Преобразование географических координат

В геодезии , преобразование между различными географическими координатами систем производятся необходимо с помощью различных географических систем координат используются во всем мире и в течение долгого времени. Преобразование координат состоит из нескольких различных типов преобразования: изменение формата географических координат, преобразование систем координат или преобразование в различные геодезические системы координат . Преобразование географических координат применяется в картографических , геодезических , навигационных и географических информационных системах .

В геодезии преобразование географических координат определяется как перевод между различными форматами координат или проекциями карты, которые все связаны с одной и той же геодезической системой координат. ^[1] Преобразование географических координат - это перевод между различными геодезическими системами отсчета. В этой статье будут рассмотрены как преобразование географических координат, так и преобразование.

В этой статье предполагается, что читатели уже знакомы с содержанием статьи о географической системе координат и геодезической системе координат .

Изменение единиц и формата [ править ]

Неформально указание географического местоположения обычно означает указание широты и долготы местоположения . Числовые значения широты и долготы могут иметь различные единицы или форматы: ^[2]

• шестидесятеричный градус : градусы , минуты и секунды  : 40 ° 26 ′ 46 ″ с.ш., 79 ° 58 ′ 56 ″ з.д.
• градусы и десятичные минуты: 40 ° 26.767 ′ с.ш., 79 ° 58.933 ′ з.д.
• десятичные градусы: -40,446 +79,982

В градусе 60 минут, а в минуте 60 секунд. Следовательно, для преобразования формата градусов минут секунд в формат десятичных градусов можно использовать формулу

${\displaystyle {\rm {{decimal\ degrees}={\rm {{degrees}+{\frac {\rm {minutes}}{60}}+{\frac {\rm {seconds}}{3600}}}}}}}$.

Для обратного преобразования из формата десятичных градусов в формат градусов минут секунд,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {degrees}}&=\lfloor {\rm {{decimal\ degrees}\rfloor }}\\{\rm {minutes}}&=\lfloor 60\times ({\rm {{decimal\ degrees}-{\rm {{degrees})\rfloor }}}}\\{\rm {seconds}}&=3600\times ({\rm {{decimal\ degrees}-{\rm {{degrees})-60\times {\rm {minutes}}}}}}\\\end{aligned}}}$

Преобразование системы координат [ править ]

Преобразование системы координат - это преобразование одной системы координат в другую, причем обе системы координат основаны на одной и той же геодезической системе координат. Общие задачи преобразования включают преобразование между геодезическими координатами и координатами ECEF и преобразование из одного типа картографической проекции в другой.

От геодезических до координат ECEF [ править ]

Длина PQ, называемая основным вертикальным радиусом , равна . Длина IQ равна . .${\displaystyle N(\phi )}$${\displaystyle \,e^{2}N(\phi )}$${\displaystyle R=(X,\,Y,\,Z)}$

Геодезические координаты (широта , долгота , высота ) могут быть преобразованы в координаты ECEF с помощью следующего уравнения: ^[3]${\displaystyle \ \phi }$${\displaystyle \ \lambda }$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&=\left(N(\phi )+h\right)\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}}={\frac {a}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}\phi }}},}$

и и являются экваториальный радиус ( большой полуоси ) и полярный радиус ( малая полуось ), соответственно. квадрат первого числового эксцентриситета эллипсоида. Простой вертикальный радиус кривизны является расстоянием от поверхности до Z-оси вдоль нормали эллипсоида (см « Радиус кривизны на Земле »). ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle e^{2}=1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}$ ${\displaystyle \,N(\phi )}$

Следующее уравнение справедливо для долготы так же, как и в геоцентрической системе координат:

${\displaystyle {\frac {X}{\cos \lambda }}-{\frac {Y}{\sin \lambda }}=0.}$

А для широты справедливо следующее уравнение:

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}-{\frac {Z}{\sin \phi }}-e^{2}N(\phi )=0,}$

где , поскольку параметр исключается вычитанием${\displaystyle p={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle {\frac {p}{\cos \phi }}=N+h}$

и

${\displaystyle {\frac {Z}{\sin \phi }}={\frac {b^{2}}{a^{2}}}N+h.}$

Ортогональности координат подтверждается с помощью дифференцирования:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{pmatrix}dX\\dY\\dZ\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}},\\[3pt]{\begin{pmatrix}dE\\dN\\dU\end{pmatrix}}&={\begin{pmatrix}\left(N(\phi )+h\right)\cos \phi &0&0\\0&M(\phi )+h&0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}d\lambda \\d\phi \\dh\end{pmatrix}},\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle M(\phi )={\frac {a\left(1-e^{2}\right)}{\left(1-e^{2}\sin ^{2}\phi \right)^{\frac {3}{2}}}}}$

(см. также « Дуга меридиана на эллипсоиде »).

Из ECEF в геодезические координаты [ править ]

Преобразование координат ECEF в геодезические координаты (например, WGS84) такое же, как и у геоцентрического для долготы:

${\displaystyle \lambda =\arctan {\frac {Y}{X}}}$.

Преобразование широты требует немного сложных вычислений и, как известно, решается с помощью нескольких методов, показанных ниже. Это, однако, чувствительны к малой точности за счет и быть , может быть 10 ⁶ друг от друга. ^{[4] [5]}${\displaystyle Rn}$${\displaystyle h}$

Метод Ньютона – Рафсона [ править ]

Следующее иррациональное уравнение геодезической широты Боуринга ^[6] эффективно решается методом итераций Ньютона – Рафсона : ^{[7] [8]}

${\displaystyle \kappa -1-{\frac {e^{2}a\kappa }{\sqrt {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa ^{2}}}}=0,}$

где Высота рассчитывается как:${\displaystyle \kappa ={\frac {p}{Z}}\tan \phi .}$

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e^{-2}\left(\kappa ^{-1}-{\kappa _{0}}^{-1}\right){\sqrt {p^{2}+Z^{2}\kappa ^{2}}},\\\kappa _{0}&=\left(1-e^{2}\right)^{-1}.\end{aligned}}}$

Итерацию можно преобразовать в следующий расчет:

${\displaystyle \kappa _{i+1}={\frac {c_{i}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}}=1+{\frac {p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{3}}{c_{i}-p^{2}}},}$

куда ${\displaystyle c_{i}={\frac {\left(p^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}\kappa _{i}^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}{ae^{2}}}.}$

Константа - хорошее начальное значение для итерации, когда . Боуринг показал, что одна итерация дает достаточно точное решение. В своей первоначальной формулировке он использовал дополнительные тригонометрические функции.${\displaystyle \,\kappa _{0}}$${\displaystyle h\approx 0}$

Решение Феррари [ править ]

Уравнение четвертой степени , полученное из вышеизложенного, можно решить с помощью решения Феррари ^{[9] [10],} чтобы получить:${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta &=\left(1-e^{2}\right){\frac {z^{2}}{a^{2}}},\\[4pt]\rho &={\frac {1}{6}}\left({\frac {p^{2}}{a^{2}}}+\zeta -e^{4}\right),\\[4pt]s&={\frac {e^{4}\zeta p^{2}}{4\rho ^{3}a^{2}}},\\[4pt]t&={\sqrt[{3}]{1+s+{\sqrt {s(s+2)}}}},\\[4pt]u&=\rho \left(t+1+{\frac {1}{t}}\right),\\[4pt]v&={\sqrt {u^{2}+e^{4}\zeta }},\\[4pt]w&=e^{2}{\frac {u+v-\zeta }{2v}},\\[4pt]\kappa &=1+e^{2}{\frac {{\sqrt {u+v+w^{2}}}+w}{u+v}}.\end{aligned}}}$

Применение решения Ferrari [ править ]

Существует ряд методов и алгоритмов, но наиболее точной, по мнению Чжу ^[11], является следующая процедура, установленная Хейккиненом ^[12], цитируемая Чжу. Предполагается, что геодезические параметры известны.${\displaystyle \{a,\,b,\,e\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {X^{2}+Y^{2}}}\\[3pt]e'^{2}&={\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\\[3pt]F&=54b^{2}Z^{2}\\[3pt]G&=r^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}-e^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)\\[3pt]c&={\frac {e^{4}Fr^{2}}{G^{3}}}\\[3pt]s&={\sqrt[{3}]{1+c+{\sqrt {c^{2}+2c}}}}\\[3pt]P&={\frac {F}{3\left(s+1+{\frac {1}{s}}\right)^{2}G^{2}}}\\[3pt]Q&={\sqrt {1+2e^{4}P}}\\[3pt]r_{0}&={\frac {-Pe^{2}r}{1+Q}}+{\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}\left(1+{\frac {1}{Q}}\right)-{\frac {P\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}{Q(1+Q)}}-{\frac {1}{2}}Pr^{2}}}\\[3pt]U&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+Z^{2}}}\\[3pt]V&={\sqrt {\left(r-e^{2}r_{0}\right)^{2}+\left(1-e^{2}\right)Z^{2}}}\\[3pt]z_{0}&={\frac {b^{2}Z}{aV}}\\[3pt]h&=U\left(1-{\frac {b^{2}}{aV}}\right)\\[3pt]\phi &=\arctan \left[{\frac {Z+e'^{2}z_{0}}{r}}\right]\\[3pt]\lambda &=\operatorname {arctan2} [Y,\,X]\end{aligned}}}$

Примечание: arctan2 [Y, X] - функция арктангенса для четырех квадрантов.

Силовой ряд [ править ]

Для малых e ² силовой ряд

${\displaystyle \kappa =\sum _{i\geq 0}\alpha _{i}e^{2i}}$

начинается с

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{0}&=1;\\\alpha _{1}&={\frac {a}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}};\\\alpha _{2}&={\frac {aZ^{2}{\sqrt {Z^{2}+p^{2}}}+2a^{2}p^{2}}{2\left(Z^{2}+p^{2}\right)^{2}}}.\end{aligned}}}$

Геодезические координаты в / из ЕНУ [ править ]

Преобразование геодезических координат в локальные координаты ЕНУ представляет собой двухэтапный процесс:

1. Преобразование геодезических координат в координаты ECEF
2. Преобразование координат ECEF в локальные координаты ENU

Из ECEF в ENU [ править ]

Чтобы преобразовать координаты ECEF в локальные, нам нужна местная опорная точка, обычно это может быть местоположение радара. Если радар расположен в, а самолет - в, то вектор, указывающий от радара на самолет в кадре ENU, равен${\displaystyle \left\{X_{r},\,Y_{r},\,Z_{r}\right\}}$${\displaystyle \left\{X_{p},\,Y_{p},\,Z_{p}\right\}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda _{r}&\cos \lambda _{r}&0\\-\sin \phi _{r}\cos \lambda _{r}&-\sin \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\\\cos \phi _{r}\cos \lambda _{r}&\cos \phi _{r}\sin \lambda _{r}&\sin \phi _{r}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{p}-X_{r}\\Y_{p}-Y_{r}\\Z_{p}-Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Примечание: это геодезическая широта. Предыдущая версия этой страницы показывала использование геоцентрической широты ( ). Геоцентрическая широта не соответствующее вверх направление для локальной касательной плоскости. Если доступна исходная геодезическая широта, ее следует использовать, в противном случае связь между геодезической и геоцентрической широтой имеет зависимость от высоты и фиксируется с помощью:${\displaystyle \ \phi }$${\displaystyle \ \phi ^{\prime }}$

${\displaystyle \tan \phi ^{\prime }={\frac {Z_{r}}{\sqrt {X_{r}^{2}+Y_{r}^{2}}}}={\frac {N(\phi )(1-f)^{2}+h}{N(\phi )+h}}\tan \phi }$

Получение геодезической широты из геоцентрических координат из этой взаимосвязи требует подхода итеративного решения, в противном случае геодезические координаты могут быть вычислены с помощью подхода, описанного в разделе выше, помеченном «От ECEF к геодезическим координатам».

Геоцентрическая и геодезическая долгота имеют одинаковое значение. Это верно для Земли и других планет аналогичной формы, потому что их линии широты (параллели) могут рассматриваться как более совершенные круги, чем линии их долготы (меридианы).

${\displaystyle \tan \lambda ={\frac {Y_{r}}{X_{r}}}}$

Примечание: однозначное определение и требует знания, в каком квадранте лежат координаты.${\displaystyle \ \phi }$${\displaystyle \ \lambda }$

Из ENU в ECEF [ править ]

Это просто инверсия преобразования ECEF в ENU, поэтому

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X\\Y\\Z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\sin \lambda &-\sin \phi \cos \lambda &\cos \phi \cos \lambda \\\cos \lambda &-\sin \phi \sin \lambda &\cos \phi \sin \lambda \\0&\cos \phi &\sin \phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}X_{r}\\Y_{r}\\Z_{r}\end{bmatrix}}}$

Преобразование картографических проекций [ править ]

Преобразование координат и положений на карте среди различных картографических проекций с привязкой к одной и той же системе координат может быть выполнено либо с помощью формул прямого перевода из одной проекции в другую, либо сначала преобразованием из проекции в промежуточную систему координат, такую ​​как ECEF, а затем преобразование из ECEF. к проекции . Используемые формулы могут быть сложными, и в некоторых случаях, например, в приведенном выше преобразовании ECEF в геодезические, преобразование не имеет решения в замкнутой форме, и необходимо использовать приближенные методы. Ссылки, такие как Техническое руководство по прямому доступу к памяти 8358.1 ^[13] и документ Геологической службы США « Картографические проекции: рабочее руководство» ^[14]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$содержат формулы преобразования картографических проекций. Компьютерные программы обычно используются для выполнения задач преобразования координат, например, с программой GEOTRANS, поддерживаемой Министерством обороны и NGA. ^[15]

Преобразования датума [ править ]

Преобразования между базами данных можно выполнить несколькими способами. Существуют преобразования, которые напрямую преобразуют геодезические координаты из одной системы координат в другую. Есть и другие косвенные преобразования, которые преобразуют геодезические координаты в координаты ECEF, преобразуют координаты ECEF из одной базы данных в другую, а затем преобразуют координаты ECEF новой базы данных обратно в геодезические координаты. Существуют также преобразования на основе сетки, которые напрямую преобразуют одну пару (датум, картографическая проекция) в другую (датум, картографическая проекция).

Преобразование Гельмерта [ править ]

Использование преобразования Хельмерта при преобразовании геодезических координат системы координат в геодезические координаты системы координат происходит в контексте трехэтапного процесса: ^[16]${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

1. Преобразование из геодезических координат в координаты ECEF для датума ${\displaystyle A}$
2. Примените преобразование Хельмерта с соответствующими параметрами преобразования, чтобы преобразовать исходные координаты ECEF в исходные координаты ECEF.${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
3. Преобразование из координат ECEF в геодезические координаты для датума ${\displaystyle B}$

В терминах векторов ECEF XYZ преобразование Хельмерта имеет вид ^[16]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{x}\\c_{y}\\c_{z}\end{bmatrix}}+\left(1+s\times 10^{-6}\right){\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}.}$

Преобразование Хелмерта - это преобразование с семью параметрами с тремя параметрами перемещения (сдвига) , тремя параметрами вращения и одним параметром масштабирования (растяжения) . Преобразование Хелмерта - это приближенный метод, который является точным, когда параметры преобразования малы по сравнению с величинами векторов ECEF. В этих условиях преобразование считается обратимым. ^[17]${\displaystyle c_{x},\,c_{y},\,c_{z}}$${\displaystyle r_{x},\,r_{y},\,r_{z}}$${\displaystyle s}$

Преобразование Хельмерта с четырнадцатью параметрами с линейной зависимостью от времени для каждого параметра ^{[17] : 131–133} может использоваться для захвата временной эволюции географических координат, связанных с геоморфными процессами, такими как дрейф континентов. ^[18] и землетрясения. ^[19] Это было включено в программное обеспечение, такое как инструмент горизонтального зависимого от времени позиционирования (HTDP) от NGS США. ^[20]

Преобразование Молоденского-Бадекаса [ править ]

Чтобы устранить связь между вращениями и перемещениями преобразования Хельмерта, можно ввести три дополнительных параметра, чтобы задать новый центр вращения XYZ ближе к координатам, которые необходимо преобразовать. Эта десятипараметрическая модель называется преобразованием Молоденского-Бадекаса, и ее не следует путать с более простым преобразованием Молоденского. ^{[17] : 133-134}

Как и преобразование Хельмерта, использование преобразования Молоденского-Бадекаса представляет собой трехэтапный процесс:

1. Преобразование из геодезических координат в координаты ECEF для датума ${\displaystyle A}$
2. Примените преобразование Молоденского-Бадекаса с соответствующими параметрами преобразования, чтобы преобразовать исходные координаты ECEF в исходные координаты ECEF.${\displaystyle A\to B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
3. Преобразование из координат ECEF в геодезические координаты для датума ${\displaystyle B}$

Преобразование имеет вид ^[21]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}X_{B}\\Y_{B}\\Z_{B}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}X_{A}\\Y_{A}\\Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}\Delta X_{A}\\\Delta Y_{A}\\\Delta Z_{A}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&-r_{z}&r_{y}\\r_{z}&1&-r_{x}\\-r_{y}&r_{x}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}+\Delta S{\begin{bmatrix}X_{A}-X_{A}^{0}\\Y_{A}-Y_{A}^{0}\\Z_{A}-Z_{A}^{0}\end{bmatrix}}.}$

где - начало координат для преобразований поворота и масштабирования, а - коэффициент масштабирования.${\displaystyle \left(X_{A}^{0},\,Y_{A}^{0},\,Z_{A}^{0}\right)}$${\displaystyle \Delta S}$

Преобразование Молоденского-Бадекаса используется для преобразования локальных геодезических данных в глобальные геодезические данные, такие как WGS 84. В отличие от преобразования Гельмерта, преобразование Молоденского-Бадекаса необратимо из-за того, что начало вращения связано с исходным элементом данных. ^{[17] : 134}

Молоденское преобразование [ править ]

Преобразование Молоденского выполняет прямое преобразование между геодезическими системами координат разных датумов без промежуточного шага преобразования в геоцентрические координаты (ECEF). ^[22] Для этого требуется три сдвиги между опорными центрами и различия между эллипсоида больших полуосей и выравнивание параметров.

Преобразование Молоденского используется Национальным агентством геопространственной разведки (NGA) в их стандарте TR8350.2 и поддерживаемой NGA программой GEOTRANS. ^[23] Метод Молоденского был популярен до появления современных компьютеров, и этот метод является частью многих геодезических программ.

Сеточный метод [ править ]

Преобразования на основе сетки напрямую преобразуют координаты карты из одной пары (карта-проекция, геодезическая система координат) в координаты карты другой пары (карта-проекция, геодезическая база). Примером может служить метод NADCON для преобразования североамериканской системы отсчета (NAD) 1927 года в систему отсчета NAD 1983 года. ^[24] Эталонная сеть высокой точности (HARN), высокоточная версия преобразований NADCON, имеет точность приблизительно 5 сантиметров. Национальная версия преобразования 2 ( NTv2 ) - это канадская версия NADCON для преобразования между NAD 1927 и NAD 1983. HARN также известны как NAD 83/91 и высокоточные сетевые сети (HPGN). ^[25] Впоследствии Австралия и Новая Зеландия приняли формат NTv2 для создания основанных на сетке методов преобразования между их собственными локальными системами отсчета.

Подобно преобразованию уравнений множественной регрессии, сеточные методы используют метод интерполяции низкого порядка для преобразования координат карты, но в двух измерениях вместо трех. НУОА обеспечивает программное средство ( в качестве части NGS геодезического Toolkit) для выполнения преобразований NADCON. ^{[26] [27]}

Уравнения множественной регрессии [ править ]

Преобразования базовых данных с помощью эмпирических методов множественной регрессии были созданы для достижения более точных результатов для небольших географических регионов, чем стандартные преобразования Молоденского. Преобразования MRE используются для преобразования локальных данных по регионам размером с континент или меньшего размера в глобальные системы координат, такие как WGS 84. ^[28] В стандарте NIMA TM 8350.2, Приложение D, ^[29] перечислены преобразования MRE из нескольких локальных датумов в WGS 84, с точностью около 2 метров. ^[30]

MRE представляют собой прямое преобразование геодезических координат без промежуточного шага ECEF. Геодезические координаты в новой системе координат моделируются как полиномы с точностью до девятой степени в геодезических координатах исходной системы координат . Например, изменение можно параметризовать как (с указанием только квадратичных членов) ^{[28] : 9}${\displaystyle \phi _{B},\,\lambda _{B},\,h_{B}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \phi _{A},\,\lambda _{A},\,h_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \phi _{B}}$

${\displaystyle \Delta \phi =a_{0}+a_{1}U+a_{2}V+a_{3}U^{2}+a_{4}UV+a_{5}V^{2}+\cdots }$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}&{\text{, parameters fitted by multiple regression}}\\U&=K(\phi _{A}-\phi _{m})\\V&=K(\lambda _{A}-\lambda _{m})\\K&{\text{, scale factor}}\\\phi _{m},\,\lambda _{m}&{\text{, origin of the datum, }}A\\\end{aligned}}}$

с аналогичными уравнениями для и . При наличии достаточного количества пар координат для ориентиров в обеих базах данных для хорошей статистики используются множественные методы регрессии, чтобы соответствовать параметрам этих многочленов. Полиномы вместе с подобранными коэффициентами образуют уравнения множественной регрессии.${\displaystyle \Delta \lambda }$${\displaystyle \Delta h}$${\displaystyle (A,\,B)}$

См. Также [ править ]

• Система координат Гаусса – Крюгера
• Список картографических проекций
• Система пространственной привязки
• Топоцентрическая система координат
• Универсальная полярная стереографическая система координат
• Универсальная поперечная система координат Меркатора

Ссылки [ править ]