Виртуальная работа

В механике виртуальная работа возникает при применении принципа наименьшего действия к изучению сил и движения механической системы . Работа силы, действующей на частицу при ее движении по перемещению, различна для разных перемещений. Среди всех возможных смещений, которым может следовать частица, называемых виртуальными смещениями , одно будет минимизировать действие. Таким образом, это смещение является смещением, за которым следует частица в соответствии с принципом наименьшего действия. Работа силы над частицей вдоль виртуального перемещения называется виртуальной работой .

Исторически виртуальная работа и связанное с ней вариационное исчисление были сформулированы для анализа систем твердых тел [1] , но они также были разработаны для изучения механики деформируемых тел. [2]

Принцип виртуальной работы всегда в той или иной форме использовался с древних времен при изучении статики. Греки, средневековые арабы и латиняне, а также итальянцы эпохи Возрождения использовали его как «закон рычага». [3] Идея виртуальной работы использовалась многими известными физиками 17 века, такими как Галилей, Декарт, Торричелли, Уоллис и Гюйгенс, в разной степени общности при решении задач статики. [3] Работая с концепциями Лейбница, Иоганн Бернулли систематизировал принцип виртуальной работы и сделал явным понятие бесконечно малого перемещения. Он мог решать задачи как для твердых тел, так и для жидкостей. Версия закона о виртуальной работе Бернулли появилась в его письмеПьером Вариньоном в 1715 году, который позже был опубликован во втором томе Вариньона Nouvelle mécanique ou Statique в 1725 году. Эта формулировка принципа сегодня известна как принцип виртуальных скоростей и обычно считается прототипом современных принципов виртуальной работы. [3] В 1743 году Даламбер опубликовал свой «Трактат о динамике », в котором он применил принцип виртуальной работы, основанный на работе Бернулли, для решения различных задач динамики. Его идея заключалась в том, чтобы преобразовать динамическую задачу в статическую, введя силу инерции . [4] В 1768 году Лагранжпредставил принцип виртуальной работы в более эффективной форме, введя обобщенные координаты, и представил его как альтернативный принцип механики, с помощью которого могут быть решены все проблемы равновесия. Систематическое изложение программы Лагранжа по применению этого подхода ко всей механике, как статической, так и динамической, по сути , принципа Даламбера , было дано в его « Аналитической механике » 1788 года. [3] Хотя Лагранж представил свою версию принципа наименьшего действиядо этой работы он признавал принцип виртуальной работы более фундаментальным, главным образом потому, что его можно было принять как основу всей механики, в отличие от современного понимания того, что наименьшее действие не учитывает неконсервативные силы. [3]

Если сила действует на частицу, когда она движется из точки в точку , то для каждой возможной траектории, по которой может двигаться частица, можно вычислить полную работу, совершаемую силой на пути. Принцип виртуальной работы , который является формой принципа наименьшего действия, применяемого к этим системам, утверждает, что путь, фактически пройденный частицей, есть тот, для которого разница между работой на этом пути и на других близких путях равна нулю ( к первому заказу). Формальная процедура вычисления разности функций, оцениваемых на близких путях, представляет собой обобщение производной, известной из дифференциального исчисления, и называется вариационным исчислением .

Это гравюра из журнала « Механика» , изданного в Лондоне в 1824 году.
Иллюстрация из учебного корпуса армейской службы по механическому транспорту (1911 г.), рис. 112. Передача движения и силы с помощью зубчатых колес, составной поезд.