Критическая нагрузка Эйлера - это сжимающая нагрузка, при которой тонкая колонна внезапно изгибается или деформируется . Дается формулой: [1]
где
- , Критическая нагрузка Эйлера (продольная сжимающая нагрузка на колонну),
- , Модуль Юнга материала колонны,
- , минимальный момент инерции площади поперечного сечения колонны,
- , неподдерживаемая длина столбца,
- , коэффициент эффективной длины колонны
Эта формула была выведена в 1757 году швейцарским математиком Леонардом Эйлером . Колонна останется прямой при нагрузках, меньших критической. Критическая нагрузка является наибольшей нагрузкой , которая не приведет к боковому отклонению (потери устойчивости). При нагрузках, превышающих критическую, колонна будет отклоняться вбок. Критическая нагрузка переводит колонну в состояние неустойчивого равновесия. Нагрузка за критическую нагрузку вызывает столбец потерпеть неудачу при потере устойчивости . Когда нагрузка превышает критическую нагрузку, поперечные прогибы увеличиваются, пока она не может выйти из строя в других режимах, таких как текучесть материала. Загрузка столбцов сверх критической нагрузки в этой статье не рассматривается.
Примерно в 1900 году Дж. Б. Джонсон показал, что при низких коэффициентах гибкости следует использовать альтернативную формулу .
Предположения модели
При выводе формулы Эйлера делаются следующие предположения: [2]
- Материал колонны является однородным и изотропным .
- Сжимающая нагрузка на колонну только осевая.
- Колонна не испытывает начальных напряжений .
- Вес колонны пренебречь.
- Колонна изначально прямая (нет эксцентриситета осевой нагрузки).
- Штифтовые соединения не имеют трения (без ограничения момента), а закрепленные концы жесткие (без отклонения вращения).
- Поперечное сечение колонны является однородным по всей его длине.
- Прямое напряжение очень мало по сравнению с напряжением изгиба (материал сжимается только в пределах упругого диапазона деформаций).
- Длина колонны очень велика по сравнению с размерами поперечного сечения колонны.
- Колонна выходит из строя только при изгибе. Это верно, если напряжение сжатия в колонне не превышает предел текучести. (см. рисунок 1):
где:
- , коэффициент стройности,
- , эффективная длина,
- , радиус вращения ,
- , момент инерции площади,
- , площадь поперечного сечения.
Для тонких колонн критическое напряжение изгиба обычно ниже, чем предел текучести. Напротив, коренастая колонна может иметь критическое напряжение продольного изгиба выше, чем предел текучести, т. Е. Он уступает до потери устойчивости.
Математический вывод
Столбец с закрепленным концом
Следующая модель применяется к столбцам, которые просто поддерживаются на каждом конце ().
Во-первых, мы обратим внимание на тот факт, что в шарнирных концах нет реакций, поэтому у нас также нет силы сдвига в любом поперечном сечении колонны. Причина отсутствия реакций может быть получена из симметрии (поэтому реакции должны быть в одном направлении) и из моментного равновесия (поэтому реакции должны быть в противоположных направлениях).
Используя диаграмму свободного тела в правой части рисунка 3 и суммируя моменты относительно точки x:
где w - боковой прогиб.
Согласно теории балок Эйлера – Бернулли , прогиб балки связан с ее изгибающим моментом следующим образом:
- ,
так:
Позволять , так:
Получаем классическое однородное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка .
Общие решения этого уравнения: , где а также - константы, определяемые граничными условиями , а именно:
- Левый конец закреплен
- Правый конец закреплен
Если , Не изгибающий момент не существует , и мы получаем тривиальное решение о.
Однако из другого решения мы получили , для
Вместе с Как определено ранее, различными критическими нагрузками являются:
- , для
и в зависимости от стоимости , создаются различные режимы продольного изгиба [3], как показано на рисунке 4. Нагрузка и режим для n = 0 являются режимом без прихвата.
Теоретически возможен любой режим продольного изгиба, но в случае медленно прилагаемой нагрузки, вероятно, будет получена только первая модальная форма.
Следовательно, критическая нагрузка Эйлера для колонны с штифтовым концом составляет:
и полученная форма изогнутой колонны в первом режиме:
- .
Общий подход
Дифференциальное уравнение оси балки [4] имеет вид:
Для колонны только с осевой нагрузкой боковая нагрузка исчезает и заменяет , мы получили:
Это однородное дифференциальное уравнение четвертого порядка, и его общее решение имеет вид
Четыре константы определяются граничными условиями (концевыми ограничениями) на , на каждом конце. Есть три случая:
- Закрепленный конец:
- а также
- Фиксированный конец:
- а также
- Свободный конец:
- а также
Для каждой комбинации этих граничных условий получается задача на собственные значения . Решая их, мы получаем значения критической нагрузки Эйлера для каждого из случаев, представленных на рисунке 1.
Смотрите также
Рекомендации
- ^ "Устойчивость колонны | MechaniCalc" . Mechanicalc.com . Проверено 27 декабря 2020 .
- ^ «Двенадцать жизненных вопросов о колоннах и распорках» . Инженерные учебники . 2015-03-28 . Проверено 27 декабря 2020 .
- ^ «Деформация колонн» (PDF) . Архивировано из оригинального (PDF) 28 мая 2015 года.
- ^ Тимошенко, С.П., Гир, Дж. М. (1961). Теория упругой устойчивости, 2-е изд., McGraw-Hill .