Прямая интеграция луча

Прямая интеграция - это метод структурного анализа для измерения внутреннего сдвига, внутреннего момента, вращения и отклонения балки.

Положительные направления сил, действующих на элемент.

Для балки с приложенным весом , считая, что направление вниз положительное, внутренняя поперечная сила определяется как отрицательный интеграл веса:${\ Displaystyle ш (х)}$

${\ Displaystyle V (х) = - \ int ш (х) \, dx}$

Внутренний момент - это интеграл внутреннего сдвига:${\ Displaystyle М (х)}$

${\ Displaystyle М (х) = \ int V (х) \, dx}$ знак равно ${\ displaystyle - \ int \ left [\ int w (x) \, dx \ right] dx}$

Угол поворота в горизонтальной , является интегралом внутреннего момента , деленную на произведение на модуль Юнга и площадь момента инерции :${\ displaystyle \ theta}$

${\ displaystyle \ theta (x) = {\ frac {1} {EI}} \ int M (x) \, dx}$

Интегрирование угла поворота дает вертикальное смещение :${\ displaystyle \ nu}$

${\ Displaystyle \ Nu (x) = \ int \ theta (x) \, dx}$

Интеграция [ править ]

Каждый раз, когда выполняется интегрирование , необходимо получить постоянную интегрирования. Эти постоянные определяются с помощью сил на опорах или на свободных концах.

Константы для внутреннего сдвига и момента можно найти, проанализировав диаграмму свободного тела балки .

Для вращения и смещения константы находятся с использованием условий, зависящих от типа опор. Для консольной балки неподвижная опора имеет нулевое вращение и нулевое смещение. Для балки, поддерживаемой штифтом и роликом, обе опоры имеют нулевое смещение.

Примеры расчетов [ править ]

Балка с простой опорой и постоянной нагрузкой 10 кН на метр на длине 15 м.

Возьмите балку, показанную справа, поддерживаемую фиксированным штифтом слева и роликом справа. Прикладные моменты отсутствуют, вес постоянный 10 кН, и - из-за симметрии - каждая опора прикладывает к балке вертикальное усилие 75 кН. Принимая x как расстояние от штифта,

${\ Displaystyle ш (х) = 10 ~ {\ textrm {kN}} / {\ textrm {m}}}$

Интеграция,

${\displaystyle V(x)=-\int w(x)\,dx=-10x+C_{1}({\textrm {kN}})}$

где представляет приложенные нагрузки. Для этих расчетов единственная нагрузка, оказывающая влияние на балку, - это нагрузка 75 кН, приложенная к штифту, приложенная при x = 0, что дает${\displaystyle C_{1}}$

${\displaystyle V(x)=-10x+75({\textrm {kN}})}$

Интегрируя внутренний сдвиг,

${\displaystyle M(x)=\int V(x)\,dx=-5x^{2}+75x({\textrm {kN}}\cdot {\textrm {m}})}$где из-за отсутствия приложенного момента .${\displaystyle C_{2}=0}$

Предполагая , что значение EI от 1 кН м м (для простоты, реальные Е I значения для конструктивных элементов , таких как сталь , как правило , больше по степеням десяти)${\displaystyle \cdot }$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}+C_{3}({\textrm {m}}/{\textrm {m}})}$* и

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}+C_{3}x+C_{4}({\textrm {m}})}$

Из-за вертикальных опор на каждом конце балки смещение ( ) при x = 0 и x = 15 м равно нулю. Подставляя (x = 0, ν (0) = 0) и (x = 15m, ν (15m) = 0), мы можем решить для констант = -1406,25 и = 0, давая${\displaystyle \nu }$${\displaystyle C_{3}}$${\displaystyle C_{4}}$

${\displaystyle \theta (x)=\int {\frac {M(x)}{EI}}\,dx=-{\frac {5}{3}}x^{3}+{\frac {75}{2}}x^{2}-1406.25({\textrm {m}}/{\textrm {m}})}$ и

${\displaystyle \nu (x)=\int \theta (x)\,dx=-{\frac {5}{12}}x^{4}+{\frac {75}{6}}x^{3}-1406.25x({\textrm {m}})}$

Для данного значения EI максимальное смещение при x = 7,5 м примерно в 500 раз превышает длину балки. Для более реалистичной ситуации, такой как равномерная нагрузка 1 кН и значение EI 5 000 кН · м², смещение будет примерно 1 см.

• Обратите внимание, что для вращения единицы измерения - это метры, разделенные на метры (или любые другие единицы длины, которые уменьшаются до единицы). Это связано с тем, что вращение задается как наклон , вертикальное смещение, деленное на изменение по горизонтали.${\displaystyle \theta }$

См. Также [ править ]

• Гибка
• Теория пучка
• Статическое уравнение балки Эйлера-Бернулли
• Механика твердого тела
• Виртуальная работа

Ссылки [ править ]

• Hibbeler, RC, Механические материалы, шестое издание; Пирсон Прентис Холл, 2005. ISBN  0-13-191345-X .

Внешние ссылки [ править ]

• Прогиб балки методом двойного интегрирования