только отношения:${\displaystyle (2\pi )^{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {\int f(x_{1})\cdots f(x_{2N})\exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}{\int \exp \left[{-\iint {\frac {1}{2}}A(x_{2N+1},x_{2N+2})f(x_{2N+1})f(x_{2N+2})d^{d}x_{2N+1}d^{d}x_{2N+2}}\right]{\mathcal {D}}f}}={\frac {1}{2^{N}N!}}\sum _{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma (2N-1)},x_{\sigma (2N)}).}$

В обозначениях ДеВитта уравнение выглядит идентично конечномерному случаю.

n -мерный с линейным членом [ править ]

Если A снова является симметричной положительно определенной матрицей, то (при условии, что все являются векторами-столбцами)

${\displaystyle \int e^{-{\frac {1}{2}}\sum \limits _{i,j=1}^{n}A_{ij}x_{i}x_{j}+\sum \limits _{i=1}^{n}B_{i}x_{i}}d^{n}x=\int e^{-{\frac {1}{2}}{\vec {x}}^{T}\mathbf {A} {\vec {x}}+{\vec {B}}^{T}{\vec {x}}}d^{n}x={\sqrt {\frac {(2\pi )^{n}}{\det {A}}}}e^{{\frac {1}{2}}{\vec {B}}^{T}\mathbf {A} ^{-1}{\vec {B}}}.}$

Интегралы подобной формы [ править ]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\sqrt {\pi }}{\frac {a^{2n+1}(2n-1)!!}{2^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-{\frac {x^{2}}{a^{2}}}}\,dx={\frac {n!}{2}}a^{2n+2}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {(2n-1)!!}{a^{n}2^{n+1}}}{\sqrt {\frac {\pi }{a}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{2n+1}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {n!}{2a^{n+1}}}}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax^{2}}\,dx={\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{2a^{\frac {n+1}{2}}}}}$

где - натуральное число и обозначает двойной факториал .${\displaystyle n}$${\displaystyle !!}$

Легкий способ получить их - дифференцировать под знаком интеграла .

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }x^{2n}e^{-\alpha x^{2}}\,dx&=\left(-1\right)^{n}\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}e^{-\alpha x^{2}}\,dx=\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-\alpha x^{2}}\,dx\\[6pt]&={\sqrt {\pi }}\left(-1\right)^{n}{\frac {\partial ^{n}}{\partial \alpha ^{n}}}\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}={\sqrt {\frac {\pi }{\alpha }}}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2\alpha \right)^{n}}}\end{aligned}}}$

Можно также интегрировать по частям и найти рекуррентное соотношение для решения этой проблемы.

Полиномы высшего порядка [ править ]

Применение линейной замены базиса показывает, что интеграл от экспоненты однородного полинома от n переменных может зависеть только от SL ( n ) -инвариантов полинома. Одним из таких инвариантов является дискриминант , нули которого отмечают особенности интеграла. Однако интеграл может зависеть и от других инвариантов. ^[5]

Экспоненты других четных многочленов могут быть решены численно, используя ряды. Их можно интерпретировать как формальные вычисления, когда нет сходимости. Например, решение интеграла от экспоненты полинома четвертой степени является ^{[ ссылка ]}

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+f}\,dx={\frac {1}{2}}e^{f}\sum _{\begin{smallmatrix}n,m,p=0\\n+p=0\mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty }{\frac {b^{n}}{n!}}{\frac {c^{m}}{m!}}{\frac {d^{p}}{p!}}{\frac {\Gamma \left({\frac {3n+2m+p+1}{4}}\right)}{(-a)^{\frac {3n+2m+p+1}{4}}}}.}$

Требование n  +  p = 0 mod 2 состоит в том, что интеграл от −∞ до 0 дает коэффициент (−1) ^{n + p} / 2 для каждого члена, а интеграл от 0 до + ∞ дает коэффициент 1/2. на каждый срок. Эти интегралы появляются в таких предметах, как квантовая теория поля .

См. Также [ править ]

• Список интегралов от функций Гаусса
• Общие интегралы в квантовой теории поля
• Нормальное распределение
• Список интегралов от экспоненциальных функций
• Функция ошибки
• Березин интеграл

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]