Прогиб (инженерный)

Прогиб (f) в технике

В технике , отклонение является степень , в которой структурный элемент смещается под нагрузкой (из - за его деформации ). Это может относиться к углу или расстоянию.

Расстояние прогиба элемента под нагрузкой можно рассчитать путем интегрирования функции, которая математически описывает наклон отклоненной формы элемента под этой нагрузкой.

Существуют стандартные формулы для прогиба общих конфигураций балок и загружений в отдельных местах. В противном случае такие методы, как виртуальная работа , прямой интеграции , метод Кастилиано , метод Маколея или метод прямой жесткости используются. Прогиб элементов балки обычно рассчитывается на основе уравнения Эйлера – Бернулли, в то время как прогиб элемента пластины или оболочки рассчитывается с использованием теории пластин или оболочек .

Пример использования отклонения в этом контексте - строительство. Архитекторы и инженеры подбирают материалы для различных применений.

Прогиб балки при различных нагрузках и опорах [ править ]

Балки могут сильно различаться по своей геометрии и составу. Например, балка может быть прямой или изогнутой. Он может иметь постоянное поперечное сечение или может сужаться. Он может быть полностью изготовлен из одного и того же материала (однородный) или состоять из разных материалов (композит). Некоторые из этих вещей затрудняют анализ, но многие инженерные приложения связаны с не такими сложными случаями. Анализ упрощается, если:

• Луч изначально прямой, а любой конус небольшой.
• Балка испытывает только линейную упругую деформацию.
• Балка тонкая (отношение длины к высоте больше 10).
• Учитываются только небольшие прогибы (максимальный прогиб менее 1/10 пролета ).

В этом случае уравнение, определяющее прогиб балки ( ), можно аппроксимировать следующим образом:${\ displaystyle w}$

${\ Displaystyle {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {2} w (x)} {\ mathrm {d} x ^ {2}}} = {\ frac {M (x)} {E (x) I (Икс)}}}$

где вторая производная его отклоненной формы по отношению к интерпретируется как его кривизна, является модулем Юнга , является моментом инерции площади поперечного сечения и является внутренним изгибающим моментом в балке.${\ displaystyle x}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle I}$${\ displaystyle M}$

Если, кроме того, балка не имеет конической формы и однородна , и на нее действует распределенная нагрузка , приведенное выше выражение можно записать как :${\ displaystyle q}$

${\ displaystyle EI ~ {\ cfrac {\ mathrm {d} ^ {4} w (x)} {\ mathrm {d} x ^ {4}}} = q (x)}$

Это уравнение может быть решено для различных нагрузок и граничных условий. Ниже показан ряд простых примеров. Выраженные формулы являются приближениями, разработанными для длинных, тонких, однородных призматических балок с небольшими прогибами и линейными упругими свойствами. При этих ограничениях приближения должны давать результаты в пределах 5% от фактического прогиба.

Консольные балки [ править ]

Один конец консольных балок закреплен, поэтому наклон и прогиб на этом конце должны быть нулевыми.

Схема прогиба консольной балки.

Консольные балки с торцевой нагрузкой [ править ]

Упругая деформация и угол отклонения (в радианах ) на свободном конце в изображении примера: А (невесомой) консольные балки, с торцевой нагрузкой, может быть вычислена (на свободном конце B) с помощью: ^[1]${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ phi}$

${\ displaystyle \ delta _ {B} = {\ frac {FL ^ {3}} {3EI}}}$

${\ displaystyle \ phi _ {B} = {\ frac {FL ^ {2}} {2EI}}}$

где

${\ displaystyle F}$= Сила, действующая на конец балки

${\displaystyle L}$ = Длина балки (пролет)

${\displaystyle E}$= Модуль упругости

${\displaystyle I}$= Момент инерции площади поперечного сечения балки

Обратите внимание, что если пролет удваивается, прогиб увеличивается в восемь раз. Прогиб в любой точке вдоль пролета консольной балки с концевой нагрузкой можно рассчитать с помощью: ^[1]${\displaystyle x}$

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx^{2}}{6EI}}(3L-x)}$

${\displaystyle \phi _{x}={\frac {Fx}{2EI}}(2L-x)}$

Примечание: В (конец пучка), то и уравнения идентичны и выше уравнения.${\displaystyle x=L}$${\displaystyle \delta _{x}}$${\displaystyle \phi _{x}}$${\displaystyle \delta _{B}}$${\displaystyle \phi _{B}}$

Равномерно нагруженные консольные балки [ править ]

Прогиб на свободном конце B консольной балки при равномерной нагрузке определяется выражением ^[1]

${\displaystyle \delta _{B}={\frac {qL^{4}}{8EI}}}$

${\displaystyle \phi _{B}={\frac {qL^{3}}{6EI}}}$

где

${\displaystyle q}$ = Равномерная нагрузка на балку (сила на единицу длины)

${\displaystyle L}$ = Длина балки

${\displaystyle E}$ = Модуль упругости

${\displaystyle I}$ = Момент инерции площади поперечного сечения

Прогиб в любой точке вдоль пролета равномерно нагруженной консольной балки можно рассчитать с помощью: ^[1]${\displaystyle x}$

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx^{2}}{24EI}}(6L^{2}-4Lx+x^{2})}$

${\displaystyle \phi _{x}={\frac {qx}{6EI}}(3L^{2}-3Lx+x^{2})}$

Балки с простой опорой [ править ]

Балки с простой опорой имеют опоры под своими концами, которые допускают вращение, но не прогиб.

Простые балки с центральной нагрузкой [ править ]

Прогиб в любой точке вдоль пролета несущей балки с центральной нагрузкой можно рассчитать с помощью: ^[1]${\displaystyle x}$

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {Fx}{48EI}}(3L^{2}-4x^{2})}$

для

${\displaystyle 0\leq x\leq {\frac {L}{2}}}$

Частный случай упругого прогиба в средней точке C балки, нагруженной в ее центре и поддерживаемой двумя простыми опорами, затем описывается следующим образом: ^[1]

${\displaystyle \delta _{C}={\frac {FL^{3}}{48EI}}}$

где

${\displaystyle F}$ = Сила, действующая на центр балки

${\displaystyle L}$ = Длина балки между опорами

${\displaystyle E}$ = Модуль упругости

${\displaystyle I}$ = Момент инерции площади поперечного сечения

Несмещенные от центра простые балки [ править ]

Максимальный упругий прогиб балки, поддерживаемой двумя простыми опорами, нагруженными на расстоянии от ближайшей опоры, определяется выражением ^[1]${\displaystyle a}$

${\displaystyle \delta _{max}={\frac {Fa(L^{2}-a^{2})^{3/2}}{9{\sqrt {3}}LEI}}}$

где

${\displaystyle F}$ = Сила, действующая на балку

${\displaystyle L}$ = Длина балки между опорами

${\displaystyle E}$ = Модуль упругости

${\displaystyle I}$ = Момент инерции площади поперечного сечения

${\displaystyle a}$= Расстояние от груза до ближайшей опоры (т.е. )${\displaystyle a\leq L/2}$

Это максимальное отклонение происходит на расстоянии от ближайшей опоры и определяется по формуле ^[1]${\displaystyle x_{1}}$

${\displaystyle x_{1}={\sqrt {\frac {L^{2}-a^{2}}{3}}}}$

Равномерно нагруженные простые балки [ править ]

Упругий прогиб (в средней точке C) балки, поддерживаемой двумя простыми опорами, при равномерной нагрузке (как показано на рисунке) определяется выражением ^[1]

${\displaystyle \delta _{C}={\frac {5qL^{4}}{384EI}}}$

Где

${\displaystyle q}$ = Равномерная нагрузка на балку (сила на единицу длины)

${\displaystyle L}$ = Длина балки

${\displaystyle E}$ = Модуль упругости

${\displaystyle I}$ = Момент инерции площади поперечного сечения

Прогиб в любой точке вдоль пролета равномерно нагруженной балки с опорой можно рассчитать с помощью: ^[1]${\displaystyle x}$

${\displaystyle \delta _{x}={\frac {qx}{24EI}}(L^{3}-2Lx^{2}+x^{3})}$

Изменение длины [ править ]

Изменение длины балки в конструкциях, как правило, незначительно, но может быть рассчитано путем интегрирования функции наклона , если функция отклонения известна всем .${\displaystyle \Delta L}$${\displaystyle \theta _{x}}$${\displaystyle \delta _{x}}$${\displaystyle x}$

Где:

${\displaystyle \Delta L}$ = изменение длины (всегда отрицательное)

${\displaystyle \theta _{x}}$= функция наклона (первая производная от )${\displaystyle \delta _{x}}$

${\displaystyle \Delta L=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{L}(\theta (x))^{2}dx}$ ^[2]

Если балка однородна и прогиб в любой точке известен, его можно рассчитать, не зная других свойств балки.

Единицы [ править ]

Приведенные выше формулы требуют использования согласованного набора единиц. Большинство расчетов будет производиться в Международной системе единиц (СИ) или в обычных единицах США, хотя существует множество других систем единиц.

Международная система (СИ) [ править ]

Сила: Ньютоны ( )${\displaystyle N}$

Длина: метры ( )${\displaystyle m}$

Модуль упругости: ${\displaystyle {\frac {N}{m^{2}}}(Pa)}$

Момент инерции: ${\displaystyle m^{4}}$

Обычные единицы США (США) [ править ]

Сила: фунты силы ( )${\displaystyle lb_{f}}$

Длина: дюймы ( )${\displaystyle in}$

Модуль упругости: ${\displaystyle {\frac {lb_{f}}{in^{2}}}}$

Момент инерции: ${\displaystyle in^{4}}$

Другое [ править ]

Могут использоваться и другие единицы, если они самосогласованы. Например, иногда для измерения нагрузок используется единица килограмм-силы ( ). В таком случае модуль упругости должен быть преобразован в .${\displaystyle kg_{f}}$${\displaystyle {\frac {kg_{f}}{m^{2}}}}$

Структурный прогиб [ править ]

Строительные нормы и правила определяют максимальный прогиб, обычно как долю от пролета, например, 1/400 или 1/600. Либо предельное состояние прочности (допустимое напряжение), либо предельное состояние эксплуатационной пригодности (среди прочего, соображения прогиба) могут определять минимальные требуемые размеры элемента.

Прогиб необходимо учитывать с точки зрения конструкции. При проектировании стального каркаса для крепления остекленной панели допускается только минимальный прогиб, чтобы предотвратить разрушение стекла.

Изогнутая форма балки может быть представлена диаграммой моментов , интегрированной (дважды, повернутой и перемещенной для обеспечения условий опоры).

См. Также [ править ]

• Гибка
• Изгибающий момент
• Метод отклонения откоса

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Прогиб балок
• Отклонения луча