Виртуальное смещение

Две степени свободы.

Сдерживающая сила C и виртуальное смещение δ r для частицы массы m, ограниченной кривой. Полученная без ограничения силы Н . Компоненты виртуального смещения связаны уравнением связи.

В аналитической механике , разделе прикладной математики и физики , виртуальное смещение (или бесконечно малое изменение ) показывает, как траектория механической системы может гипотетически (отсюда и термин виртуальная ) очень незначительно отклоняться от реальной траектории системы без нарушения ограничений системы. ^{[1] [2] [3] : 263} Для каждого момента времени есть вектор, касательный к пространству конфигурации в точке . Векторы показывают направления, в которых${\ displaystyle \ delta \ gamma}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle t,}$ ${\ Displaystyle \ дельта \ гамма (т)}$${\ displaystyle \ gamma (t).}$${\ Displaystyle \ дельта \ гамма (т)}$${\ Displaystyle \ гамма (т)}$ может «идти», не нарушая ограничений.

Например, виртуальные перемещения системы, состоящей из одной частицы на двумерной поверхности, заполняют всю касательную плоскость, если нет дополнительных ограничений.

Если, однако, ограничения требуют, чтобы все траектории проходили через данную точку в данный момент времени, т. Е. Тогда${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ mathbf {q}}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \gamma (\tau )=\mathbf {q} ,}$${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$

Обозначения [ править ]

Пусть - конфигурационное пространство механической системы, - моменты времени и${\displaystyle M}$${\displaystyle t_{0},t_{1}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle q_{0},q_{1}\in M,}$

${\displaystyle P(M)=\{\gamma \in C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M)\mid \gamma (t_{0})=q_{0},\ \gamma (t_{1})=q_{1}\}.}$

Ограничения приведены здесь только для иллюстрации. На практике для каждой отдельной системы требуется индивидуальный набор ограничений.${\displaystyle \gamma (t_{0})=q_{0},}$ ${\displaystyle \gamma (t_{1})=q_{1}}$

Определение [ править ]

Для каждого пути и в вариации из является функцией такой , что для любого и виртуального смещения является касательное расслоение на соответствующие вариации правопреемниками ^[1] к каждому касательный вектор${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \epsilon _{0}>0,}$${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle \Gamma :[t_{0},t_{1}]\times [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}]\to M}$${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (\cdot ,\epsilon )\in P(M)}$${\displaystyle \Gamma (t,0)=\gamma (t).}$ ${\displaystyle \delta \gamma :[t_{0},t_{1}]\to TM}$ ${\displaystyle (TM}$${\displaystyle M)}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}]}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)={\frac {d\Gamma (t,\epsilon )}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\in T_{\gamma (t)}M.}$

С точки зрения касательного отображения ,

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\Gamma _{*}^{t}\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\right).}$

Вот касательная карта, где и${\displaystyle \Gamma _{*}^{t}:T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ]\to T_{\Gamma (t,0)}M=T_{\gamma (t)}M}$${\displaystyle \Gamma ^{t}:[-\epsilon ,\epsilon ]\to M,}$${\displaystyle \Gamma ^{t}(\epsilon )=\Gamma (t,\epsilon ),}$${\displaystyle \textstyle {\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl |}_{\epsilon =0}\in T_{0}[-\epsilon ,\epsilon ].}$

Свойства [ править ]

• Координатное представление. Если - координаты на произвольной карте, а затем${\displaystyle \{q_{i}\}_{i=1}^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle n=\mathop {\rm {dim}} M,}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sum _{i=1}^{n}{\frac {d[q_{i}(\Gamma (t,\epsilon ))]}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}\cdot {\frac {d}{dq_{i}}}{\Biggl |}_{\gamma (t)}.}$

• Если в течение некоторого времени, мгновенно и каждый раз , для каждого${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \gamma (\tau )={\text{const}},}$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$ ${\displaystyle \delta \gamma (\tau )=0.}$

• Если тогда${\displaystyle \textstyle \gamma ,{\frac {d\gamma }{dt}}\in P(M),}$${\displaystyle \delta {\frac {d\gamma }{dt}}={\frac {d}{dt}}\delta \gamma .}$

Примеры [ править ]

Бесплатная частица в R ³ [ править ]

Свободно движущаяся одиночная частица имеет 3 степени свободы. Пространство конфигурации и для каждого пути и вариация из существует единственная такая , что , как По определению,${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle M=\mathbb {R} ^{3},}$${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )}$${\displaystyle \gamma ,}$${\displaystyle \sigma \in T_{0}\mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ),}$${\displaystyle \epsilon \to 0.}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)+\sigma (t)\epsilon +o(\epsilon ){\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}}$

что приводит к

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}\mathbb {R} ^{3}.}$

Свободные частицы на поверхности [ править ]

${\displaystyle N}$частицы, свободно движущиеся по двумерной поверхности, обладают степенью свободы. Конфигурационное пространство здесь ${\displaystyle S\subset \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle 2N}$

${\displaystyle M=\{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})\mid \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3};\ \mathbf {r} _{i}\neq \mathbf {r} _{j}\ {\text{if}}\ i\neq j\},}$

где - радиус-вектор частицы. Следует, что${\displaystyle \mathbf {r} _{i}\in \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle i^{\text{th}}}$

${\displaystyle T_{(\mathbf {r} _{1},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}M=T_{\mathbf {r} _{1}}S\oplus \ldots \oplus T_{\mathbf {r} _{N}}S,}$

и каждый путь может быть описан с использованием радиус-векторов каждой отдельной частицы, т. е.${\displaystyle \gamma \in P(M)}$${\displaystyle \mathbf {r} _{i}}$

${\displaystyle \gamma (t)=(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t)).}$

Это означает, что для каждого ${\displaystyle \delta \gamma (t)\in T_{(\mathbf {r} _{1}(t),\ldots ,\mathbf {r} _{N}(t))}M,}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\delta \mathbf {r} _{1}(t)\oplus \ldots \oplus \delta \mathbf {r} _{N}(t),}$

где некоторые авторы выражают это как${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{i}(t)\in T_{\mathbf {r} _{i}(t)}S.}$

${\displaystyle \delta \gamma =(\delta \mathbf {r} _{1},\ldots ,\delta \mathbf {r} _{N}).}$

Жесткое тело, вращающееся вокруг фиксированной точки [ править ]

Твердое тело вращается вокруг неподвижной точки без каких - либо дополнительных ограничений , имеет 3 степени свободы. Конфигурационное пространство здесь представляет собой специальную ортогональную группу размерности 3 (также известную как группа трехмерного вращения ), и мы используем стандартные обозначения для обозначения трехмерного линейного пространства всех кососимметричных трехмерных матриц. Экспоненциальное отображение гарантирует существование таких , что для любого пути его изменения и есть единственный путь такие , что и для каждого по определению,${\displaystyle M=SO(3),}$${\displaystyle P(M)=C^{\infty }([t_{0},t_{1}],M).}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$ ${\displaystyle \exp :{\mathfrak {so}}(3)\to SO(3)}$${\displaystyle \epsilon _{0}>0}$${\displaystyle \gamma \in P(M),}$${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon ),}$${\displaystyle t\in [t_{0},t_{1}],}$${\displaystyle \Theta ^{t}\in C^{\infty }([-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],{\mathfrak {so}}(3))}$${\displaystyle \Theta ^{t}(0)=0}$${\displaystyle \epsilon \in [-\epsilon _{0},\epsilon _{0}],}$ ${\displaystyle \Gamma (t,\epsilon )=\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )).}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\left({\frac {d}{d\epsilon }}{\Bigl (}\gamma (t)\exp(\Theta ^{t}(\epsilon )){\Bigr )}\right){\Biggl |}_{\epsilon =0}=\gamma (t){\frac {d\Theta ^{t}(\epsilon )}{d\epsilon }}{\Biggl |}_{\epsilon =0}.}$

Поскольку для некоторой функции , как ,${\displaystyle \sigma :[t_{0},t_{1}]\to {\mathfrak {so}}(3),}$ ${\displaystyle \Theta ^{t}(\epsilon )=\epsilon \sigma (t)+o(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon \to 0}$

${\displaystyle \delta \gamma (t)=\gamma (t)\sigma (t)\in T_{\gamma (t)}SO(3).}$

См. Также [ править ]

• Принцип Даламбера
• Виртуальная работа

Ссылки [ править ]