Это список некоторых из наиболее часто используемых преобразований координат.
Пусть ( x , y ) - стандартные декартовы координаты , а ( r , θ ) - стандартные полярные координаты .
В декартовы координаты
Из полярных координат
Из логополярных координат
Используя комплексные числа преобразование можно записать как
То есть он задается комплексной экспоненциальной функцией.
Из биполярных координат
От двухцентровых биполярных координат
Из уравнения Чезаро
В полярные координаты
По декартовым координатам
Примечание: решение для возвращает результирующий угол в первом квадранте (). Найти, необходимо обратиться к исходной декартовой координате, определить квадрант, в котором лежит (например, (3, −3) [декартово] лежит в QIV), затем используйте следующее, чтобы найти :
- Для в QI:
- Для во II квартале:
- Для в III квартале:
- Для в IV квартале:
Значение для должны быть решены таким образом, потому что для всех значений , определяется только для , и периодическая (с периодом ). Это означает, что обратная функция будет давать значения только в области определения функции, но с ограничением до одного периода. Следовательно, диапазон обратной функции составляет только половину полного круга.
Обратите внимание, что можно также использовать
От двухцентровых биполярных координат
Где 2 c - расстояние между полюсами.
В лог-полярные координаты из декартовых координат
Длина дуги и кривизна
В декартовых координатах
В полярных координатах
Пусть (x, y, z) - стандартные декартовы координаты, а (ρ, θ, φ) - сферические координаты , а θ - угол, отсчитываемый от оси + Z (как [1] , см. Соглашения в сферических координатах ). Поскольку φ имеет диапазон 360 °, те же соображения, что и в полярных (2-мерных) координатах, применяются всякий раз, когда берется арктангенс. θ имеет диапазон 180 °, от 0 ° до 180 ° и не представляет проблем при вычислении по арккосинусу, но будьте осторожны с арктангенсом.
Если в альтернативном определении θ выбрано в диапазоне от -90 ° до + 90 °, в направлении, противоположном предыдущему определению, его можно найти однозначно по арксинусу, но остерегайтесь арккотангенса. В этом случае во всех приведенных ниже формулах все аргументы в θ должны иметь замену синуса и косинуса, а в качестве производной также поменять местами плюс и минус.
Все деления на ноль приводят к частным случаям, когда они являются направлениями вдоль одной из главных осей, и на практике их легче всего решить путем наблюдения.
В декартовы координаты
Из сферических координат
Итак, для элемента объема:
Из цилиндрических координат
Итак, для элемента объема:
В сферические координаты
По декартовым координатам
См. Также статью о atan2, чтобы узнать, как элегантно обрабатывать некоторые крайние случаи.
Итак, для элемента:
Из цилиндрических координат
К цилиндрическим координатам
По декартовым координатам
Из сферических координат
Длина дуги, кривизна и кручение в декартовых координатах