Коробление

Панели обшивки с пряжками на самолете В-52 . Панели из тонкой обшивки изгибаются при очень низких нагрузках. В показанном здесь случае вес передней конструкции фюзеляжа перед носовой частью шасси достаточен, чтобы вызвать прогиб панелей. Панели с пряжками по-прежнему эффективны в переносе сдвига при диагональном растяжении. ^[1]

В строительных техниках , потеря устойчивости является внезапным изменением формы ( деформация ) из структурного компонента под нагрузкой , например, кланяясь из колонки при сжатии или сморщивании пластины при сдвиге . Если конструкция подвергается постепенно возрастающей нагрузке, когда нагрузка достигает критического уровня, элемент может внезапно изменить форму, и считается, что конструкция и компонент изгибаются . ^[2] Критическая нагрузка Эйлера и параболическая формула Джонсона используются для определения напряжения изгиба в тонких колоннах.

Изгиб может произойти, даже если напряжения , возникающие в конструкции, намного ниже тех, которые необходимы для разрушения.в материале, из которого состоит конструкция. Дальнейшая нагрузка может вызвать значительные и несколько непредсказуемые деформации, что может привести к полной потере несущей способности элемента. Однако, если деформации, возникающие после продольного изгиба, не вызывают полного разрушения этого элемента, элемент будет продолжать выдерживать нагрузку, которая вызвала его изгиб. Если изогнутый элемент является частью более крупной сборки компонентов, такой как здание, любая нагрузка, приложенная к изогнутой части конструкции, сверх той, которая вызвала изгибание элемента, будет перераспределена внутри конструкции. Некоторые самолеты сконструированы с использованием панелей с тонкой обшивкой, чтобы продолжать нести нагрузку даже в изогнутом состоянии.

Формы коробления [ править ]

Столбцы [ править ]

Отношение эффективной длины колонны к наименьшему радиусу вращения ее поперечного сечения называется коэффициентом гибкости (иногда выражается греческой буквой лямбда, λ). Это соотношение позволяет классифицировать колонны и их режимы отказа. Коэффициент гибкости важен с точки зрения дизайна. Все следующие значения являются приблизительными, используемыми для удобства.

Если нагрузка на колонну приложена через центр тяжести (центроид) ее поперечного сечения, это называется осевой нагрузкой . Нагрузка в любой другой точке поперечного сечения называется эксцентриком.нагрузка. Короткая колонна под действием осевой нагрузки выйдет из строя из-за прямого сжатия до того, как она прогнется, но длинная колонна, нагруженная таким же образом, выйдет из строя, внезапно отскочив наружу в боковом направлении (изгиб) в режиме изгиба. Режим прогиба с изгибом считается режимом разрушения и обычно возникает до того, как осевые сжимающие напряжения (прямое сжатие) могут вызвать разрушение материала из-за деформации или разрушения этого сжимающего элемента. Однако колонны средней длины выйдут из строя из-за сочетания прямого сжимающего напряжения и изгиба.

Особенно:

• Короткая стальная колонна - это колонна, коэффициент гибкости которой не превышает 50; Стальная колонна промежуточной длины имеет коэффициент гибкости в диапазоне от примерно 50 до 200, и ее поведение определяется пределом прочности материала, в то время как можно предположить, что длинная стальная колонна имеет коэффициент гибкости более 200, и ее поведение является доминирующим. по модулю упругости материала.
• Короткая бетонная колонна - это колонна, у которой отношение длины без опоры к наименьшему размеру поперечного сечения равно или меньше 10. Если соотношение больше 10, она считается длинной колонной (иногда называемой тонкой колонной).
• Деревянные колонны можно классифицировать как короткие колонны, если отношение длины к наименьшему размеру поперечного сечения равно или меньше 10. Границу между промежуточными и длинными деревянными колоннами нелегко оценить. Одним из способов определения нижнего предела длинных деревянных колонн было бы установить его как наименьшее значение отношения длины к наименьшей площади поперечного сечения, которое просто превышает определенную константу K материала. Поскольку K зависит от модуля упругости и допустимого напряжения сжатия, параллельного волокну, можно видеть, что этот произвольный предел будет варьироваться в зависимости от породы древесины. Значение K указано в большинстве структурных справочников.

Теорию поведения колонн исследовал в 1757 году математик Леонард Эйлер . Он вывел формулу Эйлера, которая дает максимальную осевую нагрузку, которую длинная, тонкая, идеальная колонна может нести без потери устойчивости. Идеальная колонна - это колонна, которая идеально прямая, сделана из однородного материала и не подвержена начальным напряжениям. Когда приложенная нагрузка достигает нагрузки Эйлера, иногда называемой критической нагрузкой, колонна приходит в состояние неустойчивого равновесия.. При такой нагрузке приложение малейшей боковой силы вызовет отказ колонны из-за внезапного «прыжка» в новую конфигурацию, и говорят, что колонна изогнулась. Вот что происходит, когда человек стоит на пустой алюминиевой банке, а затем кратковременно постукивает по сторонам, в результате чего она мгновенно раздавливается (вертикальные стороны банки можно понимать как бесконечную серию чрезвычайно тонких столбцов). ^{[ необходима цитата ]} Формула, полученная Эйлером для длинных тонких столбцов, приведена ниже.

${\ Displaystyle F = {\ гидроразрыва {\ pi ^ {2} EI} {(KL) ^ {2}}}}$

Чтобы получить математическую демонстрацию, прочтите: Критическая нагрузка Эйлера

куда

${\displaystyle F}$, максимальная или критическая сила (вертикальная нагрузка на колонну),

${\displaystyle E}$, модуль упругости ,

${\displaystyle I}$, наименьший момент инерции площади (второй момент площади) поперечного сечения колонны,

${\displaystyle L}$, неподдерживаемая длина столбца,

${\displaystyle K}$, коэффициент полезной длины колонны , значение которого зависит от условий торцевой опоры колонны, следующим образом.

Для обоих концов возлагали (навесной, свободно вращаться), .${\displaystyle K=1.0}$

Для обоих концов фиксированных, .${\displaystyle K=0.50}$

Один конец закреплен, а другой закреплен штифтом .${\displaystyle K={\sqrt {2}}/2\approx 0.7071}$

Для одного конца фиксированной , а другой конец свободно перемещаться в поперечном направлении , .${\displaystyle K=2.0}$

${\displaystyle KL}$ - эффективная длина колонны.

Изучение этой формулы позволяет выявить следующие факты относительно несущей способности тонких колонн.

• Эластичность материала колонны , а не сжимающая прочность материала колонны определяет потерю устойчивости нагрузки столбца.
• Потери устойчивости нагрузка прямо пропорциональна на второй момент площади поперечного сечения.
• Граничные условия существенно влияют на критическую нагрузку тонких колонн. Граничные условия определяют режим изгиба колонны и расстояние между точками перегиба на кривой смещения отклоненной колонны. Точки перегиба в форме прогиба колонны - это точки, в которых кривизна колонны меняет знак, а также точки, в которых внутренние изгибающие моменты колонны равны нулю. Чем ближе точки перегиба, тем больше результирующая осевая нагрузка (противодействие) колонны.

Вывод из вышеизложенного состоит в том, что нагрузку на продольный изгиб колонны можно увеличить, изменив ее материал на материал с более высоким модулем упругости (E) или изменив конструкцию поперечного сечения колонны, чтобы увеличить ее момент инерции. Последнее можно сделать без увеличения веса колонны, распределив материал как можно дальше от главной оси поперечного сечения колонны. В большинстве случаев наиболее эффективным материалом для изготовления колонны является материал трубчатой ​​секции.

Другой вывод, который можно почерпнуть из этого уравнения, - это влияние длины на критическую нагрузку. Удвоение неподдерживаемой длины колонны снижает допустимую нагрузку на четверть. Сдерживание, обеспечиваемое концевыми соединениями колонны, также влияет на ее критическую нагрузку. Если соединения абсолютно жесткие (не позволяют вращать его концы), критическая нагрузка будет в четыре раза больше, чем для аналогичной колонны, концы которой закреплены (позволяя вращать концы).

Поскольку радиус инерции определяется как квадратный корень из отношения момента инерции колонны относительно оси к площади ее поперечного сечения, приведенная выше формула Эйлера может быть переформатирована путем замены радиуса инерции на :${\displaystyle Ar^{2}}$${\displaystyle I}$

${\displaystyle \sigma ={\frac {F}{A}}={\frac {\pi ^{2}E}{(l/r)^{2}}}}$

где - напряжение, вызывающее коробление колонны, и - коэффициент гибкости.${\displaystyle \sigma =F/A}$${\displaystyle l/r}$

Поскольку несущие колонны обычно имеют промежуточную длину, формула Эйлера не имеет практического применения в обычном проектировании. Проблемы, которые вызывают отклонения от чистого поведения колонны Эйлера, включают несовершенство геометрии колонны в сочетании с пластичностью / нелинейным напряжением и деформацией материала колонны. Следовательно, был разработан ряд эмпирических формул столбцов, которые согласуются с данными испытаний, и все они отражают коэффициент гибкости. Из-за неопределенности поведения колонн при проектировании в эти формулы вводятся соответствующие коэффициенты запаса прочности . Одна из таких формул - формула Перри Робертсона.который оценивает критическую нагрузку потери устойчивости на основе предполагаемой малой начальной кривизны, следовательно, эксцентриситета осевой нагрузки. Формула Ренкина Гордона (названная в честь Уильяма Джона Маккуорна Рэнкина и Перри Хьюгесворта Гордона (1899-1966)) также основана на экспериментальных результатах и ​​предполагает, что столбец изгибается при нагрузке F _max, определяемой по формуле :

${\displaystyle {\frac {1}{F_{\max }}}={\frac {1}{F_{e}}}+{\frac {1}{F_{c}}}}$

где - максимальная нагрузка Эйлера, а - максимальная сжимающая нагрузка. Эта формула обычно дает консервативную оценку .${\displaystyle F_{e}}$${\displaystyle F_{c}}$${\displaystyle F_{\max }}$

Самоизгибание [ править ]

Чтобы получить математическую демонстрацию, прочтите: Самоизгибание.

Отдельно стоящая вертикальная колонна с плотностью , модулем Юнга и площадью поперечного сечения изгибается под собственным весом, если ее высота превышает определенное критическое значение: ^{[3] [4] [5]}${\displaystyle \rho }$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$

${\displaystyle h_{\text{crit}}=\left({\frac {9B^{2}}{4}}\,{\frac {EI}{\rho gA}}\right)^{\frac {1}{3}}}$

где - ускорение свободного падения, - второй момент площади поперечного сечения балки, - первый нуль функции Бесселя первого вида порядка -1/3, что равно 1,86635086…${\displaystyle g}$${\displaystyle I}$${\displaystyle B}$

Изгиб пластин [ править ]

Пластина представляет собой 3-мерной структуры определены как имеющие ширину сопоставимого размера , чтобы его длине, с толщиной, которая очень мала по сравнению с его двух других размеров. Подобно колоннам, тонкие пластины испытывают деформации продольного изгиба вне плоскости при воздействии критических нагрузок; однако, в отличие от изгиба колонн, плиты под действием изгибающих нагрузок могут продолжать нести нагрузки, называемые местным изгибом. Это явление невероятно полезно во многих системах, так как позволяет проектировать системы для обеспечения большей грузоподъемности.

Для прямоугольной пластины, поддерживаемой вдоль каждого края и нагруженной равномерной сжимающей силой на единицу длины, полученное основное уравнение можно сформулировать следующим образом: ^[6]

${\displaystyle {\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{4}}}+2{\frac {\partial ^{4}w}{\partial x^{2}\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{4}w}{\partial y^{4}}}={\frac {12\left(1-\nu ^{2}\right)}{Et^{3}}}\left(-N_{x}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}\right)}$

куда

${\displaystyle w}$отклонение от плоскости

${\displaystyle N_{x}}$, равномерно распределенная сжимающая нагрузка

${\displaystyle \nu }$, Коэффициент Пуассона

${\displaystyle E}$, модуль упругости

${\displaystyle t}$, толщина

Решение отклонения может быть разложено на две показанные гармонические функции: ^[6]

${\displaystyle w=\sum _{m=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }w_{mn}\sin \left({\frac {m\pi x}{a}}\right)\sin \left({\frac {n\pi y}{b}}\right)}$

куда

${\displaystyle m}$, количество полусинусоидальных искривлений, возникающих в продольном направлении.

${\displaystyle n}$, количество полусинусоидальных искривлений, возникающих по ширине

${\displaystyle a}$, длина образца

${\displaystyle b}$, ширина образца

Предыдущее уравнение может быть заменено на предыдущее дифференциальное уравнение, где равно 1. может быть разделено, давая уравнение для критической сжимающей нагрузки плиты: ^[6]${\displaystyle n}$${\displaystyle N_{x}}$

${\displaystyle N_{x,cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}Et^{3}}{12\left(1-\nu ^{2}\right)b^{2}}}}$

куда

${\displaystyle k_{cr}}$, коэффициент потери устойчивости, определяемый по формуле: ^[6]

${\displaystyle k_{cr}=\left({\frac {mb}{a}}+{\frac {a}{mb}}\right)^{2}}$

На коэффициент потери устойчивости влияет внешний вид образца / и количество продольных изгибов. Для увеличивающегося числа таких изгибов соотношение сторон обеспечивает изменяющийся коэффициент продольного изгиба; но каждое отношение обеспечивает минимальное значение для каждого . Это минимальное значение затем можно использовать как постоянное, независимо от соотношения сторон и . ^[6]${\displaystyle a}$${\displaystyle {b}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$

Учитывая, что напряжение определяется нагрузкой на единицу площади, для критического напряжения находится следующее выражение:

${\displaystyle \sigma _{cr}=k_{cr}{\frac {\pi ^{2}E}{12\left(1-\nu ^{2}\right)\left({\frac {b}{t}}\right)^{2}}}}$

Из полученных уравнений можно увидеть близкое сходство между критическим напряжением для колонны и для плиты. По мере уменьшения ширины пластина действует больше как колонна, поскольку увеличивает сопротивление продольному изгибу по ширине пластины. Увеличение позволяет увеличить количество синусоидальных волн, создаваемых продольным изгибом, но также увеличивает сопротивление продольному изгибу по ширине. ^[6]${\displaystyle b}$${\displaystyle a}$Это создает предпочтение пластине изгибаться таким образом, чтобы количество изгибов было одинаковым как по ширине, так и по длине. Из-за граничных условий, когда пластина нагружается критическим напряжением и изгибается, края, перпендикулярные нагрузке, не могут деформироваться вне плоскости и, следовательно, будут продолжать нести напряжения. Это создает неравномерную сжимающую нагрузку по концам, где напряжения действуют на половину эффективной ширины с обеих сторон образца, что определяется следующим образом: ^[6]

${\displaystyle {\frac {b_{\text{eff}}}{b}}\approx {\sqrt {{\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}\left(1-1.022{\sqrt {\frac {\sigma _{cr}}{\sigma _{y}}}}\right)}}}$

куда

${\displaystyle b_{\text{eff}}}$, полезная ширина

${\displaystyle \sigma _{y}}$, давая напряжение

По мере увеличения нагруженного напряжения эффективная ширина продолжает уменьшаться; если напряжения на концах когда-либо достигнут предела текучести, пластина выйдет из строя. Это то, что позволяет изогнутой конструкции продолжать выдерживать нагрузки. Когда осевая нагрузка превышает критическую нагрузку в зависимости от смещения, отображается основной путь. Демонстрирует сходство плиты с колонной при продольном изгибе; однако после нагрузки продольного изгиба основной путь раздваивается на вторичный путь, который изгибается вверх, обеспечивая возможность подвергаться более высоким нагрузкам, превышающим критическую нагрузку.

Изгиб-кручение [ править ]

Изгиб-скручивание можно описать как комбинацию реакции элемента на изгиб и скручивание при сжатии. Такой режим отклонения необходимо учитывать при проектировании. В основном это происходит в колоннах с «открытыми» поперечными сечениями и, следовательно, имеющих низкую жесткость на кручение, таких как швеллеры, конструкционные тройники, формы с двойным углом и одноугольные с одной стороны. Круглые поперечные сечения не испытывают такой формы потери устойчивости.

Боковое продольное изгибание [ править ]

Когда балка с простой опорой нагружается при изгибе , верхняя сторона испытывает сжатие , а нижняя сторона - растяжение . Если балка не поддерживается в боковом направлении (т. Е. Перпендикулярно плоскости изгиба) и изгибная нагрузка возрастает до критического предела, балка будет испытывать боковое отклонение сжатой полки при локальном изгибе. Боковое отклонение сжатой полки ограничивается стенкой балки и натяжной полкой, но для открытого участка режим скручивания более гибкий, поэтому балка как скручивается, так и отклоняется в поперечном направлении в режиме отказа, известном как продольное изгибание при кручении.. В широкополочных профилях (с высокой жесткостью на боковой изгиб) режим прогиба будет в основном скрученным при кручении. В секциях с узкими полками жесткость на изгиб ниже, а прогиб колонны будет ближе к таковому в режиме бокового изгиба.

Использование закрытых секций, таких как квадратная полая секция , снизит эффект продольного изгиба при кручении благодаря их высокой жесткости на кручение .

C _b - коэффициент модификации, используемый в уравнении для номинальной прочности на изгиб при определении продольного изгиба при кручении. Причина этого фактора состоит в том, чтобы учесть неоднородные диаграммы моментов, когда концы сегмента балки скреплены. Консервативное значение C _b можно принять равным 1, независимо от конфигурации балки или нагрузки, но в некоторых случаях оно может быть чрезмерно консервативным. C _b всегда равно или больше 1, но не меньше. Для консолей или свесов, у которых свободный конец не закреплен, C _b равно 1. Существуют таблицы значений C _b для балок с простой опорой.

Если соответствующее значение C _b не указано в таблицах, его можно получить по следующей формуле:

${\displaystyle C_{b}={\frac {12.5M_{\max }}{2.5M_{\max }+3M_{A}+4M_{B}+3M_{C}}}}$

куда

${\displaystyle M_{\max }}$, абсолютное значение максимального момента на свободном участке,

${\displaystyle M_{A}}$, абсолютное значение максимального момента в четверти свободного участка,

${\displaystyle M_{B}}$, абсолютное значение максимального момента на средней линии свободного сегмента,

${\displaystyle M_{C}}$, абсолютное значение максимального момента в трех четвертях свободного участка,

Результат одинаков для всех систем единиц.

Пластиковая деформация [ править ]

Прочность элемента на изгиб при изгибе меньше, чем прочность на изгиб при упругом изгибе конструкции, если материал элемента подвергается напряжению за пределами диапазона упругости материала и в диапазоне нелинейного (пластического) поведения материала. Когда сжимающая нагрузка близка к нагрузке продольного изгиба, конструкция будет значительно изгибаться, и материал колонны будет отклоняться от линейного поведения напряженно-деформированного состояния. Напряженно-деформированное поведение материалов не является строго линейным даже ниже предела текучести, следовательно, модуль упругости уменьшается по мере увеличения напряжения и в значительной степени по мере приближения напряжений к пределу текучести материала. Эта уменьшенная жесткость материала снижает сопротивление продольному изгибу конструкции и приводит к нагрузке при продольном изгибе, меньшей, чем прогнозируется в предположении линейного упругого поведения.

Более точное приближение нагрузки при продольном изгибе можно получить, используя касательный модуль упругости E _t , который меньше модуля упругости, вместо модуля упругости упругости. Касательная равна модулю упругости, а затем уменьшается сверх пропорционального предела. Касательный модуль - это линия, касательная к кривой напряжения-деформации при определенном значении деформации (на упругом участке кривой напряжения-деформации касательный модуль равен модулю упругости). Графики касательного модуля упругости для различных материалов доступны в стандартных справочных материалах.

Калечащий [ править ]

Секции, состоящие из пластин с фланцами, например швеллер, могут по-прежнему нести нагрузку в углах после локального изгиба фланцев. Увечье - это сбой всего раздела. ^[1]

Диагональное натяжение [ править ]

Из-за тонкой обшивки, обычно используемой в аэрокосмической отрасли, обшивка может деформироваться при низких уровнях нагрузки. Однако, однажды изогнутые, вместо того, чтобы передавать поперечные силы, они все еще способны нести нагрузку через напряжения диагонального растяжения (DT) в стенке. Это приводит к нелинейному поведению несущей способности этих деталей. Отношение фактической нагрузки к нагрузке, при которой возникает коробление, известно как коэффициент потери устойчивости листа. ^[1] Высокий коэффициент изгиба может привести к чрезмерному сморщиванию листов, которое затем может выйти из строя из-за текучести.от морщин. Хотя они могут коробиться, тонкие листы не деформируются постоянно и не возвращаются в расстегнутое состояние после снятия приложенной нагрузки. Повторяющееся коробление может привести к усталостным повреждениям.

Листы, находящиеся под диагональным растяжением, поддерживаются ребрами жесткости, которые в результате продольного изгиба несут распределенную нагрузку по всей своей длине и могут, в свою очередь, привести к разрушению этих конструктивных элементов при продольном изгибе.

Более толстые пластины могут лишь частично образовывать диагональное поле натяжения и могут продолжать нести часть нагрузки за счет сдвига. Это известно как неполное диагональное натяжение (IDT). Это поведение было изучено Вагнером, и эти пучки иногда называют пучками Вагнера. ^[1]

Диагональное натяжение может также привести к растягиванию любых крепежных элементов, таких как заклепки, которые используются для крепления полотна к опорным элементам. Крепежные детали и листы должны быть спроектированы так, чтобы их нельзя было сорвать с опор.

Динамическое изгибание [ править ]

Если колонна нагружается внезапно, а затем нагрузка сбрасывается, колонна может выдержать гораздо более высокую нагрузку, чем ее статическая (медленно прикладываемая) нагрузка изгиба. Это может произойти в длинной колонне без опоры, используемой в качестве отбойного молотка. Продолжительность сжатия на ударном конце - это время, необходимое для того, чтобы волна напряжения прошла вдоль колонны к другому (свободному) концу и вернулась вниз в виде волны разгрузки. Максимальное продольное изгибание происходит около ударного конца при длине волны, намного меньшей, чем длина стержня, и при напряжении, во много раз превышающем напряжение изгиба статически нагруженной колонны. Критическое условие для того, чтобы амплитуда продольного изгиба оставалась менее чем примерно в 25 раз превышающей эффективную прямолинейность стержня на длине волны изгиба, является

${\displaystyle \sigma L=\rho c^{2}h}$

где - ударное напряжение, - длина стержня, - скорость упругой волны, - меньший поперечный размер прямоугольного стержня. Поскольку длина волны изгиба зависит только от и , эта же формула верна для тонких цилиндрических оболочек толщиной . ^[7]${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$

Теория [ править ]

Энергетический метод [ править ]

Часто очень сложно определить точную нагрузку при продольном изгибе в сложных конструкциях с использованием формулы Эйлера из-за сложности определения константы K. Поэтому максимальная нагрузка при продольном изгибе часто аппроксимируется с использованием энергосбережения и называется энергетическим методом в структурном анализе. .

Первый шаг в этом методе - принять режим смещения и функцию, которая представляет это смещение. Эта функция должна удовлетворять наиболее важным граничным условиям, таким как смещение и вращение. Чем точнее функция смещения, тем точнее будет результат.

Метод предполагает, что система (колонна) является консервативной системой, в которой энергия не рассеивается в виде тепла, следовательно, энергия, добавленная к колонне за счет приложенных внешних сил, сохраняется в колонне в виде энергии деформации.

${\displaystyle U_{\text{applied}}=U_{\text{strain}}}$

В этом методе используются два уравнения (для малых деформаций) для аппроксимации энергии «деформации» (потенциальная энергия, запасенная в виде упругой деформации конструкции) и «приложенной» энергии (работа, совершаемая в системе внешними силами).

${\displaystyle {\begin{aligned}U_{\text{strain}}&={\frac {E}{2}}\int I(x)(w_{xx}(x))^{2}\,dx\\U_{\text{applied}}&={\frac {P_{\text{crit}}}{2}}\int (w_{x}(x))^{2}\,dx\end{aligned}}}$

где - функция смещения, а индексы и относятся к первой и второй производным смещения. ${\displaystyle w(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle xx}$

Модели с одной степенью свободы [ править ]

Используя понятие полной потенциальной энергии , можно выделить четыре основных форм потери устойчивости , найденных в структурных моделях с одной степенью свободы. Начнем с выражения${\displaystyle V}$

${\displaystyle V=U-P\Delta }$

где - энергия деформации, накопленная в конструкции, - приложенная консервативная нагрузка и - расстояние, пройденное в ее направлении. Используя аксиомы теории упругой неустойчивости, а именно, что равновесие - это любая точка, в которой она является стационарной относительно координаты, измеряющей степень (ы) свободы, и что эти точки являются стабильными только в том случае, если является локальным минимумом, и нестабильными в противном случае (например, максимум или точка перегиба). ^[8]${\displaystyle U}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle P}$${\displaystyle V}$${\displaystyle V}$

Эти четыре формы упругого коробления представляют собой бифуркацию седло-узел или предельную точку ; в сверхкритическом состоянии или стабильной симметричной бифуркация; докритическим или неустойчиво-симметричной бифуркации; и транскритическая или асимметричная бифуркация. Все эти примеры, кроме первого, представляют собой форму раздвоения вил . Простые модели для каждого из этих типов поведения потери устойчивости показаны на рисунках ниже вместе с соответствующими бифуркационными диаграммами.

Модели жестких звеньев с одной степенью свободы (SDoF), отображающие четыре различных типа явлений потери устойчивости. Пружина в каждой модели безударная при .${\displaystyle q=0}$

Предельная точка	Стабильно-симметричная бифуркация	Неустойчиво-симметричная бифуркация	Асимметричная бифуркация
Модель связанной фермы с наклонными звеньями и горизонтальной пружиной.	Модель звена с вращающейся пружиной	Модель звена с поперечной пружиной	Модель звена с наклонной пружиной

Бифуркационные диаграммы (синие) для вышеуказанных моделей с анимированной функцией энергии (красный) при различных значениях нагрузки (черный). Обратите внимание, нагрузка находится на вертикальной оси. Все графики имеют безразмерный вид.${\displaystyle P}$

	${\displaystyle P^{C}=c/(2L)}$	${\displaystyle P^{C}=kL/2}$	${\displaystyle P^{C}=kL/2}$

Инженерные примеры [ править ]

Велосипедные колеса [ править ]

Обычное велосипедное колесо состоит из тонкого обода, который выдерживает высокое сжимающее напряжение за счет (примерно нормального) усилия внутрь большого количества спиц. Его можно рассматривать как нагруженную колонну, согнутую по кругу. Если натяжение спиц превышает безопасный уровень или если часть обода подвергается определенной боковой силе, колесо самопроизвольно выходит из строя в характерной седловидной форме (иногда называемой «тако» или « колючкой »), подобной трехмерной. Столбец Эйлера. Если это чисто упругая деформация, обод вернется в свою правильную плоскую форму, если будет уменьшено натяжение спиц или приложена поперечная сила с противоположного направления.

Дороги [ править ]

Коробление также является проявлением разрушения материалов дорожного покрытия , в первую очередь бетона, поскольку асфальт более гибкий. Инфракрасное излучение от солнца поглощается в поверхности дороги, заставляя его расширяться , вынуждая соседние части , чтобы толкать друг против друга. Если напряжение достаточно велико, тротуар может внезапно подняться и потрескаться. Переезд через изогнутый участок может быть очень неприятным для водителей автомобилей , это описывается как наезд на горку на скоростях шоссе.

Железнодорожные пути [ править ]

Точно так же рельсовые пути также расширяются при нагревании и могут выйти из строя из-за изгиба - явления, называемого солнечным изгибом . Это более характерно для рельсов для перемещения в боковом направлении , часто потянув основополагающие связи (шпалы) вдоль.

Было сочтено, что эти аварии связаны с солнечным перегибом ( дополнительная информация доступна в Списке железнодорожных аварий (2000–2009) ):

• 18 апреля 2002 г. Авто-поезд Amtrak сошел с рельсов у рельсов CSX , недалеко от Кресент-Сити, Флорида .
• 29 июля 2002 г. крушение компании Amtrak Capitol Limited у рельсов CSX , недалеко от Кенсингтона, штат Мэриленд .
• 8 июля 2010 г. Крушение поезда CSX в Уокшоу, Северная Каролина .
• 6 июля 2012 г. Крушение поезда WMATA Metrorail возле станции West Hyattsville , Мэриленд . ^[9]

Трубы и сосуды под давлением [ править ]

Трубы и сосуды под давлением, подверженные внешнему избыточному давлению, вызванному, например, охлаждением пара внутри трубы и конденсацией в воду с последующим значительным падением давления, могут вызвать коробление из-за кольцевых напряжений сжатия . Правила расчета необходимой толщины стенки или армирующих колец приведены в различных нормах для трубопроводов и сосудов высокого давления.

См. Также [ править ]

• Критическая нагрузка Эйлера
• Формула Перри Робертсона
• Напряжение рельса
• Придание жесткости
• Метод дерева
• Йошимура коробление

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Тимошенко, ИП ; Гир, JM (1961). Теория упругой устойчивости (2-е изд.). Макгроу-Хилл.
• Ненезич, М. (2004). «Механика термопластической сплошной среды». Журнал аэрокосмических структур . 4 .
• Койтер, WT (1945). Устойчивость упругого равновесия (PDF) (кандидатская диссертация).
• Раджеш, Дхакал; Маэкава, Коичи (2002). «Устойчивость арматуры и разрушение бетонного покрытия в железобетонных элементах». Журнал структурной инженерии . 128 (10): 1253–1262. DOI : 10.1061 / (ASCE) 0733-9445 (2002) 128: 10 (1253) . ЛВП : 10092/4229 .
• Сегуи, Виллиан Т. (2007). Steel Design (Четвертое изд.). США: Томсон. ISBN 0-495-24471-6.
• Брун, EF (1973). Анализ и проектирование конструкций летательных аппаратов . Индианаполис: Джейкобс.
• Елисаков, И. (2004). Разрешение загадки двадцатого века в области упругой устойчивости . Сингапур: World Scientific / Imperial College Press. ISBN 978-981-4583-53-4.

Внешние ссылки [ править ]

• Полная теория и примеры экспериментальных результатов для длинных столбцов доступны в виде 39-страничного PDF-документа по адресу http://lindberglce.com/tech/buklbook.htm.
• «Боковое продольное изгибание» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 1 апреля 2010 года.`